2019北京陳經(jīng)綸中學初三（上）期中數(shù)學試卷含答案

2019北京陳經(jīng)綸中學初三（上）期中

數(shù)學

一.選擇題（共8小題）

1.下列數(shù)學符號中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

AScTTDOO

2.把拋物線y=/向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為（）

A.y=(x+lp+2B.y=(x-1)'+2

C.y=(x+l)2-2D.y=-2

3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,E為CD延長線上一點，如果NADE=120。，那么NB等于（)

4.二次函數(shù)y=ov2+6x+c的圖象如圖所示，則下列結論正確是（）

A.<7>0,b>0,c>0B.a<0,bVO,c<0

C.a<0fb>0,c<0D.a>0,bVO,c>0

5.半徑為7的圓，其圓心在坐標原點，則下列各點在圓外的是（）

A.(3,4)B.(4,4)C.(4,5)D.(4,6)

6.如圖，把菱形ABOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形DFOE,則下列角中不是旋轉(zhuǎn)角的為（)

A.ZBOFB.ZAODC.ZCOED.ZCOF

7.《九章算術》是我國古代著名數(shù)學著作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道

長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學語言可表述為：“如圖，8為O。的直徑，弦A8LOC于E，石。=1寸，

A5=10寸，求直徑CO的長.”則8=

A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸

8.如圖，Rt^ABC中，AC=BC=2,正方形CDEF頂點D、F分別在AC、BC邊上，C、D兩點不重合，設CD的

長度為x,ZXABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關系的是()

D.(D)

填空題(共8小題)

9.請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x=3的二次函數(shù)解析式.

10.點M(1,-2)關于原點對稱點的坐標是.

11.如圖，把△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35。，得到VA'8'C,43'交AC于點。，若NA'OC=90°,則/

A=0

12.頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為

中國四大名園.該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為2米的正六邊形，那么這個地基的面積是米2.

13.如圖，拋物線y=o?與直線y=的兩個交點坐標分別為A(—2,4),則關于x的方程

ax2-bx-c=0的解為

14.如圖，PA、PB是。。的切線，A、B分別為切點，PO交圓于點C,若NAPB=60。，PC=6,則AC的長為

在學習《圓》這一章時，老師給同學們布置了一道尺規(guī)作圖題:

尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線.

已知：尸為。。外一點.

求作：經(jīng)過點尸的。。的切線.

小敏的作法如下:

如圖,

(1)連接0P,作線段0P的垂直平分線MN交0P于點C；

(2)以點C為圓心，C。的長為半徑作圓，交。。于A,B兩點;

(3)作直線PA,PB.所以直線PA,PB就是所求作的切線.

老師認為小敏的作法正確.

請回答：連接0A,08后，可證NO4P=NOBP=90。，其依據(jù)是；由此可證明直線PA,PB都是。。的切

線，其依據(jù)是,

16.如圖，在平面直角坐標系中，將正方形0LBC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OAgG，依此方式，繞點

。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形。1201952019c2019,如果點A的坐標為(1,0),那么點8刈9的坐標為

三.解答題(共12小題)

17.已知：二次函數(shù)圖象如圖所示，求這個二次函數(shù)的表達式.

18.已知二次函數(shù)>=爐-6x+8.

(1)將-6x+8化成y=a(x-〃)2+k的形式;

(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象；

(3)當0白*時?，y的取值范圍是.

109-

8

7

6

5

4

3

2

1

_12345678910X

19.如圖，A,。是半圓上的兩點，。為圓心，8c是直徑，ZD=35°,求NOAC的度數(shù).

20.如圖，在平面直角坐標系中，AAOB的三個頂點坐標分別為A(1,0),O(0,0),B(2,2).以點。為旋

轉(zhuǎn)中心，將△AOS逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△AIOBI.

(1)畫出△A。?；

(2)直接寫出點4和點⑤的坐標;

(3)求線段的長度.

21.一件輪廓為圓形的文物出土后只留下了一塊殘片，文物學家希望能把此件文物進行復原，因此把殘片抽象成了

一個弓形，如圖所示，經(jīng)過測量得到弓形高CD=g米，ZCAD=300,請你幫助文物學家完成下面兩項工作:

（1）作出此文物輪廓圓心0的位置（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求出弓形所在圓的半徑.

