2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)新高考一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題7.3平面向量數(shù)量積及應(yīng)用含解析

Page17.3平面向量數(shù)量積及應(yīng)用課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.新高考3年考題題號(hào)考點(diǎn)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象邏輯推理2022(Ⅱ)卷4利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角2021(Ⅰ)卷10向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模2021(Ⅱ)卷15向量數(shù)量積的運(yùn)算2020(Ⅰ)卷7向量數(shù)量積的運(yùn)算和投影1.向量的夾角定義范圍共線(xiàn)與垂直圖示已知兩個(gè)非零向量a和b,作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ0≤θ≤π0,πa//b?θ=0a向量夾角：共起點(diǎn)2.平面向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ，我們把數(shù)量abcosθ叫做a與b的數(shù)量積,即a?特殊情況0運(yùn)算律a?b=b?a（交換律）運(yùn)算性質(zhì)aa3.投影向量如圖，設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,AB=a,CD=b,考慮如下變換:過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為A1、B1,得到A1B1,稱(chēng)上述變換為向量a向向量若向量a,b的夾角為θ,則向量a在向量b4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及坐標(biāo)表示已知非零向量a=x1,y幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積aa夾角coscos模aa垂直aa共線(xiàn)aa不等關(guān)系a,ax1.向量模長(zhǎng)不等式：a-b2.兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a?b>0且a，b不共線(xiàn);兩個(gè)向量1.【P24T21】在三角形ABC中，已知|AB+AC|=|AB-AC|，|AB|=2，點(diǎn)G滿(mǎn)足A.13BA B.23BA C.2.【P41T3】設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)，若|F1|=1，F(xiàn)2=2,且F1→與F2的夾角為23π考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【方法儲(chǔ)備】1.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算方法2.已知數(shù)量積求參數(shù)已知向量的數(shù)量積，用上述方法展開(kāi)，得出關(guān)于參數(shù)的方程，進(jìn)而求出參數(shù).角度1投影向量【典例精講】例1.(2022·安徽省期中)已知|a|=3，|b|=5，a·b=-12，且e是與b方向相同的單位向量，則a【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角、向量的投影，屬于中檔題．

設(shè)a與b的夾角為θ，求出cosθ【靶向訓(xùn)練】練1-1(2021·江蘇省無(wú)錫市期末)設(shè)平面向量a，b滿(mǎn)足a=12，b=(2,5)，a?b=18，則b在a方向上的投影向量為A.12b B.18b練1-2(2022·陜西省模擬)已知△ABC的外接圓圓心為O，且AB+AC=2AO，|AB|=|OA|，則CA在A.14CB B.32CB角度2平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算【典例精講】例2.(2022·山東省濰坊市模擬)在梯形ABCD中，AB//DC，AD=BC=2，AB=4，∠ABC=π3，P是BC的中點(diǎn)，則AB·【名師點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題,把所求向量轉(zhuǎn)化，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可求解結(jié)論．【靶向訓(xùn)練】練1-3(2022·江西省模擬)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c=ta+(1-t)b.若c?練1-4(2022·北京市期末)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則AF·BC的值為(

)A.-58 B.14 C.角度3平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【典例精講】例3.(2021·新課標(biāo)Ⅰ卷.多選)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P1cosα,sinα,P3(cos(α+β),?sinA.|OP1|?=?|OP【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)的恒等變形公式，屬于中檔題．

根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)逐個(gè)判斷即可．【靶向訓(xùn)練】練1-5(2022·遼寧省大連市模擬)設(shè)向量a=(1,m)，b=(2,1)，且b?(2a+練1-6(2022·江西省萍鄉(xiāng)市期末)已知向量m=(2cosωx,-1)，n=(3sinωx-cosωx,1)，其中ω>0，函數(shù)f(x)=m?考點(diǎn)二平面向量的夾角、模長(zhǎng)、垂直、共線(xiàn)問(wèn)題【方法儲(chǔ)備】1.求平面向量模的方法2.求平面向量夾角的方法3.向量的垂直、共線(xiàn)問(wèn)題(1)兩個(gè)向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，即:a=x1,y1應(yīng)認(rèn)識(shí)到此充要條件對(duì)含零向量在內(nèi)的所有向量均成立，因?yàn)榭梢暳阆蛄颗c任意向量垂直.(2)利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參或最值問(wèn)題最常用的解題技巧.【特別提醒】在分析兩向量的夾角時(shí)，必須使兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，如果起點(diǎn)不重合，可通過(guò)“平移”實(shí)現(xiàn).角度1平面向量的?！镜淅v】例4.(2022·山東省模擬)已知向量a，b夾角為45°，且|a|=1，|2a-【名師點(diǎn)睛】利用數(shù)量積的性質(zhì)即可得出．

