2019北京陳經(jīng)綸中學初三(上)期中數(shù)學試卷含答案_第1頁
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文檔簡介

2019北京陳經(jīng)綸中學初三(上)期中

數(shù)學

一.選擇題(共8小題)

1.下列數(shù)學符號中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是()

AScTTDOO

2.把拋物線y=/向左平移1個單位,再向下平移2個單位,所得拋物線的解析式為()

A.y=(x+lp+2B.y=(x-1)'+2

C.y=(x+l)2-2D.y=-2

3.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于OO,E為CD延長線上一點,如果NADE=120。,那么NB等于()

4.二次函數(shù)y=ov2+6x+c的圖象如圖所示,則下列結論正確是()

A.<7>0,b>0,c>0B.a<0,bVO,c<0

C.a<0fb>0,c<0D.a>0,bVO,c>0

5.半徑為7的圓,其圓心在坐標原點,則下列各點在圓外的是()

A.(3,4)B.(4,4)C.(4,5)D.(4,6)

6.如圖,把菱形ABOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形DFOE,則下列角中不是旋轉(zhuǎn)角的為()

A.ZBOFB.ZAODC.ZCOED.ZCOF

7.《九章算術》是我國古代著名數(shù)學著作,書中記載:“今有圓材,埋在壁中,不知大小以鋸鋸之,深一寸,鋸道

長一尺,問徑幾何?”用數(shù)學語言可表述為:“如圖,8為O。的直徑,弦A8LOC于E,石。=1寸,

A5=10寸,求直徑CO的長.”則8=

A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸

8.如圖,Rt^ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF頂點D、F分別在AC、BC邊上,C、D兩點不重合,設CD的

長度為x,ZXABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關系的是()

D.(D)

填空題(共8小題)

9.請寫出一個開口向上,且對稱軸為直線x=3的二次函數(shù)解析式.

10.點M(1,-2)關于原點對稱點的坐標是.

11.如圖,把△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35。,得到VA'8'C,43'交AC于點。,若NA'OC=90°,則/

A=0

12.頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大,保存最完整的古代皇家園林,它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為

中國四大名園.該園有一個六角亭,如果它的地基是半徑為2米的正六邊形,那么這個地基的面積是米2.

13.如圖,拋物線y=o?與直線y=的兩個交點坐標分別為A(—2,4),則關于x的方程

ax2-bx-c=0的解為

14.如圖,PA、PB是。。的切線,A、B分別為切點,PO交圓于點C,若NAPB=60。,PC=6,則AC的長為

在學習《圓》這一章時,老師給同學們布置了一道尺規(guī)作圖題:

尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線.

已知:尸為。。外一點.

求作:經(jīng)過點尸的。。的切線.

小敏的作法如下:

如圖,

(1)連接0P,作線段0P的垂直平分線MN交0P于點C;

(2)以點C為圓心,C。的長為半徑作圓,交。。于A,B兩點;

(3)作直線PA,PB.所以直線PA,PB就是所求作的切線.

老師認為小敏的作法正確.

請回答:連接0A,08后,可證NO4P=NOBP=90。,其依據(jù)是;由此可證明直線PA,PB都是。。的切

線,其依據(jù)是,

16.如圖,在平面直角坐標系中,將正方形0LBC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OAgG,依此方式,繞點

。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形。1201952019c2019,如果點A的坐標為(1,0),那么點8刈9的坐標為

三.解答題(共12小題)

17.已知:二次函數(shù)圖象如圖所示,求這個二次函數(shù)的表達式.

18.已知二次函數(shù)>=爐-6x+8.

(1)將-6x+8化成y=a(x-〃)2+k的形式;

(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象;

(3)當0白*時?,y的取值范圍是.

109-

8

7

6

5

4

3

2

1

_12345678910X

19.如圖,A,。是半圓上的兩點,。為圓心,8c是直徑,ZD=35°,求NOAC的度數(shù).

20.如圖,在平面直角坐標系中,AAOB的三個頂點坐標分別為A(1,0),O(0,0),B(2,2).以點。為旋

轉(zhuǎn)中心,將△AOS逆時針旋轉(zhuǎn)90。,得到△AIOBI.

(1)畫出△A。?;

(2)直接寫出點4和點⑤的坐標;

(3)求線段的長度.

21.一件輪廓為圓形的文物出土后只留下了一塊殘片,文物學家希望能把此件文物進行復原,因此把殘片抽象成了

一個弓形,如圖所示,經(jīng)過測量得到弓形高CD=g米,ZCAD=300,請你幫助文物學家完成下面兩項工作:

(1)作出此文物輪廓圓心0的位置(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);

(2)求出弓形所在圓的半徑.