22.如圖，在等邊△ABC中，點。是A3邊上一點，連接CO,將線段CO繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到

CE,連接AE.求證:AE//3C.

23.如圖，有一塊鐵片下腳料，其外輪廓中曲線是拋物線的一部分，要裁出一個等邊三角形，使其一個頂點與拋

物線的頂點重合，另外兩個頂點在拋物線上，求這個等邊三角形的邊長（結果精確到0］，73?1.732）?

24.如圖，割線ABC與。。相交于8、C兩點，。為。。上一點，E為弧8C的中點，0E交BC于F,OE交AC于

G,ZADG=ZAGD.

(1)求證明：A。是。。的切線；

(2)若NA=60。，。。的半徑為4,求的長.

25.吳京同學根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對一個新函數(shù)y=-——的圖象和性質(zhì)進行了如下探究，請幫他把探究

x-4x+5

過程補充完整

(1)該函數(shù)的自變量x的取值范圍是

(2)列表：

X-2-10123456

_5_5_

m-1-5n-1

y~2~2~~n

表中m=,n=.

(3)描點、連線

在下面的格點圖中，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，描出上表中各對對應值為坐標的點(其中x為橫坐標，y

①______

②______

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線產(chǎn)--/+1的對稱軸是直線x=\.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點。(〃，、)，E(3,”)在拋物線上，若yi<”，請直接寫出”的取值范圍;

(3)設點M(p,q)為拋物線上一個動點，當-l<p<2時，點M關于)，軸的對稱點都在直線產(chǎn)履-4的上

方，求々的取值范圍.

27.已知：在△ABC中，N8AC=90。，AB=AC.

(1)如圖1,將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到A。，連結C￡>、BD,/8AC的平分線交3。于點E,連結

CE.

①求證：/AED=NCED；

②用等式表示線段AE、CE、8。之間的數(shù)量關系(直接寫出結果)；

(2)在圖2中，若將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到AQ,連結C。、BD,/BAC的平分線交8。的延長線于

點、E,連結CE.請補全圖形，并用等式表示線段AE、CE、之間的數(shù)量關系，并證明.

28.定義：把一個半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓

如圖，拋物線丫=爐-復-3與》軸交于點4B,與y軸交于點。，以A8為直徑，在x軸上方作半圓交y軸于點

C,半圓的圓心記為M,此時這個半圓與這條拋物線x軸下方部分組成的圖形就稱為“蛋圓

(1)直接寫出點4,B,C的坐標及“蛋圓”弦CD的長；

A,B,C,CD=；

(2)如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.

①求經(jīng)過點C的“蛋圓”切線的解析式；

②求經(jīng)過點D“蛋圓”切線的解析式；

(3)由(2)求得過點。的“蛋圓”切線與x軸交點記為E,點F是“蛋圓”上一動點，試問是否存在SASE=SACDF,

若存在請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；

(4)點尸是“蛋圓”外一點，且滿足NBPC=60。，當8戶最大時，請直接寫出點P的坐標.

備用圖

參考答案

選擇題(共8小題)

1.下列數(shù)學符號中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()

AScTTDOO

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義即可判斷.

【詳解】A既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形；

B是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；

C是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；

D既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，

故選D.

【點睛】此題主要考察軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義，熟知其定義是解題的關鍵.

2.把拋物線y=/向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為()

A.y=(jr+1)~+2B.y=(x-1)"+2

C.y=(x+l)2-2D.y=(x-l)2-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】解：把拋物線y=d向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為：.=(X+1)2-2.

故選：C.

【點睛】此題考查了拋物線的平移，屬于基本題型，熟知拋物線的平移規(guī)律是解答的關鍵.

3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,E為CD延長線上一點，如果NADE=120。，那么NB等于()

A.130°B.120°C.80°D.60°

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：..?四邊形ABCD內(nèi)接于。O,.??NB=/ADE=120。.故選B.

考點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

4.二次函數(shù)），=加+歷汁<:的圖象如圖所示，則下列結論正確是（)

A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c<0

C.<2<0,h>0,c<0D.i?>0,b<0,c>0

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向確定“VO,再根據(jù)對稱軸在y軸右，可確定。與6異號，然后再根據(jù)二

次函數(shù)與y軸的交點可以確定c>0.

