2023年山東省濱州市惠民縣自主招生數(shù)學試卷含解析

第第頁2023年山東省濱州市惠民縣自主招生數(shù)學試卷（含解析）2023年山東省濱州市惠民縣自主招生數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.方程的根是()

A.B.

C.，D.，

2.若點，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關系是()

A.B.C.D.

3.把圖中的正方體的一角切下后擺在圖所示的位置，則圖中的幾何體的主視圖為()

A.B.

C.D.

4.如圖，菱形中，，，以為直徑的交于點，則弧的長為()

A.

B.

C.

D.

5.如圖，在中，，在同一平面內，將繞點逆時針旋轉到的位置，則()

A.

B.

C.

D.

6.如圖，在與中，，要使與相似，還需滿足下列條件中的()

A.B.C.D.

7.如圖，在中，為上一點，連接、，且、交于點，：：，則：()

A.：B.：C.：D.：

8.如圖，在由邊長為的小正方形組成的網格中，點，，都在小正方形的頂點上，則的值為()

A.B.C.D.

9.如圖，和都是等腰直角三角形，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經過點，則與的面積之差為()

A.

B.

C.

D.

10.定義為函數(shù)的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為的函數(shù)的一些結論，其中不正確的是()

A.當時，函數(shù)圖象的頂點坐標是

B.當時，函數(shù)圖象截軸所得的線段長度大于

C.當時，函數(shù)圖象經過同一個點

D.當時，函數(shù)在時，隨的增大而減小

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

11.若方程的兩根中，一根大于，另一根小于，則的取值范圍是______．

12.如圖，等腰直角中，，的頂點在上，，分別與交于點，，則的度數(shù)為______．

13.如圖，在平面直角坐標系中，點在直線上，連接，將線段繞點順時針旋轉，點的對應點恰好落在直線上，則的值為______．

14.如圖，在中，，，是角平分線，是中線，過點作于點，交于點，連接，則線段的長為______．

15.假定鳥卵孵化后，雛鳥為雌鳥與為雄鳥的概率相同如果三枚卵全部成功孵化，則三只雛鳥中恰有兩只雄鳥的概率為______．

16.如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面相交于、兩點，拱橋最高點到的距離為，，、為拱橋底部的兩點，且，點到直線的距離為，則的長為______

三、解答題（本大題共7小題，共46.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知拋物線．

求證：此拋物線與軸必有兩個不同的交點；

若此拋物線與直線的一個交點在軸上，求的值．

18.本小題分

在一個不透明的盒子里，裝有四個分別標有數(shù)字，，，的小球，他們的形狀、大小、質地等完全相同．小蘭先從盒子里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為，放回盒子，搖勻后，再由小田隨機取出一個小球，記下數(shù)字為．

用列表法或畫樹狀圖法表示出的所有可能出現(xiàn)的結果．

求小蘭、小田各取一次小球所確定的點落在反比例函數(shù)的圖象上的概率．

19.本小題分

如圖，矩形的頂點，分別在軸和軸上，點的坐標為雙曲線的圖象經過的中點，且與交于點，連接．

求的值及點的坐標；

若是邊上一點，且，求點的坐標．

20.本小題分

在學習完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個這樣的問題：如圖，在中，，，，求用含，的式子表示聰明的小雯同學是這樣考慮的：如圖，取的中點，連接，過點作于點，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，，在中表示出，則可以求出．

閱讀以上內容，回答下列問題：在中，，．

如圖，，，若，則______，______；

請你參考閱讀材料中的推導思路，求出的表達式用含，的式子表示．

21.本小題分

已知：如圖，中，，以為半徑作，切于點，連接交于點．

求證：；

若，且，求的半徑．

22.本小題分

如圖，在中，點為邊的中點，以點為頂點的的兩邊分別與邊，交于點，，且與互補．

如圖，若，且，則線段與有何數(shù)量關系？請直接寫出結論；

如圖，若，那么中的結論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

如圖，若：：，探索線段與的數(shù)量關系，并證明你的結論．

23.本小題分

已知：如圖，拋物線與坐標軸分別交于點，，，點是線段上方拋物線上的一個動點．

求拋物線的解析式；

當點運動到什么位置時，的面積有最大值？

過點作軸的垂線，交線段于點，再過點作軸交拋物線于點，連結，請問是否存在點使為等腰直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：方程整理得：，