22.如圖,在等邊△ABC中,點。是A3邊上一點,連接CO,將線段CO繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到

CE,連接AE.求證:AE//3C.

23.如圖,有一塊鐵片下腳料,其外輪廓中曲線是拋物線的一部分,要裁出一個等邊三角形,使其一個頂點與拋

物線的頂點重合,另外兩個頂點在拋物線上,求這個等邊三角形的邊長(結果精確到0],73?1.732)?

24.如圖,割線ABC與。。相交于8、C兩點,。為。。上一點,E為弧8C的中點,0E交BC于F,OE交AC于

G,ZADG=ZAGD.

(1)求證明:A。是。。的切線;

(2)若NA=60。,。。的半徑為4,求的長.

25.吳京同學根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,對一個新函數(shù)y=-——的圖象和性質(zhì)進行了如下探究,請幫他把探究

x-4x+5

過程補充完整

(1)該函數(shù)的自變量x的取值范圍是

(2)列表:

X-2-10123456

_5_5_

m-1-5n-1

y~2~2~~n

表中m=,n=.

(3)描點、連線

在下面的格點圖中,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中,描出上表中各對對應值為坐標的點(其中x為橫坐標,y

①______

②______

26.在平面直角坐標系xOy中,拋物線產(chǎn)--/+1的對稱軸是直線x=\.

(1)求拋物線的表達式;

(2)點。(〃,、),E(3,”)在拋物線上,若yi<”,請直接寫出”的取值范圍;

(3)設點M(p,q)為拋物線上一個動點,當-l<p<2時,點M關于),軸的對稱點都在直線產(chǎn)履-4的上

方,求々的取值范圍.

27.已知:在△ABC中,N8AC=90。,AB=AC.

(1)如圖1,將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到A。,連結C£>、BD,/8AC的平分線交3。于點E,連結

CE.

①求證:/AED=NCED;

②用等式表示線段AE、CE、8。之間的數(shù)量關系(直接寫出結果);

(2)在圖2中,若將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到AQ,連結C。、BD,/BAC的平分線交8。的延長線于

點、E,連結CE.請補全圖形,并用等式表示線段AE、CE、之間的數(shù)量關系,并證明.

28.定義:把一個半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓

如圖,拋物線丫=爐-復-3與》軸交于點4B,與y軸交于點。,以A8為直徑,在x軸上方作半圓交y軸于點

C,半圓的圓心記為M,此時這個半圓與這條拋物線x軸下方部分組成的圖形就稱為“蛋圓

(1)直接寫出點4,B,C的坐標及“蛋圓”弦CD的長;

A,B,C,CD=;

(2)如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點,那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.

①求經(jīng)過點C的“蛋圓”切線的解析式;

②求經(jīng)過點D“蛋圓”切線的解析式;

(3)由(2)求得過點。的“蛋圓”切線與x軸交點記為E,點F是“蛋圓”上一動點,試問是否存在SASE=SACDF,

若存在請求出點F的坐標;若不存在,請說明理由;

(4)點尸是“蛋圓”外一點,且滿足NBPC=60。,當8戶最大時,請直接寫出點P的坐標.

備用圖

參考答案

選擇題(共8小題)

1.下列數(shù)學符號中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是()

AScTTDOO

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義即可判斷.

【詳解】A既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形;

B是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形;

C是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形;

D既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,

故選D.

【點睛】此題主要考察軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義,熟知其定義是解題的關鍵.

2.把拋物線y=/向左平移1個單位,再向下平移2個單位,所得拋物線的解析式為()

A.y=(jr+1)~+2B.y=(x-1)"+2

C.y=(x+l)2-2D.y=(x-l)2-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律:上加下減,左加右減解答即可.

【詳解】解:把拋物線y=d向左平移1個單位,再向下平移2個單位,所得拋物線的解析式為:.=(X+1)2-2.

故選:C.

【點睛】此題考查了拋物線的平移,屬于基本題型,熟知拋物線的平移規(guī)律是解答的關鍵.

3.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于。0,E為CD延長線上一點,如果NADE=120。,那么NB等于()

A.130°B.120°C.80°D.60°

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析:..?四邊形ABCD內(nèi)接于。O,.??NB=/ADE=120。.故選B.