【詳解】解：；拋物線開口向上，

Aa>0,

?.?對稱軸在y軸右側，

；.a與b異號，

.?.bVO,

???拋物線與y軸交于正半軸，

/.c>0,

故選D.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a知），

①二次項系數(shù)a決定拋物線開口方向和大小.

當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口.

②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.

當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右.（簡稱：左同右

異）

③.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于（0,c）.

5.半徑為7的圓，其圓心在坐標原點，則下列各點在圓外的是（）

A.（3,4）B.（4,4）C.（4,5）D.（4,6）

【答案】D

【解析】

【分析】本題可由勾股定理等性質(zhì)算出點與圓心的距離"，則”>，?時，點在圓外；當"=「時，點在圓上，當

時，點在圓內(nèi).

【詳解】A、d=5<r,所以在圓內(nèi);

B、d=4y/2<r,所以在圓內(nèi)；

C、d=而<r,所以在圓內(nèi)；

D、d=2y/\3>r,所以在圓外.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系，確定點與圓心的距離與半徑的大小關系是解題的關鍵.

6.如圖，把菱形ABOC繞點0順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形DFOE,則下列角中不是旋轉(zhuǎn)角的為()

A.ZBOFB.ZAODC.ZCOED.ZCOF

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：兩對應邊所組成的角都可以作為旋轉(zhuǎn)角，結合圖形即可得出答案.

詳解：A.OB旋轉(zhuǎn)后的對應邊為OF,故/3O/可以作為旋轉(zhuǎn)角，故本選項錯誤；

B.OA旋轉(zhuǎn)后的對應邊為0￡>,故NAOO可以作為旋轉(zhuǎn)角，故本選項錯誤；

C.OC旋轉(zhuǎn)后的對應邊為OE,故NCOE可以作為旋轉(zhuǎn)角，故本選項錯誤；

D.OC旋轉(zhuǎn)后的對應邊為OE不是。凡故NCO尸不可以作為旋轉(zhuǎn)角，故本選項正確；

故選D.

點睛：考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應邊與旋轉(zhuǎn)中心之間的夾角就是旋轉(zhuǎn)角.

7.《九章算術》是我國古代著名數(shù)學著作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道

長一尺，問徑幾何？“用數(shù)學語言可表述為：“如圖，CO為。。的直徑，弦。于E，石。=1寸，

AB=10寸，求直徑CO的長則8=

A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸

【答案】C

【解析】

【分析】連接AO,根據(jù)垂徑定理及勾股定理即可求出半徑，即可求出CD的長.

【詳解】如圖，連接AO,設AO=OD=r,

故OE=r-1,

VAB=10,；.AE=5,

由AO2=AE2+OE2,即r2=52+(r-1)2,

解得E3,故CD=2r=26

故選C

【點睛】此題主要考查垂徑定理，解題的關鍵是根據(jù)勾股定理進行求解.

8.如圖，Rt^ABC中，AC=BC=2,正方形CDEF的頂點D、F分別在AC、BC邊上，C、D兩點不重合，設CD的

長度為x,AABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關系的是()

B

口?V.U.

A.(A)B,(B)C.(C)D.(D)

【答案】B

【解析】

【詳解】解：當OVxWl時，y=x2,

當1<XW2時，ED交AB于M,EF交AB于N,如圖，

；RtZ\ABC中，AC=BC=2,

.?.△ADM為等腰直角三角形，

，DM=2-x,

EM=x-(2-x)=2x-2,

2

SAENM=7(2x-2)2=2(x-1),

/.y=x2-2(x-1)2=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,

x2,(O<x<l)

-(x-2)~+2,(l〈x42)

故選B.

【點睛】本題考查通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能

力.用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

填空題(共8小題)

9.請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x=3的二次函數(shù)解析式.

【答案】y=r-6x+6(答案不唯一).

【解析】

【分析】因為開口向上，所以“>0；根據(jù)對稱軸為x=3,可知頂點的橫坐標為3,縱坐標可任意選擇一個數(shù)，由頂

點式寫出二次函數(shù)解析式.

【詳解】依題意取。=1,頂點坐標(3,-3),

由頂點式得y=(x-3)2-3.

即y—x1-6x+6.

故答案為：、=/-6*+6(答案不唯一).

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的對稱軸、開口方向與拋物線頂點式的關系：頂點式

y=a(x-h)2+k,頂點坐標是(/?，左)，對稱軸是x=。>0時，開口向上，。<0時，開口向下.