可得或，

解得：，，

故選：．

原式利用因式分解法求出解即可．

此題考查了一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．

2.【答案】

【解析】解：點，，在反比例函數(shù)的圖象上，

，，，

又，

．

故選：．

根據反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出、、的值，比較后即可得出結論．

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出、、的值是解題的關鍵．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了簡單幾何體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．

根據從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．

【解答】

解：從正面看是一個等腰三角形，高線是虛線，

故選：．

4.【答案】

【解析】解：連接，如圖所示：

四邊形是菱形，

，，

，

，

，

，

的長；

故選：．

連接，由菱形的性質得出，，得出，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出，再由弧長公式即可得出答案．

本題考查了弧長公式、菱形的性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握菱形的性質，求出的度數(shù)是解決問題的關鍵．

5.【答案】

【解析】解：將繞點逆時針旋轉到的位置，

，

故選：．

由旋轉的性質可得：，，即可求．

本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題中已知，則對應的夾邊比值相等即可使與相似，結合各選項即可得問題答案．此題考查了相似三角形的判定：有兩個對應角相等的三角形相似；有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似，熟記各種判定相似三角形的方法是解題關鍵．

【解答】

解：，，

∽．

故選C．

7.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，

，，

∽，

：：，

：：，

，

：：，

，

：：．

故選：．

先根據平行四邊形的性質及相似三角形的判定定理得出∽，再根據：：由相似三角形的性質求出相似比，進而求出：的值，由即可得出結論．

本題考查的是相似三角形的判定與性質及平行四邊形的性質，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作．

連接，根據勾股定理得到、、的長，再由勾股定理逆定理判斷是直角三角形，然后由銳角三角函數(shù)定義解答即可．

【解答】

解：如圖，連接，

由勾股定理得，，，

，

是直角三角形，

中，，

故選C．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰三角形的性質以及面積公式，解題的關鍵是找出的值，屬于中檔題．

設和的直角邊長分別為、，由等腰直角三角形的性質及圖象可得出點的坐標，根據三角形的面積公式以及點的坐標即可得出結論．

【解答】

解：設和的直角邊長分別為、，

則點的坐標為．

點在反比例函數(shù)的第一象限圖象上，

．

．

故選D．

10.【答案】

【解析】

【分析】

此題考查二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)與一元二次方程以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟悉相關知識點是解題的關鍵．

A、把代入，求得，求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；

B、令函數(shù)值為，求得與軸交點坐標，利用兩點間距離公式解決問題；

C、通過找到定點，即可解決問題；

D、首先求得對稱軸，利用二次函數(shù)的性質解答即可．

【解答】

解：因為函數(shù)的特征數(shù)為；

A、當時，，頂點坐標是；此結論正確；

B、當時，令，有，解得：，，

，所以當時，函數(shù)圖象截軸所得的線段長度大于，此結論正確；

C、當時，，函數(shù)圖象都經過同一個點，故當時，函數(shù)圖象經過同一個定點此結論正確．

D、當時，是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是：直線，在對稱軸的右邊隨的增大而減小．因為當時，，即對稱軸在右邊，因此函數(shù)在右邊先增大到對稱軸位置，再減小，此結論錯誤；

故選：．

11.【答案】

【解析】解：依照題意，畫出圖形，如圖所示．

根據題意得：，

解得：．

故答案為：．

由當時結合根的判別式，即可得出關于的不等式組，解之即可得出結論．

本題考查了拋物線與軸的交點，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結合解決問題是解題的關鍵．

12.【答案】

【解析】解：等腰直角中，，

，

，

故答案為

先求出，最后用圓周角定理即可得出結論．

此題主要考查了等腰直角三角形的性質，圓周角定理，求出是解本題的關鍵．

13.【答案】

【解析】解：把代入直線，可得：，

因為線段繞點順時針旋轉，所以點的坐標為，

把點代入直線，可得：，，

故答案為：

先把點坐標代入直線，得出的值，然后得出點的坐標，再代入直線解答即可．

此題考查一次函數(shù)問題，關鍵是根據代入法解解析式進行分析．

14.【答案】

【解析】解：是其角平分線，于，

是等腰三角形，

，，

，，

，

是中線，

，

為的中位線，

故答案為：

由等腰三角形的判定方法可知是等腰三角形，所以為中點，再由已知條件可得為的中位線，利用中位線的性質即可求出線段的長．

本題考查了等腰三角形的判定和性質、三角形的中位線性質定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

15.【答案】

【解析】解：

共種情況，三只雛鳥中恰有兩只雄鳥有種情況，所以概率為．

故答案為．

列舉出所有情況，看三只雛鳥中恰有兩只雄鳥的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．

考查概率的求法；用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；得到三只雛鳥中恰有兩只雄鳥的情況數(shù)是解決本題的關鍵．