考點:圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

4.二次函數(shù)),=加+歷汁<:的圖象如圖所示,則下列結論正確是()

A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c<0

C.<2<0,h>0,c<0D.i?>0,b<0,c>0

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向確定“VO,再根據(jù)對稱軸在y軸右,可確定。與6異號,然后再根據(jù)二

次函數(shù)與y軸的交點可以確定c>0.

【詳解】解:;拋物線開口向上,

Aa>0,

?.?對稱軸在y軸右側,

;.a與b異號,

.?.bVO,

???拋物線與y軸交于正半軸,

/.c>0,

故選D.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系,關鍵是掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a知),

①二次項系數(shù)a決定拋物線開口方向和大小.

當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口.

②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.

當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右.(簡稱:左同右

異)

③.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于(0,c).

5.半徑為7的圓,其圓心在坐標原點,則下列各點在圓外的是()

A.(3,4)B.(4,4)C.(4,5)D.(4,6)

【答案】D

【解析】

【分析】本題可由勾股定理等性質(zhì)算出點與圓心的距離",則”>,?時,點在圓外;當"=「時,點在圓上,當

時,點在圓內(nèi).

【詳解】A、d=5<r,所以在圓內(nèi);

B、d=4y/2<r,所以在圓內(nèi);

C、d=而<r,所以在圓內(nèi);

D、d=2y/\3>r,所以在圓外.

故選:D.

【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系,確定點與圓心的距離與半徑的大小關系是解題的關鍵.

6.如圖,把菱形ABOC繞點0順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形DFOE,則下列角中不是旋轉(zhuǎn)角的為()

A.ZBOFB.ZAODC.ZCOED.ZCOF

【答案】D

【解析】

【詳解】分析:兩對應邊所組成的角都可以作為旋轉(zhuǎn)角,結合圖形即可得出答案.

詳解:A.OB旋轉(zhuǎn)后的對應邊為OF,故/3O/可以作為旋轉(zhuǎn)角,故本選項錯誤;

B.OA旋轉(zhuǎn)后的對應邊為0£>,故NAOO可以作為旋轉(zhuǎn)角,故本選項錯誤;

C.OC旋轉(zhuǎn)后的對應邊為OE,故NCOE可以作為旋轉(zhuǎn)角,故本選項錯誤;

D.OC旋轉(zhuǎn)后的對應邊為OE不是。凡故NCO尸不可以作為旋轉(zhuǎn)角,故本選項正確;

故選D.

點睛:考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),對應邊與旋轉(zhuǎn)中心之間的夾角就是旋轉(zhuǎn)角.

7.《九章算術》是我國古代著名數(shù)學著作,書中記載:“今有圓材,埋在壁中,不知大小以鋸鋸之,深一寸,鋸道

長一尺,問徑幾何?“用數(shù)學語言可表述為:“如圖,CO為。。的直徑,弦。于E,石。=1寸,

AB=10寸,求直徑CO的長則8=

A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸

【答案】C

【解析】

【分析】連接AO,根據(jù)垂徑定理及勾股定理即可求出半徑,即可求出CD的長.

【詳解】如圖,連接AO,設AO=OD=r,

故OE=r-1,

VAB=10,;.AE=5,

由AO2=AE2+OE2,即r2=52+(r-1)2,

解得E3,故CD=2r=26

故選C

【點睛】此題主要考查垂徑定理,解題的關鍵是根據(jù)勾股定理進行求解.

8.如圖,Rt^ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的頂點D、F分別在AC、BC邊上,C、D兩點不重合,設CD的

長度為x,AABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關系的是()

B

口?V.U.

A.(A)B,(B)C.(C)D.(D)

【答案】B

【解析】

【詳解】解:當OVxWl時,y=x2,

當1<XW2時,ED交AB于M,EF交AB于N,如圖,

;RtZ\ABC中,AC=BC=2,

.?.△ADM為等腰直角三角形,

,DM=2-x,

EM=x-(2-x)=2x-2,

2

SAENM=7(2x-2)2=2(x-1),

/.y=x2-2(x-1)2=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,

x2,(O<x<l)

-(x-2)~+2,(l〈x42)

故選B.

【點睛】本題考查通過看圖獲取信息,不僅可以解決生活中的實際問題,還可以提高分析問題、解決問題的能

力.用圖象解決問題時,要理清圖象的含義即會識圖.

填空題(共8小題)

9.請寫出一個開口向上,且對稱軸為直線x=3的二次函數(shù)解析式.

【答案】y=r-6x+6(答案不唯一).

【解析】

【分析】因為開口向上,所以“>0;根據(jù)對稱軸為x=3,可知頂點的橫坐標為3,縱坐標可任意選擇一個數(shù),由頂

點式寫出二次函數(shù)解析式.