10.點M(1,-2)關于原點對稱點的坐標是.

【答案】(-1,2)

【解析】

【分析】根據(jù)關于原點的對稱點，橫坐標互為相反數(shù)、縱坐標互為相反數(shù)，可得答案.

【詳解】解：平面直角坐標系內(nèi)，點M(1,-2)關于原點對稱點的坐標是(-1,2),

故答案為：(-1,2).

【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，平面直角坐標系中任意一點P(x,y),關于原點的對稱點是(-x,-

y),即關于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù).

11.如圖，把△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35。，得到VAB'C,A3'交AC于點。，若NA'OC=90°，則/

A=。

【答案】55

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NAC4'=35。，NA=NA，再由直角三角形兩銳角互余，即可求解.

【詳解】解：???把△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35。，得到VA'3'C

ZAC4'=35°,ZA=ZA',

???ZA'￡)C=90。，

二ZA'=55°

/.ZA=55°.

故答案為：55

【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，直角三角形兩銳角的關系，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余是

解題的關鍵.

12.頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為

中國四大名園.該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為2米的正六邊形，那么這個地基的面積是米2.

【答案】：673

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，易得AOBC是等邊三角形，繼而可得正六邊形的邊長，由S除娜=6S,、OBC求得結果即

可.

【詳解】解：如圖所示：

連接OB,OC,過點O作OH_LBC于H

"/六邊形ABCDEF是正六邊形

.,.ZBOC=-x360°=60°

6

VOB=OC

/.△OBC是等邊三角形

BC=OB=OC

1

.?.BH=—BC=1

2

AOH=73

S正六邊彩=6SAOBC=6x—x2x=6y/3

故答案為：673.

【點睛】本題主要考查了圓和正多邊形，數(shù)形結合，求出一個等邊三角形面積義6即為所得

13.如圖，拋物線y=^2與直線y=Zzx+c的兩個交點坐標分別為4（-2,4）,則關于x的方程

【解析】

y=ax2[x.=-2[x-\

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題得到方程組《的解為《，V2,,于是易

y^bx+c〔X=4[%=]

得關于x的方程ax2-bx-c=0的解.

【詳解】解：???拋物線y="2與直線丁=陵+。的兩個交點坐標分別為A（—2,4）,8（1,1）,

-2%2=1

方程組《.,的解為《

y=bx+cX=4。2=1'

即關于X的方程/_反i=0的解為玉=-2,x2=l.

故答案為X1二-2,X2=l.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)丫=a乂2+6*+。（a#））的頂點坐標是（-上h■:A-℃CIC—。h~）,對稱軸直線

2a4。

b

X=--.也考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題.

2a

14.如圖，PA、PB是。。的切線，A、B分別為切點，PO交圓于點C,若NAPB=60。，PC=6,則AC的長為

【答案】2+

【解析】

【分析】如圖，設CP交。。于點D,連接AD.由切線的性質(zhì)易證aAOP是含30度角的直角三角形，所以由三角

形的性質(zhì)求得半徑=2：然后在等邊AAOD中得到AD=OA=2；最后通過解直角4ACD來求AC的長度.

【詳解】解：如圖，設CP交。0于點D,連接AD.設0O的半徑為r.

?；PA、PB是。O的切線，NAPB=60。，

1

/.OA1AP,ZAPO=-ZAPB=30°.

2

...OP=2OA,ZAOP=60°,

.?.PC=2OA+OC=3r=6,則r=2,

VZAOD=60°,AO=DO,

.?.△AOD是等邊三角形，則AD=OA=2,

又；CD是直徑，

；./CAD=90。，

ZACD=30°,

AC=AD,cot30°=2y/3，

故答案為2出.

15.閱讀下面材料：

在學習《圓》這一章時，老師給同學們布置了一道尺規(guī)作圖題：

尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線.

已知：尸為。。外一點.

求作：經(jīng)過點P的。。的切線.

小敏的作法如下：

如圖，

(1)連接0P,作線段0P的垂直平分線MN交0P于點C；

(2)以點C為圓心，CO的長為半徑作圓，交。。于A,8兩點；

(3)作直線PA,PB.所以直線PA,PB就是所求作的切線.

老師認為小敏的作法正確.

