2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第五章平面向量第二講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用課件文

第五章

平面向量第二講

平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用要點(diǎn)提煉1.向量的夾角注意

研究向量的夾角時應(yīng)注意“共起點(diǎn)”.考點(diǎn)平面向量的數(shù)量積定義圖示范圍共線與垂直設(shè)θ是a與b的夾角,則θ的取值范圍是

.θ=0或π?

,

?

a⊥b.∠AOB[0,π]a∥b

考點(diǎn)平面向量的數(shù)量積考點(diǎn)平面向量的數(shù)量積2.平面向量的數(shù)量積注意

(1)投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量,不是向量,可正、可負(fù)、可零.(2)零向量與任意向量的數(shù)量積為0.(3)一般情況下,a在b方向上的投影與b在a方向上的投影不相等.定義設(shè)兩個非零向量a,b的夾角為θ,則

叫作向量a與b的數(shù)量積,記作a·b.投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.|a||b|cosθ3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.注意

a⊥b?a·b=0是對非零向量a,b而言的.考點(diǎn)平面向量的數(shù)量積

幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b=|a||b|cosθ.a·b=x1x2+y1y2.模|a|=

.

夾角cosθ=

.

a⊥b的充要條件a·b=0.

.a∥b的充要條件a=λb(λ∈R).x1y2-x2y1=0.|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立).

x1x2+y1y2=04.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.注意

(1)向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量,a·(b·c)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線.(2)平方差公式,完全平方公式仍適用.考點(diǎn)平面向量的數(shù)量積

考點(diǎn)平面向量的數(shù)量積

√√???

?

2或5考向掃描

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

-1

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算方法技巧

1.求非零向量a,b的數(shù)量積的三種方法2.已知向量的數(shù)量積求參數(shù)的值：根據(jù)向量數(shù)量積的求解方法將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程,解方程即可.考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算方法適用范圍定義法已知或可求兩個向量的模和夾角.基底法直接利用定義法求數(shù)量積不可行時,可選取合適的一組基底(基底中的向量要已知模或夾角),利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別表示出來,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解.坐標(biāo)法①已知或可求兩個向量的坐標(biāo);②已知條件中有(或隱含)正交基底,優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系,使用坐標(biāo)法求數(shù)量積.角度2平面向量的投影問題2.

典例

[2021浙江高考]已知平面向量a,b,c(c≠0)滿足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c=0.記平面向量d在a,b方向上的投影分別為x,y,d-a在c方向上的投影為z,則x2+y2+z2的最小值是

.

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算DC

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

考向1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

考向2平面向量的模、夾角、垂直問題A

方法技巧

求平面向量模的兩種方法注意

在求解與向量的模有關(guān)的問題時,注意對結(jié)論(a±b)2=|a|2+|b|2±2a·b,(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+a·c)的靈活運(yùn)用.考向2平面向量的模、夾角、垂直問題公式法幾何法利用向量的幾何意義,即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解.

考向2平面向量的模、夾角、垂直問題BD

考向2平面向量的模、夾角、垂直問題

考向2平面向量的模、夾角、垂直問題考向2平面向量的模、夾角、垂直問題定義法坐標(biāo)法解三角形法可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解.注意向量夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系.方法技巧求平面向量夾角問題的3種方法角度3向量的垂直問題6.

典例

(1)[2020全國卷Ⅱ]

[文]已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中,與b垂直的是(

)A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-b(2)[2021全國卷乙]已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,則λ=

.

考向2平面向量的模、夾角、垂直問題D

考向2平面向量的模、夾角、垂直問題

考向2平面向量的模、夾角、垂直問題

考向2平面向量的模、夾角、垂直問題方法技巧 (1)證明兩個向量垂直的解題策略先計算出這兩個向量的坐標(biāo)或表示出兩個向量,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算公式,計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可.(2)已知兩個向量的垂直關(guān)系,求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件,列出相應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而求解參數(shù).考向2平面向量的模、夾角、垂直問題

考向2平面向量的模、夾角、垂直問題

1

考向2平面向量的模、夾角、垂直問題

考向3平面向量的綜合應(yīng)用A

考向3平面向量的綜合應(yīng)用

考向3平面向量的綜合應(yīng)用角度2平面向量在物理中的應(yīng)用9.

典例

質(zhì)量為m的物體靜止地放在斜面上,斜面與水平面的夾角為θ,則斜面對物體的摩擦力的大小為

,支持力的大小為

.

考向3平面向量的綜合應(yīng)用mgsinθmgcosθ解析如圖所示,物體受三個力:重力G(豎直向下,大小為mg),斜面對物體的支持力F(垂直于斜面,向上,大小為|F|),摩擦力f(與斜面平行,向上,大小為|f|).由于物體靜止,故這三個力平衡,合力為0,即G+F+f=0

①.記垂直于斜面向下、大小為1N的力為e1,平行于斜面向下、大小為1N的力為e2,以e1,e2為基底,則F=(-|F|,0),f=(0,-|f|),考向3平面向量的綜合應(yīng)用由圖知e1與G的夾角為θ,則G=(mgcosθ,mgsinθ).由①,得G+F+f=(mgcosθ-|F|,mgsinθ-|f|)=(0,0),所以mgcosθ-|F|=0,mgsinθ-|f|=0.故|F|=mgcosθ,|f|=mgsinθ.考向3平面向量的綜合應(yīng)用方法技巧

解決向量在物理中的應(yīng)用問題的策略(1)力、速度、加速度、位移等都是向量,它們的合成與分解可以用向量知識求解;(2)物理中的功W是力F與位移s的數(shù)量積,即W=F·s=|F||s|cosθ(θ為F與s的夾角).

考向3平面向量的綜合應(yīng)用

考向3平面向量的綜合應(yīng)用

考向3平面向量的綜合應(yīng)用

考向3平面向量的綜合應(yīng)用方法技巧

平面向量與三角函數(shù)的綜合問題,一般是以向量為載體,考查三角函數(shù)知識.求解思路:利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后應(yīng)用三角函數(shù)的相關(guān)知識和方法進(jìn)行求解.考向3平面向量的綜合應(yīng)用

考向3平面向量的綜合應(yīng)用D方法技巧

向量在解析幾何中的2個作用考向3平面向量的綜合應(yīng)用載體作用用向量做“包裝”,解題關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”,將條件轉(zhuǎn)化為長度關(guān)系,位置關(guān)系求解.工具作用

考向3平面向量的綜合應(yīng)用AC

考向3平面向量的綜合應(yīng)用D

考向3平面向量的綜合應(yīng)用

考向3平面向量的綜合應(yīng)用

考向3平面向量的綜合應(yīng)用

考向3平面向量的綜合應(yīng)用

考向3平面向量的綜合應(yīng)用攻堅克難

數(shù)學(xué)探索平面向量中的最值、范圍問題A

數(shù)學(xué)探索平面向量中的最值、范圍問題

數(shù)學(xué)探索平面向量中的最值、范圍問題

數(shù)學(xué)探索平面向量中的最值、范圍問題A

數(shù)學(xué)探索平面向量中的最值、范圍問題數(shù)學(xué)探索平面向量中的最值、范圍問題

方法技巧

1.平面向量中有關(guān)最值(或范圍)問題的兩種求解思路一是“形化”,即利用平面向量的幾何意義先將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題,然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷;二是“數(shù)化”,即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,先把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題,然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.數(shù)學(xué)探索平面向量中的最值、范圍問題2.求向量模的最值(或范圍)的方法(1)代數(shù)法,先把所求的模表示