【詳解】依題意取。=1,頂點坐標(3,-3),

由頂點式得y=(x-3)2-3.

即y—x1-6x+6.

故答案為:、=/-6*+6(答案不唯一).

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),拋物線的對稱軸、開口方向與拋物線頂點式的關系:頂點式

y=a(x-h)2+k,頂點坐標是(/?,左),對稱軸是x=。>0時,開口向上,。<0時,開口向下.

10.點M(1,-2)關于原點對稱點的坐標是.

【答案】(-1,2)

【解析】

【分析】根據(jù)關于原點的對稱點,橫坐標互為相反數(shù)、縱坐標互為相反數(shù),可得答案.

【詳解】解:平面直角坐標系內(nèi),點M(1,-2)關于原點對稱點的坐標是(-1,2),

故答案為:(-1,2).

【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標,平面直角坐標系中任意一點P(x,y),關于原點的對稱點是(-x,-

y),即關于原點的對稱點,橫縱坐標都變成相反數(shù).

11.如圖,把△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35。,得到VAB'C,A3'交AC于點。,若NA'OC=90°,則/

A=。

【答案】55

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NAC4'=35。,NA=NA,再由直角三角形兩銳角互余,即可求解.

【詳解】解:???把△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35。,得到VA'3'C

ZAC4'=35°,ZA=ZA',

???ZA'£)C=90。,

二ZA'=55°

/.ZA=55°.

故答案為:55

【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn),直角三角形兩銳角的關系,熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形兩銳角互余是

解題的關鍵.

12.頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大,保存最完整的古代皇家園林,它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為

中國四大名園.該園有一個六角亭,如果它的地基是半徑為2米的正六邊形,那么這個地基的面積是米2.

【答案】:673

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形,易得AOBC是等邊三角形,繼而可得正六邊形的邊長,由S除娜=6S,、OBC求得結果即

可.

【詳解】解:如圖所示:

連接OB,OC,過點O作OH_LBC于H

"/六邊形ABCDEF是正六邊形

.,.ZBOC=-x360°=60°

6

VOB=OC

/.△OBC是等邊三角形

BC=OB=OC

1

.?.BH=—BC=1

2

AOH=73

S正六邊彩=6SAOBC=6x—x2x=6y/3

故答案為:673.

【點睛】本題主要考查了圓和正多邊形,數(shù)形結合,求出一個等邊三角形面積義6即為所得

13.如圖,拋物線y=^2與直線y=Zzx+c的兩個交點坐標分別為4(-2,4),則關于x的方程

【解析】

y=ax2[x.=-2[x-\

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題得到方程組《的解為《,V2,,于是易

y^bx+c〔X=4[%=]

得關于x的方程ax2-bx-c=0的解.

【詳解】解:???拋物線y="2與直線丁=陵+。的兩個交點坐標分別為A(—2,4),8(1,1),

-2%2=1

方程組《.,的解為《

y=bx+cX=4。2=1'

即關于X的方程/_反i=0的解為玉=-2,x2=l.

故答案為X1二-2,X2=l.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì):二次函數(shù)丫=a乂2+6*+。(a#))的頂點坐標是(-上h■:A-℃CIC—。h~),對稱軸直線

2a4。

b

X=--.也考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題.

2a

14.如圖,PA、PB是。。的切線,A、B分別為切點,PO交圓于點C,若NAPB=60。,PC=6,則AC的長為

【答案】2+

【解析】

【分析】如圖,設CP交。。于點D,連接AD.由切線的性質(zhì)易證aAOP是含30度角的直角三角形,所以由三角

形的性質(zhì)求得半徑=2:然后在等邊AAOD中得到AD=OA=2;最后通過解直角4ACD來求AC的長度.

【詳解】解:如圖,設CP交。0于點D,連接AD.設0O的半徑為r.

?;PA、PB是。O的切線,NAPB=60。,

1

/.OA1AP,ZAPO=-ZAPB=30°.

2

...OP=2OA,ZAOP=60°,

.?.PC=2OA+OC=3r=6,則r=2,

VZAOD=60°,AO=DO,

.?.△AOD是等邊三角形,則AD=OA=2,

又;CD是直徑,

;./CAD=90。,

ZACD=30°,

AC=AD,cot30°=2y/3,

故答案為2出.

15.閱讀下面材料:

在學習《圓》這一章時,老師給同學們布置了一道尺規(guī)作圖題:

尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線.

已知:尸為。。外一點.