請回答：連接040B后，可證NOAP=NO8P=90。，其依據(jù)是；由此可證明直線PA,P8都是。。的切

線，其依據(jù)是.

【答案】①.直徑所對的圓周角是直角②.經(jīng)過半徑外端，且與半徑垂直的直線是圓的切線.

【解析】

【分析】分別利用圓周角定理以及切線的判定方法得出答案.

【詳解】解：連接0408后，可證尸=/08尸=90。，其依據(jù)是：直徑所對的圓周角是直角;

由此可證明直線PA,PB都是。。的切線，其依據(jù)是：經(jīng)過半徑外端，且與半徑垂直的直線是圓的切線.

故答案為直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑外端，且與半徑垂直的直線是圓的切線.

【點睛】此題主要考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是熟知圓周角定理以及切線的判定方法.

16.如圖，在平面直角坐標系中，將正方形0A3C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形O44G，依此方式，繞點

。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形。4201982019c2019,如果點A的坐標為（1,0）,那么點不。"的坐標為.

【答案】（―J5,o）

【解析】

【分析】根據(jù)圖形可知：點B在以O為圓心，以OB為半徑的圓上運動，由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形OABC繞點O逆時針

旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形OAIBIG,相當于將線段OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45。，可得對應點B的坐標，根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是

8次一循環(huán)，可得結論.

T

【詳解】：四邊形OABC是正方形，且OA=1,連接0B,

由勾股定理得：0B=&,

由旋轉(zhuǎn)得：OB=OBI=OB2=OB3=..=72>

?.,將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形OAiBC”

相當于將線段0B繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45。,依次得到NAOB=NBOB產(chǎn)NBQB2=...=45。，

BI（0,^）,B2（T,1）,B3（-0,O）,…，

發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2019+8=252...3,

??.點B2019的坐標為（-④',0）

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連接線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角，也考查了坐標與圖形的變化、規(guī)律型、點的坐標等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法.

三.解答題（共12小題）

17.已知：二次函數(shù)的圖象如圖所示，求這個二次函數(shù)的表達式.

［答案］y——x~—x—1.

33

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象知，該函數(shù)經(jīng)過點（3,0）（-1,0）且對稱軸為x=l.所以利用待定系數(shù)法可求得該二

次函數(shù)的解析式.

【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象知，對稱軸為x=l,

由拋物線的對稱性，函數(shù)圖象與x軸的交點是（3,0）,另一個交點為（-1,0）,

設二次函數(shù)解析式為y=“（x+1）（x-3）（#0）,

將（0,-1）代入，解得：a=-,

3

，二次函數(shù)解析式為（x+1）（x-3）,

i2

即二次函數(shù)解析式為丁=3/一]》一1.

【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)拋物線與x軸的兩交點，設交點式.

18.已知二次函數(shù)y=/-6x+8.

（1）將y=/-6x+8化成（x-力）的形式；

（2）畫出這個二次函數(shù)的圖象；

（3）當0三彩4時，y的取值范圍是.

y小

io9-

8

7

6

5

4

3

2

1

[I1_11I11?[1]I>

-4-3-2-lf_12345678910x

-2-

-3-

-4-

【答案】（1）y=（x-3）2-1；（2）詳見解析；（3）-1WQ8.

【解析】

【分析】（1）利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊成完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化

為頂點式；

（2）確定其對稱軸、頂點坐標及與坐標軸的交點坐標后即可確定函數(shù)的圖象；

（3）分別令x=0和4求得函數(shù)值后即可確定y的取值范圍.

【詳解】（1），=/-6x+8

=（x2-6x+9）-9+8

=（x-3）2-1；

（2）由（1）題得：對稱軸為x=3,頂點坐標為（3,-1）,開口向上，

XL0123456JL

yL830-1038L

描點，連線，故圖象為:

(4)?.?當x=0時，y=8；當尤=4時，y=0,

又?.?當x=3時，y有最小值-1,

.?.當0勺彳4時，y的取值范圍是-1英8,

故答案為-1W)W8.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)以及利用頂點式求拋物線的對稱軸、頂點坐標的方法，靈活運用配方法把一

般式化為頂點式是解題的關鍵.

19.如圖，A,。是半圓上的兩點，。為圓心，BC是直徑，/。=35。，求NOAC的度數(shù).

【答案】ZOAC=55°.

