2022-2023學(xué)年山東省青島市第二中學(xué)高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年山東省青島市第二中學(xué)高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題1.已知集合＝，＝，則等于（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：交集一元二次不等式的解法答案：B解析：由中不等式變形可得：，解得，，由中得到，即，

，則，故選.2.若復(fù)數(shù)滿足：，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法答案：C解析：因，則，

所以所求共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為

故選.3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說(shuō)：九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言．務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳．意為：斤棉花，分別贈(zèng)送給個(gè)子女做旅費(fèi)，從第個(gè)孩子開(kāi)始，以后每人依次多斤，直到第個(gè)孩子為止．分配時(shí)一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說(shuō)閑話．在這個(gè)問(wèn)題中，第個(gè)孩子分到的棉花為（

）A.

斤B.

斤C.

斤D.

斤知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問(wèn)題等差數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用答案：A解析：依題意得，八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為，前項(xiàng)和為，第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，

解得，．

故選.4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：正態(tài)分布及概率密度函數(shù)正態(tài)曲線的性質(zhì)答案：C解析：因?yàn)?，并且，又因?yàn)椋?，所以，所?/p>

，所以，故選.5.已知，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系二倍角的正弦、余弦、正切公式同角三角函數(shù)的平方關(guān)系角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系答案：D解析：因?yàn)椋?/p>

所以，且

所以

所以，

所以??

故選．6.設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為，則的面積為（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：余弦定理及其應(yīng)用橢圓的定義三角形的面積（公式）答案：C解析：因?yàn)闄E圓的方程為：，則，

，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為，

所以假設(shè)，則，

解得：，又因?yàn)椋?/p>

在中，由余弦定理可得：，

所以，

所以的面積為：

故選.7.已知函數(shù)???在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：三角恒等變換綜合應(yīng)用函數(shù)的圖象及性質(zhì)根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值范圍答案：C解析：因?yàn)?/p>

，

因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，由，則，

則，解得，，，即；

當(dāng)時(shí)，，要使得該函數(shù)取得一次最大值，

故只需，解得；

綜上所述，的取值范圍為

故選.8.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若對(duì)，都有，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值的概念與幾何意義函數(shù)中的恒成立問(wèn)題分段函數(shù)的圖象答案：B解析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以

又因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的部分圖像如下，

由圖可知，若對(duì)，都有，則故，，錯(cuò)誤

故選.9.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)，的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

軌跡的方程為?B.

在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，使得?C.

當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線D.

在上存在點(diǎn)，使得知識(shí)點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離直線和圓的數(shù)學(xué)文化問(wèn)題與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題答案：B；C解析：在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)（，），則，

化簡(jiǎn)得?，所以錯(cuò)誤；

假設(shè)在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，使得，

設(shè)則，化簡(jiǎn)得?，

由軌跡的方程為?，可得?，

解得?或?（舍去），即在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，使，所以正確；

當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，，可得射線是的平分線，所以正確；

若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)（，），則有?，化簡(jiǎn)得?，與聯(lián)立，方程組無(wú)解，故不存在點(diǎn)，所以錯(cuò)誤．

故選.10.已知函數(shù)，若在上的值域是，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：余弦（型）函數(shù)的定義域和值域答案：B；C解析：，因?yàn)椋裕?/p>

又因?yàn)榈闹涤蚴?，所以?/p>

可知的取值范圍是

故選.11.對(duì)于伯努利數(shù)，有定義：則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用答案：A；C；D解析：由得，

??，

所以，??，

同理，，??

所以，???，

，??

其中第項(xiàng)為???

??

即可得，???

令，得；

令，得??；

令，得??

同理，可得，??，；?

即可得選項(xiàng)正確，錯(cuò)誤；

由上述前項(xiàng)的值可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，除了之外其余都是，

即，也即；所以正確

故選.12.已知函數(shù)（為正整數(shù)，）的最小正周期，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（

）A.

是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)

B.

函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.

方程在上有三個(gè)解

D.

函數(shù)在上單調(diào)遞減知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的圖象及性質(zhì)正弦（型）函數(shù)的零點(diǎn)三角函數(shù)的圖象變換答案：A；B；D解析：因?yàn)?，，所以，解得?/p>

又為正整數(shù)，所以，所以，

所以函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)???