求作:經(jīng)過點P的。。的切線.

小敏的作法如下:

如圖,

(1)連接0P,作線段0P的垂直平分線MN交0P于點C;

(2)以點C為圓心,CO的長為半徑作圓,交。。于A,8兩點;

(3)作直線PA,PB.所以直線PA,PB就是所求作的切線.

老師認為小敏的作法正確.

請回答:連接040B后,可證NOAP=NO8P=90。,其依據(jù)是;由此可證明直線PA,P8都是。。的切

線,其依據(jù)是.

【答案】①.直徑所對的圓周角是直角②.經(jīng)過半徑外端,且與半徑垂直的直線是圓的切線.

【解析】

【分析】分別利用圓周角定理以及切線的判定方法得出答案.

【詳解】解:連接0408后,可證尸=/08尸=90。,其依據(jù)是:直徑所對的圓周角是直角;

由此可證明直線PA,PB都是。。的切線,其依據(jù)是:經(jīng)過半徑外端,且與半徑垂直的直線是圓的切線.

故答案為直徑所對的圓周角是直角;經(jīng)過半徑外端,且與半徑垂直的直線是圓的切線.

【點睛】此題主要考查直線與圓的位置關系,解題的關鍵是熟知圓周角定理以及切線的判定方法.

16.如圖,在平面直角坐標系中,將正方形0A3C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形O44G,依此方式,繞點

。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形。4201982019c2019,如果點A的坐標為(1,0),那么點不。"的坐標為.

【答案】(―J5,o)

【解析】

【分析】根據(jù)圖形可知:點B在以O為圓心,以OB為半徑的圓上運動,由旋轉(zhuǎn)可知:將正方形OABC繞點O逆時針

旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形OAIBIG,相當于將線段OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45。,可得對應點B的坐標,根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是

8次一循環(huán),可得結論.

T

【詳解】:四邊形OABC是正方形,且OA=1,連接0B,

由勾股定理得:0B=&,

由旋轉(zhuǎn)得:OB=OBI=OB2=OB3=..=72>

?.,將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形OAiBC”

相當于將線段0B繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45。,依次得到NAOB=NBOB產(chǎn)NBQB2=...=45。,

BI(0,^),B2(T,1),B3(-0,O),…,

發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán),所以2019+8=252...3,

??.點B2019的坐標為(-④',0)

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連接線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角,也考查了坐標與圖形的變化、規(guī)律型、點的坐標等知識,解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法.

三.解答題(共12小題)

17.已知:二次函數(shù)的圖象如圖所示,求這個二次函數(shù)的表達式.

[答案]y——x~—x—1.

33

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象知,該函數(shù)經(jīng)過點(3,0)(-1,0)且對稱軸為x=l.所以利用待定系數(shù)法可求得該二

次函數(shù)的解析式.

【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象知,對稱軸為x=l,

由拋物線的對稱性,函數(shù)圖象與x軸的交點是(3,0),另一個交點為(-1,0),

設二次函數(shù)解析式為y=“(x+1)(x-3)(#0),

將(0,-1)代入,解得:a=-,

3

,二次函數(shù)解析式為(x+1)(x-3),

i2

即二次函數(shù)解析式為丁=3/一]》一1.

【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,根據(jù)拋物線與x軸的兩交點,設交點式.

18.已知二次函數(shù)y=/-6x+8.

(1)將y=/-6x+8化成(x-力)的形式;

(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象;

(3)當0三彩4時,y的取值范圍是.

y小

io9-

8

7

6

5

4

3

2

1

[I1_11I11?[1]I>

-4-3-2-lf_12345678910x

-2-

-3-

-4-

【答案】(1)y=(x-3)2-1;(2)詳見解析;(3)-1WQ8.

【解析】

【分析】(1)利用配方法先提出二次項系數(shù),再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊成完全平方式,把一般式轉(zhuǎn)化

為頂點式;

(2)確定其對稱軸、頂點坐標及與坐標軸的交點坐標后即可確定函數(shù)的圖象;

(3)分別令x=0和4求得函數(shù)值后即可確定y的取值范圍.

【詳解】(1),=/-6x+8

=(x2-6x+9)-9+8

=(x-3)2-1;

(2)由(1)題得:對稱軸為x=3,頂點坐標為(3,-1),開口向上,

XL0123456JL

yL830-1038L

描點,連線,故圖象為:

(4)?.?當x=0時,y=8;當尤=4時,y=0,

又?.?當x=3時,y有最小值-1,

.?.當0勺彳4時,y的取值范圍是-1英8,

故答案為-1W)W8.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)以及利用頂點式求拋物線的對稱軸、頂點坐標的方法,靈活運用配方法把一

般式化為頂點式是解題的關鍵.

