數(shù)學(xué)應(yīng)用之分形課件

4.6.1由生成元生成的分形圖形cantor三分集

生成方法：選取一條直線段F0，將該線段三等分，去掉中間一段，剩下兩段。將剩下的兩段分別再三等分，各去掉中間的一段，剩下四段。繼續(xù)這樣的操作，直至無窮，則可得到一個離散的點集，稱為cantor三分集。

程序略。由生成元產(chǎn)生的分形是一種規(guī)則分形，是數(shù)學(xué)家按照一定規(guī)則構(gòu)造出來的，相當(dāng)于物理學(xué)種的模型。構(gòu)造特點：最終圖形是按照一定規(guī)則R對初始F0不斷修改得到的。

2023/8/230黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形cantor三分集4.6.1由生成元生成的分形圖形koch曲線

生成方法：選取一條直線段F0，將該線段三等分，并將中間一段用以該線段為邊的等邊三角形的另外兩條邊代替，得到圖形F1。再將F1的每一段都按上述方法修改，直至無窮，則最后得到的極限曲線，稱為koch曲線。

2023/8/231黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形koch曲線2023/8/14.6.1由生成元生成的分形圖形程序：clear;clf;new=[0,1];%定義初始線段的兩端kmax=20;%迭代次數(shù)fork=1:kmaxold=new;%保存原有各點的坐標

n=length(old)-1;%計算需要改變圖形的線段數(shù)目

form=0:n-1%計算各新線段兩端點的坐標(5點)diff=(old(m+2)-old(m+1))/3;%取新線段長度向量new(4*m+1)=old(m+1);%新線段第一點坐標new(4*m+2)=old(m+1)+diff;%新線段第二點坐標new(4*m+3)=new(4*m+2)+diff*((1+sqrt(3)*i)/2);%第三點new(4*m+4)=old(m+1)+2*diff;%第四點endnew(4*n+1)=old(n+1);%最后一點plot(new);axisequal;end2023/8/232黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形程序：clear;clf;n4.6.1由生成元生成的分形圖形2023/8/233黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形2023/8/13黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形分形樹生成方法：選取一條直線段F0，將該線段三等分，在等分點上各畫一條長度為原線段長度三分之一的線段，并與原線段成固定夾角，得到圖形F1。再將F1的每一段都按上述方法修改，直至無窮，則最后得到的極限圖象，稱為分形樹。

abcdeo2023/8/234黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形分形樹abcdeo2023/4.6.1由生成元生成的分形圖形程序：clear;clf;th=pi/6;%設(shè)置角度u=[0,0;0,1];%初始線段坐標

rov1=[cos(th),-sin(th);sin(th),cos(th)];rov2=rov1';%坐標變換矩陣kmax=15;%循環(huán)次數(shù)fork=1:kmaxuuu=[];%建立一空數(shù)組，保存點坐標

n=length(u)/2;%計算需要改變圖形的線段數(shù)目

form=0:n-1%計算各新端點的坐標

p1=(u(2*m+1,:)*2+u(2*m+2,:))/3;%a點

p2=(u(2*m+1,:)+u(2*m+2,:)*2)/3;%b點pp=[(u(2*m+2,1)-u(2*m+1,1));(u(2*m+2,2)-u(2*m+1,2))]/3;%計算新線段向量2023/8/235黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形程序：clear;clf;t4.6.1由生成元生成的分形圖形lp=rov1*pp;%第一條樹枝偏轉(zhuǎn)向量lp=p1+lp';%第一條樹枝端點C坐標rp=rov2*pp;%第二條樹枝偏轉(zhuǎn)向量rp=p2+rp';%第二條樹枝端點D坐標uu=[u(2*m+1,:);p1;p1;lp;p1;p2;p2;rp;p2;u(2*m+2,:)];%按順序排列新線段兩端點的坐標uuu=[uuu;uu];endu=[uuu];plot(u(:,1),u(:,2));axis([-0.5,0.5,0,1]);end2023/8/236黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形lp=rov1*pp;4.6.1由生成元生成的分形圖形2023/8/237黃建華制作4.6.1由生成元生成的分形圖形2023/8/17黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形以及相應(yīng)的一組概率:p1,p2,...,pn(p1+p2+...+pn=1,pi>0)。對于任意選取的初始值z0=(x0,y0)，以概率pi選取變換wi做迭代：

zk+1=(xk+1,yk+1)=wi(xk,yk),k=0,1,2,...