【解析】

【分析】首先根據(jù)圓周角定理得到NB的度數(shù)，再求出/ACB的度數(shù)，結合三角形內(nèi)角和或者等腰三角形的性質(zhì)即

可求出/OAC的度數(shù).

【詳解】解法一：

；.NB=ND=35。,

是直徑，

ZBAC=90°.

ZACB=900-N48C=55°,

：OA=OC,

.../OAC=NOCA=55°.

解法二：

解：；/。=35。，

ZAOC=2ZD=70°,

\'OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

,/ZOAC+ZOCA+ZAOC=180°,

：.ZOAC=55°.

【點睛】本題考查同弧所對圓周角和圓心角的關系.利用直徑所對的圓周角是直角這一條件是解題的關鍵.

20.如圖，在平面直角坐標系中，^AOB的三個頂點坐標分別為A(1,0),O(0,0),B(2,2).以點。為旋

轉(zhuǎn)中心，將△AOB逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△4081.

(1)畫出△AOS；

(2)直接寫出點4和點Bi的坐標；

(3)求線段0助的長度.

>'n

~3r

?-I----1-|----r----1-----1-----1

十

卜十一2

—

—I

十

卜

十1

I-----r-+-2--+-+-T

ill?I?

J-<L.一---一人—」

【答案】⑴作圖見解析；(2)Ai(0,1),點8(-2,2).(3)2g

【解析】

【分析】(1)按要求作圖.

(2)由(1)得出坐標.

(3)由圖觀察得到，再根據(jù)勾股定理得到長度.

【詳解】解：(1)畫出△AOBi,如圖.

(2)點4(0,1),點囪(-2,2).

(3)OB\=OB=yj22+22"\/2-

【點睛】本題主要考查的是繪圖、識圖、勾股定理等知識點，熟練掌握方法是本題的解題關鍵.

21.一件輪廓為圓形的文物出土后只留下了一塊殘片，文物學家希望能把此件文物進行復原，因此把殘片抽象成了

一個弓形，如圖所示，經(jīng)過測量得到弓形高CD=(米，NCAD=30。，請你幫助文物學家完成下面兩項工作：

(1)作出此文物輪廓圓心O的位置(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)求出弓形所在圓的半徑.

2

【答案】(1)作圖見解析；(2)

【解析】

【分析】(1)作AC的垂直平分線交CD的延長線于點O,點O即為所求作的點；

(2)在Rtz^ACD中，ZCAD=30°,所以NC=60°,因此△AOC為等邊三角形，在Rt^ACD中求出AC的長即可求

出圓的半徑長.

【詳解】解：(1)作圖如下：

答：點。即為所求作的點.

(2)解：連接AO

在RtaACD中，ZCAD=30°

2

二AC=—，ZACD=60°

5

VAO=CO

2

AO=CO=AC=—

5

答：此弓形所在圓的半徑為|.

【點睛】本題考查基本幾何作圖；垂徑定理及勾股定理，掌握相關定理靈活應用是本題的解題關鍵.

22.如圖，在等邊AABC中，點。是AB邊上一點，連接C。，將線段CO繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到

CE,連接4E.求證:AE//BC.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,/B=NACB=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出

CD=CE,N￡)C￡=60°,根據(jù)SAS推出初四三AACE,根據(jù)全等得出NB=NE4C=60°,根據(jù)平行線的判

定定理即可證得答案.

等邊AABC中，...AC=3C,NB=ZACB=60°,

???線段CO繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到CE,

:.CD=CE,ZDCE=60。，

/.ZDCE^ZACB,

即N1+N2=N2+N3,,

Z1=Z3,

在反?8與A4CE中，

BC=AC

<N1=N3

CD=CE

ABCDMAACE(SAS)

NB=N￡4C=60°,

/.ZEAC^ZACB

：.AE//BC

【點睛】本題考查了平行線的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用全等三角形的證明是解題的關鍵.

23.如圖，有一塊鐵片下腳料，其外輪廓中的曲線是拋物線的一部分，要裁出一個等邊三角形，使其一個頂點與拋

物線的頂點重合，另外兩個頂點在拋物線上，求這個等邊三角形的邊長(結果精確到0一1,73?1.732)?

6dm

/6dm\

【答案】5.2dm.