19.如圖,A,。是半圓上的兩點,。為圓心,BC是直徑,/。=35。,求NOAC的度數(shù).

【答案】ZOAC=55°.

【解析】

【分析】首先根據(jù)圓周角定理得到NB的度數(shù),再求出/ACB的度數(shù),結合三角形內(nèi)角和或者等腰三角形的性質(zhì)即

可求出/OAC的度數(shù).

【詳解】解法一:

;.NB=ND=35。,

是直徑,

ZBAC=90°.

ZACB=900-N48C=55°,

:OA=OC,

.../OAC=NOCA=55°.

解法二:

解:;/。=35。,

ZAOC=2ZD=70°,

\'OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA,

,/ZOAC+ZOCA+ZAOC=180°,

:.ZOAC=55°.

【點睛】本題考查同弧所對圓周角和圓心角的關系.利用直徑所對的圓周角是直角這一條件是解題的關鍵.

20.如圖,在平面直角坐標系中,^AOB的三個頂點坐標分別為A(1,0),O(0,0),B(2,2).以點。為旋

轉(zhuǎn)中心,將△AOB逆時針旋轉(zhuǎn)90。,得到△4081.

(1)畫出△AOS;

(2)直接寫出點4和點Bi的坐標;

(3)求線段0助的長度.

>'n

~3r

?-I----1-|----r----1-----1-----1

卜十一2

—I

十1

I-----r-+-2--+-+-T

ill?I?

J-<L.一---一人—」

【答案】⑴作圖見解析;(2)Ai(0,1),點8(-2,2).(3)2g

【解析】

【分析】(1)按要求作圖.

(2)由(1)得出坐標.

(3)由圖觀察得到,再根據(jù)勾股定理得到長度.

【詳解】解:(1)畫出△AOBi,如圖.

(2)點4(0,1),點囪(-2,2).

(3)OB\=OB=yj22+22"\/2-

【點睛】本題主要考查的是繪圖、識圖、勾股定理等知識點,熟練掌握方法是本題的解題關鍵.

21.一件輪廓為圓形的文物出土后只留下了一塊殘片,文物學家希望能把此件文物進行復原,因此把殘片抽象成了

一個弓形,如圖所示,經(jīng)過測量得到弓形高CD=(米,NCAD=30。,請你幫助文物學家完成下面兩項工作:

(1)作出此文物輪廓圓心O的位置(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);

(2)求出弓形所在圓的半徑.

2

【答案】(1)作圖見解析;(2)

【解析】

【分析】(1)作AC的垂直平分線交CD的延長線于點O,點O即為所求作的點;

(2)在Rtz^ACD中,ZCAD=30°,所以NC=60°,因此△AOC為等邊三角形,在Rt^ACD中求出AC的長即可求

出圓的半徑長.

【詳解】解:(1)作圖如下:

答:點。即為所求作的點.

(2)解:連接AO

在RtaACD中,ZCAD=30°

2

二AC=—,ZACD=60°

5

VAO=CO

2

AO=CO=AC=—

5

答:此弓形所在圓的半徑為|.

【點睛】本題考查基本幾何作圖;垂徑定理及勾股定理,掌握相關定理靈活應用是本題的解題關鍵.

22.如圖,在等邊AABC中,點。是AB邊上一點,連接C。,將線段CO繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到

CE,連接4E.求證:AE//BC.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,/B=NACB=60°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出

CD=CE,N£)C£=60°,根據(jù)SAS推出初四三AACE,根據(jù)全等得出NB=NE4C=60°,根據(jù)平行線的判

定定理即可證得答案.

等邊AABC中,...AC=3C,NB=ZACB=60°,

???線段CO繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到CE,

:.CD=CE,ZDCE=60。,

/.ZDCE^ZACB,

即N1+N2=N2+N3,,

Z1=Z3,

在反?8與A4CE中,

BC=AC

<N1=N3

CD=CE

ABCDMAACE(SAS)

NB=N£4C=60°,

/.ZEAC^ZACB

:.AE//BC

【點睛】本題考查了平行線的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),利用全等三角形的證明是解題的關鍵.

23.如圖,有一塊鐵片下腳料,其外輪廓中的曲線是拋物線的一部分,要裁出一個等邊三角形,使其一個頂點與拋

物線的頂點重合,另外兩個頂點在拋物線上,求這個等邊三角形的邊長(結果精確到0一1,73?1.732)?