則點列{zk}收斂的極限圖形稱為一個IFS吸引子，即分形。利用IFS迭代可以生成美麗的分形，而且IFS迭代的程序具有通用性，要想得到不同的分形只需改變變換種的系數(shù)和概率值。由迭代函數(shù)系(IFS)產(chǎn)生分形的一般算法是：給定平面上的一組仿射變換wi:

2023/8/238黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形以及相應(yīng)的一組概率:p14.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形步驟：(1)設(shè)定迭代的可視區(qū)域為：V={(x,y)|xmin≤x≤xmax,ymin≤y≤ymax}再按分辨率的大小V分成a*b的網(wǎng)格，網(wǎng)格點為(xi,yi)，其中：xi=xmin+(xmax-xmin)*i/a,i=0,1,2,...,ayi=ymin+(ymax-ymin)*i/b,i=0,1,2,...,b設(shè)迭代N次；(2)設(shè)定初始點(x0,y0)，不妨取(0,0)；(3)在數(shù)列{1,2,...,n}中，以概率pi選取變換wi；(4)將變換作用到點(xk,yk)上，得到新點(xk+1,yk+1)；(5)畫出點(xk,yk)，直到循環(huán)結(jié)束。2023/8/239黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形步驟：2023/8/194.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形barnsley羊齒葉

wabcdefp10000.16000.0120.850.04-0.040.8501.60.8530.2-0.260.230.2201.60.074-0.150.280.260.4400.440.07程序：clear;clf;n=100000;%設(shè)置迭代次數(shù)v=rand(n,1);%隨機數(shù)用于每一步做概率系數(shù)x0=0;y0=0;x=[x0;zeros(n-1,1)];y=[y0;zeros(n-1,1)];%可視區(qū)域點數(shù)fori=2:n%按規(guī)則計算下一點坐標2023/8/2310黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形barnsley羊齒葉w4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i);%取概率ifvv<0.01%概率p=0.01y(i)=0.16*y(i-1);elseifvv<0.86%概率p=0.85x(i)=0.85*x(i-1)+0.04*y(i-1);y(i)=1.6-0.04*x(i-1)+0.85*y(i-1);elseifvv<0.93%概率p=0.07x(i)=0.2*x(i-1)-0.26*y(i-1);y(i)=1.6+0.23*x(i-1)+0.22*y(i-1);elsex(i)=-0.15*x(i-1)+0.28*y(i-1);y(i)=0.26*x(i-1)+0.24*y(i-1)+0.44;end2023/8/2311黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i);4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形endplot(x(1:n),y(1:n),'.r','markersize',1);axisoff

2023/8/2312黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形end2023/8/114.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形sierpinski墊

wabcdefp10.5000.5000.33320.5000.50.250.4330.33330.5000.50.500.333程序：clear;clf;n=100000;%設(shè)置迭代次數(shù)v=rand(n,1);%隨機數(shù)用于每一步做概率系數(shù)x0=0;y0=0;x=[x0;zeros(n-1,1)];y=[y0;zeros(n-1,1)];%可視區(qū)域點數(shù)fori=2:n%按規(guī)則計算下一點坐標2023/8/2313黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形sierpinski墊w4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i);%取概率ifvv<0.333%概率p=0.333x(i)=0.5*x(i-1);y(i)=0.5*y(i-1);elseifvv<0.666%概率p=0.333x(i)=0.5*x(i-1)+0.25;y(i)=0.433+0.5*y(i-1);elsex(i)=0.5*x(i-1)+0.5;y(i)=0.5*y(i-1);endendplot(x(1:n),y(1:n),'.b','markersize',1);axisoff2023/8/2314黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i);4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形2023/8/2315黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形2023/8/115黃建4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形分形樹wabcdefp10000.5000.0520.42-0.420.420.4200.20.430.420.42-0.420.4200.20.440.1000.100.20.15程序：clear;clf;n=100000;%設(shè)置迭代次數(shù)v=rand(n,1);%隨機數(shù)用于每一步做概率系數(shù)x0=0;y0=0;x=[x0;zeros(n-1,1)];y=[y0;zeros(n-1,1)];%可視區(qū)域點數(shù)fori=2:n%按規(guī)則計算下一點坐標2023/8/2316黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形分形樹wabcdefp14.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i);%取概率ifvv<0.05%概率p=0.05y(i)=0.5*y(i-1);elseifvv<0.45%概率p=0.4x(i)=0.42*x(i-1)-0.42*y(i-1);y(i)=0.2+0.42*(x(i-1)+y(i-1));elseifvv<0.85x(i)=0.42*(x(i-1)+y(i-1));y(i)=0.42*(y(i-1)-x(i-1))+0.2;elsex(i)=0.1*x(i-1);y(i)=0.2+0.1*y(i-1);end2023/8/2317黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i);4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形endplot(x(1:n),y(1:n),'.m','markersize',1);axisoff

2023/8/2318黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形end2023/8/114.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形levy曲線wabcdefp10.5-0.50.50.5000.520.50.5-0.50.50.50.50.5程序：clear;clf;n=100000;%設(shè)置迭代次數(shù)v=rand(n,1);%隨機數(shù)用于每一步做概率系數(shù)x0=0;y0=0;x=[x0;zeros(n-1,1)];y=[y0;zeros(n-1,1)];%可視區(qū)域點數(shù)fori=2:n%按規(guī)則計算下一點坐標2023/8/2319黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形levy曲線wabcde4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i);%取概率ifvv<0.5%概率p=0.5x(i)=0.5*(x(i-1)-y(i-1));y(i)=0.5*(x(i-1)+y(i-1));elsex(i)=0.5*(x(i-1)+y(i-1))+0.5;y(i)=-0.5*(x(i-1)-y(i-1))+0.5;endendplot(x(1:n),y(1:n),'.m','markersize',1);axisoff2023/8/2320黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形vv=v(i);4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形2023/8/2321黃建華制作4.6.2由迭代函數(shù)系生成的分形圖形2023/8/121黃建給定一個初始復(fù)數(shù)z0，由迭代：

zk+1=zk2+c,k=0,1,2,...其中zk為復(fù)數(shù),c為復(fù)常數(shù)對于給定的初始復(fù)數(shù)z0，迭代序列{zk}可能有界，也可能發(fā)散到無窮。使得序列{zk}有界的所有初值z0的集合J稱為復(fù)平面上的julia集。對于不同的參數(shù)c，julia集的形狀會有不同。

