1 菱形的性質與判定 壓軸題 北師大版九年級上冊

/1.1菱形的性質與判定（壓軸題）-北師大版九年級上冊一．選擇題1．若菱形的周長為100cm，有一條對角線為48cm，則菱形的面積為（）A．336cm2 B．480cm2 C．300cm2 D．168cm22．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD分別為16和12，DE⊥AB于點E，則DE＝（）A． B． C．10 D．83．如圖，?ABCD對角線AC，BD交于點O，請?zhí)砑右粋€條件：____使得?ABCD是菱形（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD4．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，已知AO＝2，OB＝4，則菱形ABCD的面積是（）A．4 B．8 C．16 D．205．如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E在邊BC上，連接AE，OE．若∠CAE＝∠OBE，OE＝2，CE＝，則邊AB的長為（）A． B． C． D．56．已知菱形的面積為120cm2，一條對角線長為10cm，則這個菱形的周長為（）cm．A．13 B．24 C．52 D．607．如圖，菱形ABCD對角線AC、BD相交于點O，點E在AC上，CE＝CD，AC＝16，CD＝10，則DE的長為（）A．2 B．4 C． D．48．如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB的垂直平分線EF交AC于點F，連接DF，若∠BAD＝80°，則∠CDF的度數為（）A．60° B．80° C．85° D．100°9．如圖，一個木制的活動衣帽架由3個全等的菱形構成．已知菱形的邊長為13cm，當掛鉤B、D間的距離是30cm時，則掛鉤A、C間的距離是（）cm．A． B． C．12 D．2410．已知菱形ABCD，E、F是動點，邊長為5，BE＝AF，∠BAD＝120°，則下列命題中正確的是（）①△BEC≌△AFC；②△ECF為等邊三角形；③△ECF的邊長最小值為3；④若AF＝2，則S△FGC＝S△EGC．A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③二．填空題11．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝40°，則∠CBD的度數為．12．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A在y軸上，頂點B，C的坐標分別為（﹣6，0），（4，0），則點D的坐標是．13．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥BC于點H，連接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長為．14．菱形的邊長為10厘米，一條對角線為16厘米，它的面積是平方厘米．15．如圖，菱形ABCD中，∠A＝100°，點E、G分別是AB、BC邊上的中點，過點E作EF⊥CD交CD于點F，連接GE、GF，則∠GFC＝．三．解答題16．如圖．P是菱形ABCD的對角線AC上一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AD于點F．（1）若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的長；（2）若∠BAD＝90°，判斷四邊形AEPF的形狀，并說明理由．17．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E．（1）證明：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）若AC＝24，BD＝10，求△ADE的周長．18．如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O．且AO＝CO，點E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．（1）求證：△AOE≌△COD；（2）若AB＝BC，求證：四邊形AECD是菱形．19．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，請直接寫出△AOE的面積為．20．在△ABC中，過A作AD∥BC，交∠ACB的平分線于點D，點E是BC上，連接DE，交AB于點F，∠EFB＝∠CAB．（1）如圖1，求證：四邊形ACED是菱形；（2）如圖2，G是AD的中點，H是邊AC的中點，連接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中與△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）．參考答案與試題解析一．選擇題1．【解答】解：如圖，設對角線AC、BD交于點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，周長為100cm，BD＝48cm，∴AB＝25cm，OA＝OC，OB＝OD＝24cm，AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝7（cm），∴AC＝2OA＝14cm，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝×14×48＝336（cm2），故選：A．2．【解答】解：如圖，設AC與BD的交點為O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝8，DO＝BO＝6，AC⊥BD，∴AB＝＝＝10，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DE，∴×16×12＝10×DE，∴DE＝，故選：A．3．【解答】解：當AC⊥BD時，?ABCD是菱形，故選：B．4．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝4，BD＝2OB＝8，則菱形ABCD的面積＝×AC×BD＝4×8＝16故選：C．5．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，AB＝BC，∵∠CAE＝∠OBE，∠ACE＝∠OCB，∴△ACE∽△BCO，∴∠AEC＝∠BOC＝90°，，∵AO＝OC，∴AC＝2OE＝4，∴，∴BC＝，∴AB＝，故選：A．6．【解答】解：∵菱形的一條對角線長為10cm，面積為120cm2，∴另一對角線長為＝24（cm），根據勾股定理，菱形的邊長為＝13（cm），則菱形的周長＝13×4＝52（cm）．