專(zhuān)題08一元二次方程 全國(guó)獲獎(jiǎng)

2021年中考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)08一元二次方程

考點(diǎn)課標(biāo)要求考查角度1一元二次方程的解法了解一元二次方程的概念，理解配方法，會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．常以選擇題、填空題、解答題的形式考查一元二次方程的定義和解法．有時(shí)會(huì)要求用指定的方法解方程，以考查是否全面掌握了一元二次方程的解法．2一元二次方程根的判別式了解一元二次方程根的判別式，會(huì)用根的判別式判斷一元二次方程根的情況．常以選擇題、填空題的形式考查一元二次方程根的判別式，部分地市以探究題的形式考查．中考命題說(shuō)明

考點(diǎn)課標(biāo)要求考查角度3一元二次方程應(yīng)用題①能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型；②能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理．常以選擇題、填空題的形式考查一元二次方程的列法，以列方程解應(yīng)用題的形式考查解一元二次方程的基本思想和列方程解應(yīng)用題的意識(shí)．中考命題說(shuō)明思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程及有關(guān)概念

知識(shí)點(diǎn)梳理1.一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c為常數(shù)，a≠0），其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程及有關(guān)概念

知識(shí)點(diǎn)梳理3.一元二次方程必須具備三個(gè)條件：（1）必須是整式方程；（2）必須只含有1個(gè)未知數(shù)；（3）所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程．4.一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．典型例題【例1】下列關(guān)于x的方程是一元二次方程的是（）A．x2+1=0 B．C．a(chǎn)x2+bx+c=0 D．（x+1）（x–1）=x2+x+1【分析】A、是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；B、是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)a=0時(shí)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、化簡(jiǎn)后為–1=x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意，故選A．【答案】A.知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程及有關(guān)概念

典型例題【例2】（2018·興安盟·呼倫貝爾15/26）已知a，b是方程x2-x-3=0的兩個(gè)根，則代數(shù)式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值為

．【解答】解：∵a，b是方程x2-x-3=0的兩個(gè)根，∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+b+3+3(a+3)-11a-b+5=2a2-2a+17=2(a+3)-2a+17=2a+6-2a+17=23．故答案為：23．知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程及有關(guān)概念

知識(shí)點(diǎn)梳理1.解一元二次方程的基本思想：轉(zhuǎn)化思想，即把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)求解.2.常用方法：（1）直接開(kāi)平方法：對(duì)于形如x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（p≥0）的方程，直接開(kāi)平方．（2）配方法：將一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方為(x+m)2=n的形式，再用直接開(kāi)平方法求解．知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的解法

知識(shí)點(diǎn)梳理（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式為

（）．（4）因式分解法：將一元二次方程通過(guò)分解因式變?yōu)?x-a)(x-b)=0的形式，進(jìn)而得到x-a=0或x-b=0來(lái)求解．知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的解法

知識(shí)點(diǎn)梳理3.選擇技巧：（1）若一元二次方程缺少常數(shù)項(xiàng)，且方程的右邊為0，可考慮用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次項(xiàng)，可考慮用因式分解法或直接開(kāi)平方法求解；（3）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)時(shí)或常數(shù)項(xiàng)非常大時(shí)，可考慮用配方法求解；（4）若用以上三種方法都不容易求解時(shí)，可考慮用公式法求解.知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的解法

典型例題【例3】（2019·安徽省15/23）解方程：（x﹣1）2＝4．知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的解法

【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法．【分析】利用直接開(kāi)平方法，方程兩邊直接開(kāi)平方即可．【解答】解：兩邊直接開(kāi)平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．典型例題【例4】（2019?呼和浩特19/25）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的實(shí)數(shù)根．知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的解法

【解答】解：原方程化為一般形式為2x2﹣9x﹣34＝0，∴，．典型例題【例5】（2019·通遼6/26）一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是方程x2﹣8x+15＝0的一個(gè)根，其中一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，則該菱形的面積為（）A．48

B．24

C．24或40

D．48或80 知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的解法

【解答】解：

x2﹣8x+15＝0可化為（x﹣5）（x﹣3）＝0，所以x1＝5，x2＝3，∵菱形一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，∴菱形的邊長(zhǎng)為5，∴菱形的另一條對(duì)角線為

，∴菱形的面積＝

．故選：B．典型例題【例6】若實(shí)數(shù)a、b滿足(4a+4b)(4a+4b－2)－8=0，則a+b=__________.知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的解法

【解答】解：設(shè)a+b=x，則由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x﹣1）=0，解得

，x2=1．則a+b的值是

或1．故答案是：

或1．知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的根的判別式

知識(shí)點(diǎn)梳理1．一元二次方程根的判別式：

b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判別式．2.對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）當(dāng)

=b2－4ac＞0?方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即

；（2）當(dāng)=b2－4ac＝0?方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即（3）當(dāng)=b2－4ac＜0?方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根．典型例題【例7】（2020?吉林9/26）一元二次方程x2+3x-1=0根的判別式的值為