本題考查了數(shù)量積的性質(zhì)，向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．【靶向訓(xùn)練】練2-1(2022·湖北省咸寧市期末)已知向量a，b滿(mǎn)足|a|=|b|=5，且|a+b|=6A.6 B.8 C.36 D.64練2-2(2022·.山東省濟(jì)南市期末.多選)若平面向量a、b、c兩兩的夾角相等，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則|A.3 B.3 C.5 D.6角度2平面向量的夾角【典例精講】例5.(2022·江西省模擬)若非零向量a，b滿(mǎn)足|a|=223|b|，且(A.π4 B.π2 C.3π【名師點(diǎn)睛】根據(jù)向量垂直的等價(jià)條件以及向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行求解即可．

本題主要考查向量夾角的求解，利用向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量垂直的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．【靶向訓(xùn)練】練2-3(2021·湖北省武漢市期末)在平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=2，AP=13AB若CP?CQ=12，則A.5π6 B.3π4 C.2π練2-4(2022·江蘇省南通市期末)

已知向量a，b滿(mǎn)足|a+b|=|a-bA.5π6 B.2π3 C.π角度3平面向量的垂直【典例精講】例6.(2021·浙江省溫州市模擬)若|a|=1，|b|=2，a與b的夾角為60°，若(3a【名師點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式，兩向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0．

由條件可求得a?b=1，根據(jù)兩向量垂直，則兩向量的數(shù)量積為0，從而會(huì)得到關(guān)于m【靶向訓(xùn)練】練2-5(2021·山東省模擬)已知向量a與b的夾角是π3，且|a|=1，|b|=4，若(3A.-32 B.32 C.練2-6(2022·上海市期末)已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2考點(diǎn)三平面向量中的最值、范圍問(wèn)題【方法儲(chǔ)備】1.求最值、范圍問(wèn)題的思路（1）將向量的最值、范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的最值、范圍問(wèn)題，利用平面幾何的知識(shí)求解；（2）將向量坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)、方程、不等式的問(wèn)題解決.【典例精講】例7.(2022·湖北省黃岡市模擬)已知直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，點(diǎn)P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則PB?PC的最大值為(

)A.16+1655 B.16+855【名師點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．根據(jù)題意，設(shè)AD為斜邊BC上的高，求出AD的值，連接PA，可得PB?PC=(PA+AB)【靶向訓(xùn)練】練3-1(2022·湖北省模擬)已知梯形ABCD中，∠B=π3，AB=2，BC=4，AD=1，點(diǎn)P，Q在線(xiàn)段BC上移動(dòng)，且PQ=1，則DP?DQ的最小值為A.1 B.112 C.132練3-2(2022·江蘇省宿遷市期末)在ΔABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若b(tanA+tanB)=2ctanB，且G是ΔABC的重心，AB?核心素養(yǎng)系列直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算——平面向量與極化恒等式【方法儲(chǔ)備】1.極化恒等式：a三角形模型：在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則平行四邊形模型：在平行四邊形ABCD中：則AB?AD2.利用極化恒等式求數(shù)量積問(wèn)題的步驟：【典例精講】例8.(2022·山東省模擬)如圖，在△ABC中，AC=6，AB=8，∠BAC=π2，D為邊BC(1)求AD?(2)若點(diǎn)P滿(mǎn)足CP→=λCA(3)若點(diǎn)P在∠BAC的角平分線(xiàn)上，且滿(mǎn)足PA→=mPB→+n

【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

(1)由極化恒等式及向量的加減運(yùn)算求解；

(2)設(shè)|AD|=3m>0，|BC|=2n>0，由已知結(jié)合極化恒等式求解m與【靶向訓(xùn)練】練4-1(2021·湖北省模擬)如圖，已知P是半徑為3，圓心角為π2的一段圓弧AB上一點(diǎn)，AB=3BC，則A.-6 B.6-92 C.-8 D.6-6練4-2(2022·福建省龍巖市期中)閱讀下一段文字：(a+b)2=a2+2a?b+b2，(a-b)2=a2-2a?b+b2，兩式相減得(a易錯(cuò)點(diǎn)1．投影向量理解錯(cuò)誤例9.(2022·湖北省武漢市期末.多選)若Ai(i=1,2,…,n)是△AOB所在的平面內(nèi)的點(diǎn)，且OAi?OB=OA?A.|OA1|+|OA2|+…+|OAn|=|OA|

B.AA易錯(cuò)點(diǎn)2．向量夾角定義理解錯(cuò)誤例10.(2021·遼寧省期中)已知|a|=2，|b|=4，當(dāng)b⊥(4a-A.π6 B.π4 C.2π3易錯(cuò)點(diǎn)3．平面向量的運(yùn)算律運(yùn)用錯(cuò)誤例11.(2022·江蘇省南通市模擬.多選)關(guān)于平面向量a，b，c，下列說(shuō)法不正確的是(

)A.若a?c=b?c，則a=b

B.易錯(cuò)點(diǎn)4．混淆平面向量共線(xiàn)、垂直的坐標(biāo)關(guān)系例12.(2022·福建省名校聯(lián)考.多選)已知向量a=(-1,2)，b=(1,m)，則(

)A.若a與b垂直，則m=12 B.若a//b，則m的值為-2

C.若|a|=|b|，則m=2 D.