【解析】

【分析】以拋物線的頂點0為坐標原點，過點O作直線AB的平行線和垂線分別作為x軸和y軸，建立平面直角坐

標系，設拋物線解析式為y=ax2(a#)),利用已知數(shù)據(jù)求出a的值，再利用等邊三角形的性質(zhì)計算即可.

【詳解】解：以拋物線的頂點0為坐標原點，過點O作直線AB的平行線和垂線分別作為x軸和y軸，建立平面直

設拋物線解析式為y=ax2(a/0),

2

D(3,-6)在拋物線上代入得：a=——,

?.'△ABO是等邊三角形，

.\OH=73BH,

設B(x,

x=-1x2,

?*.Xl=0(舍)，X2=3^",

2

AB=36=5.2(dm),

答：等邊三角形的邊長為5.2dm

【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用及等邊三角形的性質(zhì)，數(shù)形結合思想解題是本題的解題關鍵.

24.如圖，割線ABC與。。相交于8、C兩點，。為。。上一點，E為弧8c的中點，0E交BC于F,OE交AC于

G,ZADG=ZAGD.

(1)求證明：AO是。。的切線；

(2)若NA=60。，。。的半徑為4,求EO的長.

【答案】(1)見解析；(2)DE=4B

【解析】

【分析】(1)要證AD是。。的切線，只要連接OD,再證NADO=90。即可；

(2)作OHLED于H,根據(jù)垂徑定理得到DE=2DH,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到結論.

【詳解】(1)證明：連接OD.

???E為BC中點，

AOE1BC,

VOD=OE,

.??ZODE=ZOED,

JZAGD+NOED=ZEGF+ZOED=90°,

VZAGD=ZADG,

AZADG+ZODE=90°,即OD_LAD,

???AD是。O的切線；

(2)作OH_LED于H,

DE=2DH,

ZADG=ZAGD,

AAG=AD,

ZA=60°,

.,.ZADG=60°,

???NODE=30。，

VOD=4,

??.DH=?OD=25

???DE=2DH=46.

【點睛】本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點即為半徑，再證垂

直即可，還考查了垂徑定理，直角三角形的性質(zhì).

25.吳京同學根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對一個新函數(shù)y=-笆三的圖象和性質(zhì)進行了如下探究，請幫他把探究

過程補充完整

（1）該函數(shù)的自變量X的取值范圍是

（2）列表：

X-2-10123456

_5

m-1-5n-1

y一萬~2~2-17

表中m=,

（3）描點、連線

在下面的格點圖中，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，描出上表中各對對應值為坐標的點（其中x為橫坐標，y

為縱坐標），并根據(jù)描出的點畫出該函數(shù)的圖象：

（4）觀察所畫出的函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：

①;

②.

【答案】（1）一切實數(shù)（2）（3）見解析（4）該函數(shù)有最小值沒有最大值；該函數(shù)圖象關于直線x=2

22

對稱

【解析】

【分析】（1）分式的分母不等于零;

(2)把自變量的值代入即可求解；

(3)根據(jù)題意描點、連線即可；

(4)觀察圖象即可得出該函數(shù)的其他性質(zhì).

【詳解】(1)由丫=--~知，X2-4X+5/),所以變量x的取值范圍是一切實數(shù).

x—4x+5

故答案為一切實數(shù)；

公、5155

(2)m=—(5+4+5——ETTN

(4)觀察所畫出函數(shù)圖象，有如下性質(zhì)：①該函數(shù)有最小值沒有最大值；②該函數(shù)圖象關于直線x=2對稱.

故答案為該函數(shù)有最小值沒有最大值；該函數(shù)圖象關于直線x=2對稱

【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖表畫出函數(shù)的圖象是解題的關鍵.

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+2/nx-nr+\的對稱軸是直線x=\.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點。(?,yi),E(3,J2)在拋物線上，若力<以，請直接寫出〃的取值范圍；

(3)設點M(p,q)為拋物線上的一個動點，當-l<p<2時，點M關于)，軸的對稱點都在直線尸質(zhì)-4的上

方，求左的取值范圍.

【答案】(1)拋物線的解析式為產(chǎn)-F+2x.(2)當"V-1或〃>3時，

(3).?二的取值范圍是-2WK1.