?由題意知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，即，

又，所以，，所以，

對(duì)于，，故正確；

對(duì)于，，故正確；

對(duì)于，令，因?yàn)?，所以?/p>

顯然在內(nèi)只有，兩個(gè)解，即方程在上只有兩個(gè)解，故錯(cuò)誤；

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故正確

故選總結(jié)：求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是會(huì)根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換法則求出變換后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，注意口訣“左加右減，上加下減，橫變，縱變”在解題中的應(yīng)用.13.一個(gè)布袋中，有大小、質(zhì)地相同的個(gè)小球，其中個(gè)是紅球，個(gè)是白球，若從中隨機(jī)抽取個(gè)球，則所抽取的球中至少有一個(gè)紅球的概率是

?.知識(shí)點(diǎn)：古典概型的應(yīng)用事件的互斥與對(duì)立組合的應(yīng)用答案：解析：從中隨機(jī)抽取個(gè)球，所有的抽法共有種，

事件所抽取的球中至少有一個(gè)紅球的對(duì)立事件為所抽取的球中沒(méi)有紅球，

而事件：所抽取的球中沒(méi)有紅球的概率為，

故事件所抽取的球中至少有一個(gè)紅球的概率等于，

故答案為14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作的切線，與交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積為

?．知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程（斜率）直線與拋物線的綜合應(yīng)用三角形的面積（公式）答案：解析：拋物線的焦點(diǎn)為且直線的傾斜角為，則，

所以直線方程為，即，

設(shè)，，不妨設(shè)在第一象限，

聯(lián)立，消去得解得，，

代入直線方程，則，，

因?yàn)橹本€與拋物線相切于點(diǎn)，

即，則，

所以，同理可得，

則可得直線方程為，即，

則其與軸交點(diǎn)，令，則，所以，

直線的方程為，即，

則其與軸交點(diǎn)，令，則，所以，所以，

聯(lián)立的方程，解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為，

．

故答案為：．15.已知函數(shù)，則的最小值為

?.知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的最大(小)值二次函數(shù)的圖象分析與判斷答案：解析：???，

不妨令?，則，

所以當(dāng)時(shí)，（）的取最小值．16.已知函數(shù)?有六個(gè)不同零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為，則的取值范圍為

．知識(shí)點(diǎn)：分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性絕對(duì)值的概念與幾何意義根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍函數(shù)零點(diǎn)存在定理答案：解析：，圖象關(guān)于對(duì)稱，

又的六個(gè)零點(diǎn)之和為，，解得：，

，

令，則與有個(gè)不同交點(diǎn)，

；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，

，

又與在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，

結(jié)合對(duì)稱性可得其大致圖象如下圖所示：

由圖象可知：若與有個(gè)不同交點(diǎn)，則，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為17.某電視臺(tái)挑戰(zhàn)主持人節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個(gè)問(wèn)題，其中前兩個(gè)問(wèn)題回答正確各得分，回答不正確得分，第三個(gè)問(wèn)題回答正確得分，回答不正確得分．如果一位挑戰(zhàn)者回答前兩個(gè)問(wèn)題正確的概率都是，回答第三個(gè)問(wèn)題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．若這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總分不低于分就算闖關(guān)成功．(1)求至少回答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的概率．(2)求這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的分布列．(3)求這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率．知識(shí)點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)互斥事件的概率加法公式事件的互斥與對(duì)立相互獨(dú)立事件的概率答案：(1)設(shè)至少回答對(duì)一個(gè)問(wèn)題為事件，則.(2)這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的所有可能取值為.

根據(jù)題意，，

，

，

，

，

.

隨機(jī)變量的分布列是(3)設(shè)這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功為事件，則.解析：(1)略(2)略(3)略18.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正方形硬紙片，切去如陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得，，，四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)，正好形成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒，，是邊上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)

(1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域.(2)當(dāng)為多少時(shí)，包裝盒的容積（）最大？最大容積是多少？知識(shí)點(diǎn)：建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積函數(shù)求定義域答案：(1)設(shè)包裝盒的高為，底面邊長(zhǎng)為，

則，，，

所以，；(2)由，

可得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，

當(dāng)時(shí)，取得極大值也是最大值：．

所以當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是．解析：(1)略(2)略19.已知函數(shù).(1)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，討論當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：存在唯一的極大值點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與極值利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)零點(diǎn)存在定理答案：(1)，設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，令，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)證明：當(dāng)時(shí)，，，

由（1）可知的最小值為，而，又，

由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得存在使得，又在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，

又在上單調(diào)遞增，故在上不存在極大值點(diǎn)，

所以存在唯一的極大值點(diǎn).解析：(1)略(2)略20.已知數(shù)列中，，，，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求．知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系累加法求數(shù)列通項(xiàng)構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用等比數(shù)列的基本量數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題答案：(1)因?yàn)?，，?/p>

所以，，

所以，，

所以.

而也符合該式，故.(2)，

.解析：(1)略(2)略21.已知直線方程為，其中.(1)當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值及此時(shí)的直線方程；(2)若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于，兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)的直線方程.知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離直線系方程三角形的面積（公式）直線方程的綜合應(yīng)用利用基本不等式求最值答案：(1)因?yàn)橹本€方程為，其中，

即，

令，解得，

故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，

當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為，

此時(shí)，和直線垂直，所以直線的斜率為，即，解得，

此時(shí)直線的方程為；(2)因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，

設(shè)直線方程為，，令則，令，則，

所以，，

所以，

因?yàn)椋?/p>

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

所以面積的最小值為，此時(shí)直線的方程為，即．解析：(1)略(2)略22.