答案解析【教材改編】1.【解析】在△ABC中，∵|AB+AC|=|AB-AC|，

∴AB2+2AB?AC+AC2=AB2-2AB?AC+AC2，∴AB?AC=0，即AB⊥AC，

點(diǎn)G滿(mǎn)足GA+GB+2.【解析】(1)由F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)，知F1+F2+F3=0∴|F3|=|-F1-F2|=F1+F22=1+4+2×1×2×(-12)=3；

(2)∵F3=-(F【考點(diǎn)探究】例1.【解析】設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)閨a|=3，|b|=5，a·b=-12，所以cosθ=a·ba|b|=練1-1.【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄縜，b滿(mǎn)足|a所以b在a方向上的投影向量是a?b|a|練1-2.【解析】因?yàn)?AO=AB+AC，所以O(shè)為BC中點(diǎn)，又△ABC外接圓的圓心為O，

所以三角形為以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

又|AB|=|OA|，所以△ABO為等邊三角形，則∠ABC=60°，∠ACB=30°，

所以向量CA例2.【解析】∵在梯形ABCD中，AB//DC，AD=BC=2，AB=4，∠ABC=π3，P是BC的中點(diǎn)，

∴AB?練1-3.【解析】∵c=ta+(1-t)b∵a，b是單位向量，∴|a|=|b|=1，

又∵a與∴c?b=ta?練1-4.【解析】如圖，∵D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，且DE=2EF，

∴AF·BC=(AD+例3.【解析】OA=(1,0)，OP1=(cosAP1=(cosα-1,sinα)，AP2=(cosβ-1,-sinβ)，

對(duì)于A，|OP1|=cos2α+sin2α=1，|OP2|=cos2β+(-sinβ)2=1，A正確；

對(duì)于練1-5.【解析】∵向量a=(1,m)，b=(2,1)，∴2a+b=(4,2m+1)，

∵b?練1-6.【解析】f=3sin2ωx-1+cos2ωx+1=2sin2ωx-π6，故答案為：fx例4.【解析】∵向量a，b夾角為45°，且|a|=1，|2a-b|=10．∴4a2+b2練2-1.【解析】因?yàn)閨a+b|2=a2故選：B．練2-2.【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄縜、b、c兩兩的夾角相等，所以?shī)A角為0°或120°，

由題意知：|a|=1，|b|=2，|c|=3，

當(dāng)夾角為0°時(shí)，2a·b=2|a||b|=4，2b·c=2|b||c|=12故選項(xiàng)A正確．

故選：AD．例5.【解析】∵(a-b)⊥(3a+2b)，∴(a-b)?(3a+2b練2-3.【解析】根據(jù)題意，因?yàn)锳B=3，AD=2，AP=13AB，AQ=23DC2+12DA2-43DC?DA=12練2-4.【解析】∵|a+b又∵|a+b∴(a+b)?故向量a+b與a的夾角為故答案選：D．例6.【解析】∵|a|=1，|b|=2，a與b的夾角為60°，∴(3a+5b)?(ma-練2-5.【解析】已知向量a與b的夾角是π3，且|a|=1，|b|=4，則：a?b=|a||b|cos練2-6.【解析】∵a+3b與7a-5b垂直，

∴(a+3b)?(7a-5b)=7a2-15b2+16a例7.【解析】根據(jù)題意，直角三角形ABC中，∠A=90°，設(shè)AD為斜邊BC上的高，

又由AB=2，AC=4，則AD=2×44+16=455，

連接PA，則圓A的半徑r=|PA|=455，

則PB?PC=(則PA?(AB+AC)的最大值為455練3-1.【解析】如圖，以

B為坐標(biāo)原點(diǎn)，

BC所在的直線(xiàn)為

x軸，過(guò)點(diǎn)B且垂直與BC的直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳D//BC，∠B=π3，所以D2,3，不妨設(shè)Px,0則DP=x-2x-1+3=x2-3x+5=x-3故選D.練3-2.【解析】由b(tanA+tanB)=2ctanB，得sinBsinAcosA+sinBcosB=2sinC·sinBcosB，

整理得sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，

即sin(A+B)=2sinCcosA，

又sin(A+B)=sinC，

所以【素養(yǎng)提升】例8.【解析】(1)由勾股定理知，AB=AB2+AC2=10；

解法一(坐標(biāo)法)：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A(0,0)，B(0,8)，C(6,0)，BC的中點(diǎn)D(3,4)，

所以AD=(3,4)，CB=(-6,8)，

所以AD?CB=3×(-6)+4×8=14；AD?CB=2AD?CD=2×|AD|×|CD|×cos2B=2×5×5×(2cos2B-1)=50×[2×(45)2-1]=14；

(2)由題意，點(diǎn)P在AC上，

解法一(極化恒等式)：PB?PC=(PB+PC)2-(PB-PC)24=PD2-CB24=PD2-25，所以當(dāng)PD⊥CA時(shí)，此時(shí)PB=4，

PB?PC取到最小值，即(PB?PC)min=-9；

解法二(坐標(biāo)法)：設(shè)P(