一線三垂直模型及其在平面幾何中的應用

關于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應用“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況,關于“一線三等角”模型詳見,即三個等角角度為90o,于是有三組邊相互垂直,所以稱為“一線三垂直”模型;“一線三垂直”的性質(zhì)：1,模型中必定存在至少兩個三角形相似,三對等角,三對成比例的邊長；2,當模型中有一組對應邊長相等時,則模型中必定存在全等三角形;“一線三垂直”模型在平面幾何中有著及其重要的地位,常出現(xiàn)的圖例有以下幾種：其中,在“變形2”模型下,根據(jù)相似原理,推理出了著名的“射影定理”這里主要討論有一對對應邊相等的情況;例1如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=BC,AE⊥CE于點E,BD⊥CE于點D,AE=5cm,BD=2cm,則DE的長為多少CD=AE=5cm,CE=BD=2cm,DE=5-2=3cm例2如圖,在△ABC中,CA=CB,點D為BC中點,CE⊥AD于點E,交AB于點F,連接解析此題乍一看起來和例1相同,卻不能照搬照抄;從要證明的結(jié)論來看,需要把AD這條線段“轉(zhuǎn)化”到直線CF上;如圖,過點B作BG⊥CB,交CF的延長線于點G;則易證△ACD≌△CBG,于是AD=CG=CF+FG；BG=CD=BD,BF=BF,∠DBF=∠GBF=45o,故△BDF≌△BGF,于是FD=FG,所以AD=CF+DF;關于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應用二“一線三垂直”的性質(zhì)：1,模型中必定存在至少兩個三角形相似,三對等角,三對成比例的邊長；2,當模型中有一組對應邊長相等時,則模型中必定存在全等三角形;例3如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,分別過B,C向過A點的直線作垂線,垂足分別為E,F;1如圖1,過點A的直線與斜邊BC不相交時,求證：EF=EB+CF；2如圖2,過點A的直線與斜邊BC相交時,其他條件不變,若BE=10,CF=3.求EF的長;提示1圖1是“一線三垂直”的基礎模型,△ABE≌CAF；2圖2是“一線三垂直”的變形4,和例1相同;例4如圖,已知△AEB中,∠AEB=90o,以AB為邊向外作正方形ABCD,連接AC、BD,交于點O,連接EO;若BE=2,EO=3√2,求五邊形AEBCD的面積;解析因為∠解析因為∠ABC=∠AEB=90o,故構(gòu)造“一線三垂直”模型,如圖;過點C作CP⊥EB,交EB延長線于點P,連接OP;則根據(jù)“一線三垂直”模型的性質(zhì),△AEB≌△BPC,∵∠AOB=∠AEB=90o,∴A、E、B、O四點共圓詳見,∴∠BEO=∠BAO=45o;同理∠BPO=∠BCO=45o,故△EOP為等腰直角三角形；根據(jù)勾股定理,AB2=16+4=20,即S正方形ABCD=20,S△AEB=4×2÷2=4,∴S五邊形AEBCD=20+4=24.關于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應用三例5已知△ABC中,∠ACB=90o,AC=BC,CD為AB邊上的中線,點E為BC邊上任意一點不與A、D、B重合,BF⊥CE于點F,交CD于點G,AH⊥CE,交CE延長線于點H,交CD延長線于點M;提示1根據(jù)“一線三垂直”模型,△ACH≌△CBF,∴∠ACE=∠CBG,又∠CAE=∠BCG=45o,AC=BC,∴△ACE≌△BCG；2由“一線三垂直”模型可知,∠ACE=∠CBG,BF=CH,∴∠HCM=∠FBE,又∠BFE=∠CHM=90o,∴△CHM≌△BFE,BE=CM,從而DE=DM;同時我們也應該注意到：△ACM≌△CBE；△ADM≌△CDE≌△BDG；△AHE≌△CFG；DM=DG=DE；△GEM為等腰直角三角形等;構(gòu)造“一線三垂直”模型,是作輔助線常用的一種手段;例6如圖,直線l1∥l2∥l3,且l1到l2的距離為3,l2到l3的距離為4,等腰直角△ABC的直角頂點C在l2上,點A、B分別在l1、l3上;求△ABC的面積;提示過點提示過點C作l2的垂線,分別交l1和l3于點D、E,構(gòu)造“一線三垂直”模型,則CD=3,AD=CE=4,AC=5.