6dm

/6dm\

【答案】5.2dm.

【解析】

【分析】以拋物線的頂點0為坐標原點,過點O作直線AB的平行線和垂線分別作為x軸和y軸,建立平面直角坐

標系,設拋物線解析式為y=ax2(a#)),利用已知數(shù)據(jù)求出a的值,再利用等邊三角形的性質(zhì)計算即可.

【詳解】解:以拋物線的頂點0為坐標原點,過點O作直線AB的平行線和垂線分別作為x軸和y軸,建立平面直

設拋物線解析式為y=ax2(a/0),

2

D(3,-6)在拋物線上代入得:a=——,

?.'△ABO是等邊三角形,

.\OH=73BH,

設B(x,

x=-1x2,

?*.Xl=0(舍),X2=3^",

2

AB=36=5.2(dm),

答:等邊三角形的邊長為5.2dm

【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用及等邊三角形的性質(zhì),數(shù)形結合思想解題是本題的解題關鍵.

24.如圖,割線ABC與。。相交于8、C兩點,。為。。上一點,E為弧8c的中點,0E交BC于F,OE交AC于

G,ZADG=ZAGD.

(1)求證明:AO是。。的切線;

(2)若NA=60。,。。的半徑為4,求EO的長.

【答案】(1)見解析;(2)DE=4B

【解析】

【分析】(1)要證AD是。。的切線,只要連接OD,再證NADO=90。即可;

(2)作OHLED于H,根據(jù)垂徑定理得到DE=2DH,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到結論.

【詳解】(1)證明:連接OD.

???E為BC中點,

AOE1BC,

VOD=OE,

.??ZODE=ZOED,

JZAGD+NOED=ZEGF+ZOED=90°,

VZAGD=ZADG,

AZADG+ZODE=90°,即OD_LAD,

???AD是。O的切線;

(2)作OH_LED于H,

DE=2DH,

ZADG=ZAGD,

AAG=AD,

ZA=60°,

.,.ZADG=60°,

???NODE=30。,

VOD=4,

??.DH=?OD=25

???DE=2DH=46.

【點睛】本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點即為半徑,再證垂

直即可,還考查了垂徑定理,直角三角形的性質(zhì).

25.吳京同學根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,對一個新函數(shù)y=-笆三的圖象和性質(zhì)進行了如下探究,請幫他把探究

過程補充完整

(1)該函數(shù)的自變量X的取值范圍是

(2)列表:

X-2-10123456

_5

m-1-5n-1

y一萬~2~2-17

表中m=,

(3)描點、連線

在下面的格點圖中,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中,描出上表中各對對應值為坐標的點(其中x為橫坐標,y

為縱坐標),并根據(jù)描出的點畫出該函數(shù)的圖象:

(4)觀察所畫出的函數(shù)圖象,寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì):

①;

②.

【答案】(1)一切實數(shù)(2)(3)見解析(4)該函數(shù)有最小值沒有最大值;該函數(shù)圖象關于直線x=2

22

對稱

【解析】

【分析】(1)分式的分母不等于零;

(2)把自變量的值代入即可求解;

(3)根據(jù)題意描點、連線即可;

(4)觀察圖象即可得出該函數(shù)的其他性質(zhì).

【詳解】(1)由丫=--~知,X2-4X+5/),所以變量x的取值范圍是一切實數(shù).

x—4x+5

故答案為一切實數(shù);

公、5155

(2)m=—(5+4+5——ETTN

(4)觀察所畫出函數(shù)圖象,有如下性質(zhì):①該函數(shù)有最小值沒有最大值;②該函數(shù)圖象關于直線x=2對稱.

故答案為該函數(shù)有最小值沒有最大值;該函數(shù)圖象關于直線x=2對稱

【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)圖表畫出函數(shù)的圖象是解題的關鍵.

26.在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=-x2+2/nx-nr+\的對稱軸是直線x=\.

(1)求拋物線的表達式;

(2)點。(?,yi),E(3,J2)在拋物線上,若力<以,請直接寫出〃的取值范圍;

(3)設點M(p,q)為拋物線上的一個動點,當-l<p<2時,點M關于),軸的對稱點都在直線尸質(zhì)-4的上

方,求左的取值范圍.

【答案】(1)拋物線的解析式為產(chǎn)-F+2x.(2)當"V-1或〃>3時,

(3).?二的取值范圍是-2WK1.