【解析】

【詳解】試題分析：(1)由拋物線的對稱軸方程可求得機=1,從而可求得拋物線的表達式；

(2)將43代入拋物線的解析式，可求得”=3,將尸3代入拋物線的解析式可求得為=-1,及=3,由拋物線的開口

向下，可知當"<-1或〃>3時，y\<yz-,

(3)先根據(jù)題意畫出點"關于y軸對稱點M的軌跡，然后根據(jù)點“關于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方，

求出最大與最小兩個關于k的方程，即可求得上的取值范圍.

解：(1)..,拋物線的對稱軸是x=l,

??——1.

2a-2

??/77—15

.*?y—x~+2x.

(2)將x=3代入拋物線的解析式得3=-32+2X3=-3,

將y=-3代入得：-/+2x=-3,

解得：XI=T/2=3.

當n<-\或n>3時,%勺2.

(3)由題意得拋物線,=一/+2%(-l<x<2)

關于丫軸對稱的拋物線為y=_2x(—2<x<1)

當x=1時，y=—3,

當直線y=收一4經(jīng)過點(1,一3)時，

可得％=1;

當x=-2時，y=0,

當直線y="―4經(jīng)過點(-2,0)時,

可得左=—2.

綜上所述，k的取值范圍是一2?4?1.

點睛：本題主要考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的增減性、二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象關系.本題的

難點在第三問中，而利用數(shù)形結合是解題的關鍵.

27.已知:在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.

（1）如圖1,將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到A。，連結C。、BD,/8AC的平分線交于點E,連結

CE.

①求證：/AED=/CED；

②用等式表示線段4E、CE、8力之間的數(shù)量關系（直接寫出結果）；

（2）在圖2中，若將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到AD,連結CD、BD,/BAC的平分線交8。的延長線于

點E,連結CE.請補全圖形，并用等式表示線段AE、CE、之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】（1）①證明見解析；@BD^2CE+AE,理由見解析；（2）補圖見解析，2CE-AE=BD,證明見解析.

【解析】

【分析】⑴①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AD,/DAC=60。,由“SAS”可證4ABE絲ACE,可得/3=/4=15。,由三角形外角的

性質(zhì)可得結論;②過點A作AHLBD于點H,由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)可得

BD=2BH=2（BE+EH）=2BE+AE=2EC+AE;

⑵以A為頂點,AE為一邊作/EAF=6（T,AF交DB延長線于點F,通過證明ACAE絲4DAF和4BAE絲z^CAE,可得

CE=DF,BE=CE,即可得2CE-AE=BD.

【詳解】證明：（1）

圖1

①???將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AD,

：.AC=AD,ZDAC=60°

/BAD=NBAC+NCAD=150°,且AB=AC^AD

；./3=/5=15°

VZBAC=90°,AB=AC,AE平分NBAC

.?.N1=N2=45°,/ABC=/ACB=45°

又??,AE=AE,

A/XABE^^ACE(SAS)

???N3=N4=15。

???N6=N7=30。

???ZDEC=Z6+Z7=60°

,?ZAED=Z3+Z1=6O°

???ZAED=ZCED

②BD=2CE+AE

理由如下：

過點A作于點”,

：.BE=CE,

VZAED=60°fAHLBD

：.AE=2EH

*：AB=ADfAHLBD

:.BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE

(2)補全圖形如圖，

E

2CE-AE=BD

理由如下：

如圖2,以A為頂點，4E為一邊作NE4F=60。，AE交。3延長線于點F.

VZBAC=90°,AB=ACtAE平分NBA。

???ZBAE=NCAE=45。,ZABC=ZACB=45°.

???將線段4c繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AD,

：.AC=AD,ZDAC=60°

：.ZDAE=ZDAC-ZCAE=\5Q,AB=AD

:?/ABD=NADB,ZBAD=30°

：.NABD=NADB=75°

：.ZAED=ZADB-ZDAE=60°

?.,/EAF=60。

又???NEAF=60。，

???ZF=60°

???△8￡尸是等邊三角形.

：.AE=AF=EF.

u

：AC=ADfZCAE=ZDAF=45°fAE=AFf

：./\CAE^/\DAF(SAS).

:?CE=DF.

*：AB=AC,ZBAE=ZCAE=45°fAE=AE,

AABAEVACAE(SAS).

：.BE=CE,

：.BE=CE,

?:DF+BE-EF=BD,

：.2CE-AE=BD

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)中三角形的性質(zhì)，主要在于掌握三角形的全等與相似.

28.定義：把一個半圓與拋物線的