關于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應用四形,AD∥BC,∠BCD=90o,AB=BC+AD,∠DAC=45o,E為CD上一點,且∠BAE=45o,若CD=4,求△ABE的面積;解析如圖解析如圖,過點E作EG⊥AE,交AB延長線于點G,過點G作GH⊥DC,交DC延長線于點H,構(gòu)造“一線三垂直”模型；過點G作GK⊥BC于點K,過點B作BF⊥AD于點F;則△ADE≌△EHG,DE=GH；AD=EH=CD,∴DE=CH,故四邊形CKGH為正方形;AF=4-BC,AB=4+BC,BF=4,∴4+BC2=4-BC2+42,設DE=x,則BK=1-x,GK=x,AE2=x2+42∵△AEG為等腰直角三角形,∴AG2=2AE2,5+BG2=2x2+42,將BG代入,化簡得：7x-42=0,x=4/7,∴△ABE面積=梯形ABCD面積-△ADE面積-△BCE面積=1+4×4÷2-4×4/7÷2-1×4-4/7÷2=50/7;在直角坐標系中構(gòu)造“一線三垂直”模型,是解決坐標問題的一種有效手段;例8如圖,在直角坐標系中,點A1,2,點B0,-1,已知△ABC為等腰直角三角形,求點C的坐標;解析設Cm,p;1當∠BAC為直角時：①當點C在AB右側(cè)時,如圖1;過點A作DE∥x軸,交y軸于點D,過點C作CE⊥DE于點E;根據(jù)“一線三垂直”模型,△ABD≌△ACE,∴DB=AE,CE=DA,即：m-1=3,2-p=1,②當點C在AB左側(cè)時,如圖2;過點A作DE∥x軸,交y軸于點D,過點C作CE⊥DE于點E;根據(jù)“一線三垂直”模型,△ABD≌△ACE,∴DB=AE,CE=DA,即：1-m=3,p-2=1,或者用下列方法：此時,點C和①中的C關于點A對稱,故m=2×1-4=-2,p=2×2－1=3.2當∠ABC為直角時：①當點C在AB右側(cè)時,如圖3;過點A作AE∥x軸,交y軸于點E,過點C作CD⊥y軸于點D;根據(jù)“一線三垂直”模型,△ABE≌△BCD,∴DB=AE,BE=CD,即：-1-p=1,m=3,解②當點C在AB左側(cè)時,如圖4;過點B作DE∥x軸,過點C作CD⊥DE于點D,過點A作AE⊥DE于點E;根據(jù)“一線三垂直”模型,△ABE≌△BCD,∴BE=CD,BD=AE,即：0-m=3,p--1=1,或者用下列方法：此時,點C和①中的C關于點B對稱,故m=2×0-3=-3,p=-1×2－-2=0.3當∠ACB為直角時：①當點C在AB右側(cè)時,如圖5;過點C作CD∥x軸,過點A作AD⊥CD于點D,CD交y軸于點E;根據(jù)“一線三垂直”模型,△ACD≌△CBE,∴BE=CD,CE=DA,即：m=2-p,p--1=m-1,②當點C在AB左側(cè)時,如圖6;過點C作CD∥x軸,過點A作AD⊥CD于點D,CD交y軸于點E;根據(jù)“一線三垂直”模型,△ACD≌△CBE,或者用下列方法：此時,點C和①中的C關于AB的中點對稱,AB的中點坐標為,,故m=2×=-1,p=×2－0=1.綜上所述：符合條件的點C的坐標有6個：4,1；-2,3；3,-2；-3,0；2,0；-1,1;關于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應用五前面討論的是關于“一線三垂直模型”有兩條邊相等時的情況;如果不存在兩條邊相等,那么“一線三垂直模型”的性質(zhì)是必然存在一對或幾對相似三角形,這個性質(zhì)在初中平面幾何中的應用也是十分廣泛,尤其在直角坐標系中的函數(shù)圖像與平面幾何的綜合應用題或壓軸題經(jīng)常得到應用,也是作輔助線的思想方法;經(jīng)常出現(xiàn)的圖例跟前面介紹的一樣,只是直角的兩條邊不一定相等;例9如圖,在直角坐標系中,點A1,3,點B2,-1,坐標軸上是否存在點C,使得∠ACB為直角若存在,請求出點C的坐標；若不存在,請說明理由;如圖1,設C0,c,分別過點A、B作x軸的平行線,交y軸于點D、E;則根據(jù)“一線三垂直模型”,△ACD∽△CBE,=1+√2,c2=1-√2,故C0,1+√2；或C0,1-√2；如圖2,如圖2,設Cc,0,分別過點A、B作y軸的平行線,交x軸于點D、E;則根據(jù)“一線三垂直模型”,△ACD∽△CBE,或3∶c-2=c-1∶2,綜上所述,符合條件的點C的坐標有4個,分別為：0,1+√2；0,1-√2；例10如圖,在直角坐標系中,點A1,3,點B2,-1