【解析】

【詳解】試題分析:(1)由拋物線的對稱軸方程可求得機=1,從而可求得拋物線的表達式;

(2)將43代入拋物線的解析式,可求得”=3,將尸3代入拋物線的解析式可求得為=-1,及=3,由拋物線的開口

向下,可知當"<-1或〃>3時,y\<yz-,

(3)先根據(jù)題意畫出點"關于y軸對稱點M的軌跡,然后根據(jù)點“關于y軸的對稱點都在直線y=kx-4的上方,

求出最大與最小兩個關于k的方程,即可求得上的取值范圍.

解:(1)..,拋物線的對稱軸是x=l,

??——1.

2a-2

??/77—15

.*?y—x~+2x.

(2)將x=3代入拋物線的解析式得3=-32+2X3=-3,

將y=-3代入得:-/+2x=-3,

解得:XI=T/2=3.

當n<-\或n>3時,%勺2.

(3)由題意得拋物線,=一/+2%(-l<x<2)

關于丫軸對稱的拋物線為y=_2x(—2<x<1)

當x=1時,y=—3,

當直線y=收一4經(jīng)過點(1,一3)時,

可得%=1;

當x=-2時,y=0,

當直線y="―4經(jīng)過點(-2,0)時,

可得左=—2.

綜上所述,k的取值范圍是一2?4?1.

點睛:本題主要考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的增減性、二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象關系.本題的

難點在第三問中,而利用數(shù)形結合是解題的關鍵.

27.已知:在△ABC中,ZBAC=90°,AB=AC.

(1)如圖1,將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到A。,連結C。、BD,/8AC的平分線交于點E,連結

CE.

①求證:/AED=/CED;

②用等式表示線段4E、CE、8力之間的數(shù)量關系(直接寫出結果);

(2)在圖2中,若將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到AD,連結CD、BD,/BAC的平分線交8。的延長線于

點E,連結CE.請補全圖形,并用等式表示線段AE、CE、之間的數(shù)量關系,并證明.

【答案】(1)①證明見解析;@BD^2CE+AE,理由見解析;(2)補圖見解析,2CE-AE=BD,證明見解析.

【解析】

【分析】⑴①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AD,/DAC=60。,由“SAS”可證4ABE絲ACE,可得/3=/4=15。,由三角形外角的

性質(zhì)可得結論;②過點A作AHLBD于點H,由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)可得

BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE;

⑵以A為頂點,AE為一邊作/EAF=6(T,AF交DB延長線于點F,通過證明ACAE絲4DAF和4BAE絲z^CAE,可得

CE=DF,BE=CE,即可得2CE-AE=BD.

【詳解】證明:(1)

圖1

①???將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AD,

:.AC=AD,ZDAC=60°

/BAD=NBAC+NCAD=150°,且AB=AC^AD

;./3=/5=15°

VZBAC=90°,AB=AC,AE平分NBAC

.?.N1=N2=45°,/ABC=/ACB=45°

又??,AE=AE,

A/XABE^^ACE(SAS)

???N3=N4=15。

???N6=N7=30。

???ZDEC=Z6+Z7=60°

,?ZAED=Z3+Z1=6O°

???ZAED=ZCED

②BD=2CE+AE

理由如下:

過點A作于點”,

:.BE=CE,

VZAED=60°fAHLBD

:.AE=2EH

*:AB=ADfAHLBD

:.BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE

(2)補全圖形如圖,

E

2CE-AE=BD

理由如下:

如圖2,以A為頂點,4E為一邊作NE4F=60。,AE交。3延長線于點F.

VZBAC=90°,AB=ACtAE平分NBA。

???ZBAE=NCAE=45。,ZABC=ZACB=45°.

???將線段4c繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AD,

:.AC=AD,ZDAC=60°

:.ZDAE=ZDAC-ZCAE=\5Q,AB=AD

:?/ABD=NADB,ZBAD=30°

:.NABD=NADB=75°

:.ZAED=ZADB-ZDAE=60°

?.,/EAF=60。

又???NEAF=60。,

???ZF=60°

???△8£尸是等邊三角形.

:.AE=AF=EF.

u

:AC=ADfZCAE=ZDAF=45°fAE=AFf

:./\CAE^/\DAF(SAS).

:?CE=DF.

*:AB=AC,ZBAE=ZCAE=45°fAE=AE,

AABAEVACAE(SAS).

:.BE=CE,

:.BE=CE,

?:DF+BE-EF=BD,

:.2CE-AE=BD

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)中三角形的性質(zhì),主要在于掌握三角形的全等與相似.

28.定義:把一個半圓與拋物線的

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