故選：C．7．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，DO＝BO，AC⊥BD，∵AC＝16，CD＝10，∴CO＝8，∴OD＝＝＝6，∵CE＝CD＝10，∴OE＝CE﹣OC＝10﹣8＝2，∴DE＝＝＝2，故選：A．8．【解答】解：連接BF，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝80°，∴∠DAC＝40°，∠ADC＝100°，AC⊥BD，DO＝BO，∴BF＝DF，∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF＝40°，∴∠CDF＝60°，故選：A．9．【解答】解：如圖，一個木制的活動衣帽架為菱形ABCE．∵活動衣帽架由3個全等的菱形構成，∴當掛鉤B、D間的距離是30cm時，BE＝＝10（cm），∵四邊形ABCE為菱形，∴AC⊥BE，AO＝CO，BO＝EO，∵BE＝10cm，∴BO＝5cm，∵AB＝13cm，∴OA＝＝＝12（cm），∴AC＝2AO＝24（cm），故選：D．10．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°．∵BE＝AF，∠B＝∠CAF，BC＝AC，∴△BEC≌△AFC（SAS）；故①正確；∵△BEC≌△AFC；∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，∴∠BCA＝∠ECF＝60°，∴△ECF是等邊三角形，故②正確；∵△ABC是等邊三角形，AB＝BC＝5，∴當CE⊥AB時，△ECF的邊長取最小值，在Rt△CBE中，∠B＝60°，BC＝5，∴CE＝BC?sinB＝5×＝，∴△ECF的邊長最小值為，故③錯誤；過點E作EM∥BC，交AC于點M，∵△BEC≌△AFC，∴BE＝AF＝2，∵AB＝5，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3．∵EM∥BC，∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∴△AEM是等邊三角形，∴AE＝EM＝3．∵AD∥BC，∴AF∥EM，∴＝＝，∴S△FGC＝S△EGC，方法2：∵AF＝2，∴AE＝3，∵菱形對角線是∠EAF的角平分線，∴點G到AF和AE兩邊距離相等，∴兩個三角形等高，∴面積比＝AF：AE＝2：3．故④正確．故選：C．二．填空題11．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C＝40°，CD＝CB，∴∠CBD＝70°，故答案為：70°．12．【解答】解：∵頂點B，C的坐標分別為（﹣6，0），（4，0），∴OB＝6，OC＝4，∴BC＝OB+OC＝10，∵菱形ABCD，∴AB＝AD＝BC＝10，AD∥BC，在Rt△ABO中，，∴A（0，8），∵AD∥BC，AD＝10，∴D（10，8）．故答案為：（10，8）．13．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵OA＝4，∴AC＝2OA＝8，∵S菱形ABCD＝24，∴×8×BD＝24，解得：BD＝6，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∵DO＝BO，∴OH＝BD＝×6＝3，故答案為：3．14．【解答】解：四邊形ABCD是菱形，因為菱形的對角線互相垂直平分，所以OA＝8，OB＝，即BD＝12，所以菱形的面積為（平方厘米），故答案為：96．15．【解答】解：如圖，延長EG，DC交于點H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝100°，AB∥CD，∴∠B＝∠BCH，∠BEG＝∠H，∵點E、G分別是AB、BC邊上的中點，∴AE＝BE＝AB，BG＝GC＝BC，∴BE＝BG＝GC，在△BEG和△CHG中，，∴△BEG≌△CHG（AAS），∴BE＝CH，EG＝GH，∴GC＝CH，∴∠H＝∠CGH，∵∠BCD＝∠H+∠CGH＝100°，∴∠H＝∠CGH＝50°，∵EG＝GH，EF⊥CD，∴GF＝GH，∴∠GFC＝∠H＝50°，故答案為：50°．三．解答題16．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠PAD＝∠PAB＝30°，∵PE⊥AE，∴AP＝2PE＝2，∴AE＝＝＝；（2）四邊形AEPF是正方形，理由如下：在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（AAS），∴PE＝PF；∵∠BAD＝90°，PE⊥AB，PF⊥AD，∴四邊形AEPF是矩形，∴四邊形AEPF是正方形．17．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四邊形ACDE是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴AO＝AC＝12，DO＝BD＝5，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴CD＝AD＝＝＝13，由（1）得：四邊形ACDE是平行四邊形，∴AE＝CD＝13，DE＝AC＝24，∴△ADE的周長＝AD+AE+DE＝13+13+24＝50．18．【解答】（1）證明：在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（ASA）；（2）證明：∵△AOE≌△COD，∴OD＝OE，又∵AO＝CO，∴四邊形AECD是平行四邊形，又∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC，∴平行四邊形AECD是菱形．19．【解答】（1）證明：∵AC為∠BAD的平分線，∴∠CAB＝∠DAC，∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：如圖，過O作OP⊥AE于P，∵四邊形ABCD是菱形，BD＝2，∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝1，∴∠AOB＝90°，∴OA＝＝＝3，∴AC＝2OA＝6，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°＝∠AOB，又∵∠OAB＝∠EAC，∴△AOB∽△AEC，∴＝，∴＝，解得EA＝，∵OP⊥AE，∴AB?OP＝OA?OB，∴OP＝3×1，∴OP＝，∴S△AOE＝AE?OP＝×＝．故答案為：．20．【解答】（1）證明：∵∠EFB＝∠CAB∴DE∥AC，∵AD∥BC，∴四邊形ACED是平行四邊形，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