16.【答案】

【解析】解：如圖所示，建立平面直角坐標系，軸在直線上，軸經過最高點．

設與軸交于點，

，

，

由題可知：

，，

，

設該拋物線的解析式為：，

頂點，

拋物線，

代入點

，

，

，

，

拋物線：，

當時，，

，

，

，，

，

，

故答案為：．

首先建立平面直角坐標系，軸在直線上，軸經過最高點，設與軸交于，求出的長，然后設該拋物線的解析式為：，根據題干條件求出和的值，再令，求出的值，即可求出和點的坐標，的長度即可求出．

本題主要考查二次函數(shù)綜合應用的知識點，解答本題的關鍵是正確地建立平面直角坐標系，此題難度一般，是一道非常好的試題．

17.【答案】證明：令得：，

，

方程有兩個不等的實數(shù)根，

原拋物線與軸有兩個不同的交點；

解：令，根據題意有：，

解得或．

【解析】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查二次函數(shù)和一元二次方程的關系，二次函數(shù)的圖象與解析式的關系，拋物線與軸的交點等．

根據二次函數(shù)的交點與圖象的關系，證明其方程有兩個不同的根即即可；

根據題意，令，整理方程可得關于的方程，解可得的值．

18.【答案】解：所有可能出現(xiàn)的結果列表如下：

共有種等可能的結果，其中點落在反比例函數(shù)的圖象上的情況有：，，

共種，

點落在反比例函數(shù)的圖象上圖象上的概率．

【解析】本題考查了列表法與樹狀圖法，以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

列表得出所有等可能的情況數(shù)即可；

找出點落在反比例函數(shù)的圖象上的情況數(shù)，即可求出所求的概率．

19.【答案】解：在矩形中，，

邊中點的坐標為，

又曲線的圖象經過點，

，

解析式

點在上，

點的橫坐標為，

反比例函數(shù)圖象經過點，

點縱坐標為，

點坐標為；

由得，，，，

，

∽，

，即，

，

，即點的坐標為

【解析】根據題意可得中點的坐標為，可求解析式，即可求和點的坐標；

由題意可證∽，可求的長，則可得的長，即可求點的坐標．

本題考查了反比例函數(shù)綜合題，反比例函數(shù)的性質，矩形的性質，相似三角形的性質和判定，熟練運用相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．

20.【答案】

【解析】解：在中，，，，，

，

，，

取中點，連接，

，

，

，

作于，

在中，

，

在中，

在中，，

，

故答案為：，；

在中，，，，

，，

取中點，連接，作于點，

，

，

在中，，

，，

，

又，

，

，

在中，，

，

，

．

在中，，，時，代入數(shù)據計算即可，作取中點，連接，則，則為等邊三角形，故，即可求的值；

取中點連接，則，則，作于點，可得，在中，根據已知找到、、、之間的數(shù)量關系即可求的結論．

本題考查了解直角三角形，通過題目提供的信息，讀懂題目信息，并根據信息表示出三角形的三角函數(shù)是解題的關鍵．

21.【答案】證明：連接，

是切線，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

解：延長交于點，連接，

在中，，

設，，則，

，

，

，

，

，

，

，

解得：，

．

【解析】連接，由切線的性質，可得，由，得，再由，根據等角的余角相等即可得出所要求證的結論；

延長交于點，連接，在和中，根據三角形函數(shù)和勾股定理，列方程解答．

本題考查了切線的性質、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解決問題的關鍵是根據三角函數(shù)的定義結合勾股定理列出方程．

22.【答案】解：，

理由：如圖，連接，

是等腰三角形，

，

是斜邊的中點，

，，

，

，

，

，

，

，

，

在和中，，

≌；

；

依然成立．

如圖，過點作于，作于，連接，

則，

，點為中點，

平分，

，

在四邊形中．，，

，

又與互補，

，

，在與中，，

≌，

．

結論：：．

如圖，過點作于，作于，連接，

同可證，

又，

∽，

．

點為邊的中點，

，

，

，

又，

．

【解析】首先根據等腰三角形的性質可得，，再證明，，可以利用定理證明≌，進而得到；

依然成立．如圖，過點作于，作于，連接，則，由于，點為中點，根據三角形的性質三線合一