．知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的根的判別式

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式=b2-4ac即可求出值．【解答】解：∵a=1，b=3，c=-1，∴

=b2-4ac=9+4=13．所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判別式的值為13．故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，解決本題的關(guān)鍵是掌握根的判別式．典型例題【例8】（2020?北京10/28）已知關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是

．知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的根的判別式

【分析】根據(jù)根的判別式

＝0，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴

＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案為：1．典型例題【例9】（2020?新疆兵團(tuán)5/23）下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是（

）A．

B．x2+2x+4＝0 C．x2-x+2＝0 D．x2-2x＝0知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的根的判別式

【解答】解：A．此方程判別式

，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；B．此方程判別式

，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，不符合題意；C．此方程判別式

，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，不符合題意；D．此方程判別式

，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；故選：D．典型例題【例10】（2020?河南7/23）定義運(yùn)算：m☆n=mn2-mn-1．例如：4☆2=4×22-4×2-1=7．則方程1☆x=0的根的情況為（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．無(wú)實(shí)數(shù)根

D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的根的判別式

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則以及即可求出答案．【解答】解：由題意可知：1☆x=x2-x-1=0，∴

，故選：A．知識(shí)點(diǎn)4：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)梳理1.

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別為x1，x2，則有

，．2.

用根與系數(shù)的關(guān)系求值時(shí)的常見(jiàn)轉(zhuǎn)化：（1）

；

（2）

；（3）

；（4）

．知識(shí)點(diǎn)4：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

典型例題【例11】（2020?青海8/27）在解一元二次方程x2+bx+c=0時(shí)，小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)b，得到的解為x1=2，x2=3；小剛看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)c，得到的解為x1=1，x2=5．請(qǐng)你寫(xiě)出正確的一元二次方程

．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般形式【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到2×3=c，1+5=-b，然后求出b、c即可．【解答】解：根據(jù)題意得2×3=c，1+5=-b，解得b=-6，c=6，所以正確的一元二次方程為x2-6x+6=0．故答案為x2-6x+6=0．知識(shí)點(diǎn)4：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【例12】（2019?呼和浩特8/25）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x22﹣4x12+17的值為（）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝﹣1，x1?x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17＝x12+x22﹣5x12+17＝(x1+x2)2﹣2x1x2﹣5x12+17＝(﹣1)2﹣2×(﹣3)﹣5x12+17＝24﹣5x22＝24﹣5(﹣1﹣x1)2＝24﹣5(x12+x1+1)＝24﹣5×(3+1)＝4，故選：D．典型例題知識(shí)點(diǎn)5：一元二次方程的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)梳理1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟和列一元一次方程（組）解應(yīng)用題的步驟相同，即審、找、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答七步.知識(shí)點(diǎn)5：一元二次方程的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)梳理2.常見(jiàn)類(lèi)型：列一元二次方程解應(yīng)用題中，經(jīng)濟(jì)類(lèi)和面積類(lèi)問(wèn)題是?？碱?lèi)型，解決這些問(wèn)題應(yīng)掌握以下內(nèi)容：（1）增長(zhǎng)率等量關(guān)系：①增長(zhǎng)率＝

×100%；②設(shè)a為原來(lái)量，m為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量，則a(1+m)n=b；當(dāng)m為平均下降率，n為下降次數(shù)，b為下降后的量時(shí)，則有a(1-m)n=b.例如：第一年產(chǎn)值為a，若以后每年的增長(zhǎng)率均為x，則第二年的產(chǎn)值為a(1+x)，第三年的產(chǎn)值為a(1+x)2；若以后每年的降低率均為x，則第二年的產(chǎn)值為a(1–x)，第三年的產(chǎn)值為a(1–x)2．知識(shí)點(diǎn)5：一元二次方程的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)梳理（2）利潤(rùn)等量關(guān)系：①利潤(rùn)＝售價(jià)-成本；②利潤(rùn)率＝利潤(rùn)成本×100%.③總利潤(rùn)=單件的利潤(rùn)×數(shù)量．（3）面積問(wèn)題：充分利用各種圖形對(duì)應(yīng)的面積公式.知識(shí)點(diǎn)5：一元二次方程的應(yīng)用

典型例題【例13】（2020?河南8/23）國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加．2017年至2019年我國(guó)快遞業(yè)務(wù)收入由5000億元增加到7500億元．設(shè)我國(guó)2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（

）A．5000(1+2x)=7500

B．5000×2(1+x)=7500

C．5000(1+x)2=7500

D．5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500知識(shí)點(diǎn)5：一元二次方程的應(yīng)用

典型例題【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：2017年的快遞業(yè)務(wù)量×(1+增長(zhǎng)率)2=2019年的快遞業(yè)務(wù)量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【解答】解：設(shè)我國(guó)2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得：