若固定初值z0，則對于不同的參數(shù)c，迭代序列{zk}可能有界，也可能發(fā)散到無窮。使得序列{zk}有界的所有參數(shù)c的集合M稱為復(fù)平面上的mandelbrot集。對于不同的參數(shù)z0，mandelbrot集的形狀也會有不同。

4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形2023/8/2322黃建華制作給定一個初始復(fù)數(shù)z0，由迭代：4.6.3由復(fù)變函數(shù)為了便于繪圖，令zk=xk+iyk,c=p+iq,則：

xk+1=xk2-yk2+p,yk+1=2xkyk+q記：rk+1=sqrt(xk2+yk2)則序列{zk}有界相當(dāng)于序列{rk}有界，可用一個上界值M來判斷是否有界。

julia集繪制步驟：(1)選定p,q,最大迭代次數(shù)kmax,上界M,顯示分辨率(xmax,ymax)迭代區(qū)域[xmin,xmax;ymin,ymax],步長hx=(xmax-xmin)/xmax,hy=(ymax-ymin)/ymax,進行循環(huán)4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形2023/8/2323黃建華制作為了便于繪圖，令zk=xk+iyk,c=p+iq,則：4.(2)建立初值與計算機屏幕上點的對應(yīng)關(guān)系：x0=xmin+ihx,y0=ymin+ihy,k=0(3)計算：

x1=x02-y02+p,y1=2x0y0+q;k=k+1,r=sqrt(x12+y12)(4)判斷：若r>M,表明點(x0,y0)產(chǎn)生的序列無界，用白色顯示點并轉(zhuǎn)向步驟(2)；若k=kmax,表明點(x0,y0)產(chǎn)生的序列有界，用黑色顯示點并轉(zhuǎn)向步驟(2)；若r≤M且k≤kmax，則繼續(xù)迭代；4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形2023/8/2324黃建華制作(2)建立初值與計算機屏幕上點的對應(yīng)關(guān)系：4.6.3由復(fù)變函mandelbrot集程序：clear;clf;x=linspace(-1.5,1.5,300);y=linspace(-2.25,0.75,300);%設(shè)置顯示范圍[X,Y]=meshgrid(x,y);%設(shè)置像素點的坐標n=100;c=X+i*Y;Z=X+i*Y;fork=1:n%迭代過程Z=Z.^2+c;endW=abs(Z);pcolor(X,Y,W);%繪制當(dāng)前顏色矩陣W的偽彩色圖shadingflat;%畫出二維曲面W的陰影,axis('square');colormapprism(256)%創(chuàng)建顏色矩陣,并返回顏色值gtext('mandelbrot圖')4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形2023/8/2325黃建華制作mandelbrot集程序：4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形2023/8/2326黃建華制作4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形2023/8/126黃mandelbrot集程序修改：clear;clf;x=linspace(-2,0.5,300);y=linspace(-1.25,1.25,300);%設(shè)置顯示范圍[X,Y]=meshgrid(x,y);%設(shè)置像素點的坐標n=200;c=X+i*Y;Z=0;W=zeros(size(X));fork=1:n%迭代過程Z=Z.^2+c;i0=find(abs(Z)>2);W(i0)=k;Z(i0)=nan;endi0=find(W==0);W(i0)=nan;pcolor(X,Y,W);shadingflat;axis('square');colormapprism(256)gtext('mandelbrot圖')4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形2023/8/2327黃建華制作mandelbrot集程序修改：4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形龜圖2023/8/2328黃建華制作4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形龜圖2023/8/12mandelbrot集程序再修改：clear;clf;x=linspace(-0.74547,-0.74538,300);y=linspace(0.11298,0.11304,300);%設(shè)置顯示范圍[X,Y]=meshgrid(x,y);%設(shè)置像素點的坐標n=200;c=X+i*Y;Z=0;W=zeros(size(X));fork=1:n%迭代過程Z=Z.^2+c;i0=find(abs(Z)>2);W(i0)=k;Z(i0)=nan;endi0=find(W==0);W(i0)=nan;pcolor(X,Y,W);shadingflat;axis('square');colormapprism(256)gtext('mandelbrot圖')4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形2023/8/2329黃建華制作mandelbrot集程序再修改：4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形2023/8/2330黃建華制作4.6.3由復(fù)變函數(shù)迭代生成的分形圖形20