九年級數(shù)學(xué)上冊第12講 點和圓、直線和圓的位置關(guān)系（二）（解析版）

/第12講點和圓、直線和圓的位置關(guān)系（二）(重點題型方法與技巧)目錄類型一：直線和圓的位置關(guān)系類型二：切線的性質(zhì)與判定類型三：切線長定理類型四：三角形的內(nèi)切圓類型一：直線和圓的位置關(guān)系利用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系（1）當(dāng)圖形中直線與圓的位置關(guān)系不明顯時，一般不利用交點個數(shù)來判斷直線與圓的位置關(guān)系，應(yīng)通過比較圓心到直線的距離與半徑的大小來確定它們之間的位置關(guān)系.（2）在沒有給出d與r的具體數(shù)值的情況下，可先根據(jù)已知條件求出d與r的值，再通過比較它們的大小確定直線與圓的位置關(guān)系.典型例題例題1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知⊙O的半徑為6cm，點O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O（）A．相交 B．相離 C．相切 D．相切或相交【答案】A【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r，點O到直線l的距離為d，∵d＝5cm，r＝6cm，∴d＜r，∴直線l與圓相交．故選：A．點評：例題1考查了直線與圓的位置關(guān)系，比較圓心到直線的距離與半徑是解題的關(guān)鍵．例題2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，以點（2，3）為圓心，3為半徑的圓，一定（

）A．與x軸相切，與y軸相切 B．與x軸相切，與y軸相交C．與x軸相交，與y軸相切 D．與x軸相交，與y軸相交【答案】B【詳解】解：∵點(2,3)到x軸的距離是3，等于半徑，到y(tǒng)軸的距離是2，小于半徑，∴圓與y軸相交，與x軸相切．故選B．點評：例題2考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．由已知點(2,3)可求該點到x軸，y軸的距離，再與半徑比較，確定圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．設(shè)d為直線與圓的距離，r為圓的半徑，則有若d<r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d>r，則直線與圓相離．例題3．（2021·河北·保定市滿城區(qū)白龍鄉(xiāng)龍門中學(xué)九年級期末）已知⊙O與直線l無公共點，若⊙O直徑為10cm，則圓心O到直線l的距離可以是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【詳解】解：∵⊙O與直線l無公共點，∴⊙O與直線l相離．∴圓心O到直線l的距離大于圓的半徑，∵⊙O直徑為10cm，∴⊙O半徑為5cm，∴圓心O到直線l的距離大于5cm．故選：A．點評：例題3主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用直線與圓相離，圓心O到直線l的距離大于圓的半徑解答是解題的關(guān)鍵．例題4．（2022·上海虹口·九年級期中）已知，、之間的距離是5cm，圓心O到直線的距離是2cm，如果圓O與直線、有三個公共點，那么圓O的半徑為______cm．【答案】3或7【詳解】解：設(shè)圓的半徑為rcm如圖一所示，r-5=2，得r=7cm，如圖二所示，r+2=5，得r=3cm，故答案為：3或7．點評：例題4考查直線和圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．例題5．（2022·山東棗莊·二模）如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．(1)判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若EB⊥BC，ED=3，求BG的長．【答案】(1)直線AC是⊙O的切線，理由見解析(2)【詳解】(1)解：直線AC是⊙O的切線．理由如下：如圖，連接OE，∵AB=BC，D是AC中點，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠OBE=∠DBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE//BD，∴OE⊥AC，而OE為⊙O的半徑，∴直線AC是⊙O的切線．(2)解：如圖，過O作OM⊥BD于M，∴四邊形OEDM是矩形，∴OM=ED=3，BM=BG，∵EB⊥BC，∴，同理可得：，∴，∵，∴，∴∠1=∠2=∠A=30°，在中，，∴，∴，∴．點評：例題5考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交d<r；直線l和⊙O相切d=r；直線l和⊙O相離d>r．同類題型演練1．（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如果⊙O的半徑為，圓心O到直線的距離為，且，那么⊙O和直線的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】A【詳解】解：∵⊙O的半徑為，圓心O到直線的距離為，且，∴d>r，∴直線和圓相離．故選：A．2．（2021·北京·北師大實驗中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A為圓心作一個半徑為2的圓，下列結(jié)論中正確的是（）A．點B在⊙A內(nèi) B．點C在⊙A上C．直線BC與⊙A相切 D．直線BC與⊙A相離【答案】D【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H，如圖，∵AB=AC，∴BH=CH=BC=4，在Rt△ABH中，AH==3，∵AB=5＞3，∴B點在⊙A外，所以A選項不符合題意；∵AC=5＞3，∴C點在⊙A外，所以B選項不符合題意；∴AH⊥BC，AH=3＞半徑，∴直線BC與⊙A相離，所以C選項不符合題意，D選項符合題意．故選：D．3．（2022·上海金山·二模）在直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)是，圓的半徑為2，下列說法正確的是（

）A．圓與軸有一個公共點，與軸有兩個公共點B．圓與軸有兩個公共點，與軸有一個公共點C．圓與軸、軸都有兩個公共點D．圓與軸、軸都沒有公共點【答案】B【詳解】解：∵點的坐標(biāo)是，∴點P到x軸的距離為，點P到y(tǒng)軸的距離為2，∵圓的半徑為2，＜2，∴點P到x軸的距離小于圓的半徑，點P到y(tǒng)軸的距離等于圓的半徑，∴圓與x軸相交，圓與軸有兩個公共點，∴圓與y軸相切，圓與軸有一個公共點，故選：B．4．（2021·河南許昌·九年級期中）已知⊙O的半徑為4，點O到直線l的距離為d若直線l與⊙O的公共點的個數(shù)為2個則d的值不能為（）A．0 B．2 C．3 D．5【答案】D【詳解】解：∵直線l與⊙O公共點的個數(shù)為2個，∴直線l與⊙O相交，∴d＜半徑＝4，故選D．5．（2021·浙江金華·一模）已知⊙O的直徑為5，設(shè)圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)直線l與⊙O相交時，d的取值范圍是__________．【答案】0≤d＜2.5【詳解】解：∵⊙O的直徑為5，∴⊙O的半徑是2.5，∵直線l與⊙O相交，∴圓心O到直線l的距離d的取值范圍是0≤d＜2.5，故答案為：0≤d＜2.5．6．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，直線AB與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，點A（－3，0），點B（0，），圓心P的坐標(biāo)為（1，0），圓P與y軸相切與點O．若將圓P沿x軸向左移動，當(dāng)圓P與該直線相交時，令圓心P的橫坐標(biāo)為m，則m的取值范圍是________．【答案】【詳解】∵圓心P的坐標(biāo)為（1，0），⊙P與y軸相切與點O∴⊙P的半徑為1∵點A（－3，0），點B（0，）∴OA=3，∴∴∠BAO=30°當(dāng)⊙P在直線AB下方與直線AB相切時，如圖，設(shè)切點為C，連接PC則PC⊥AB，且PC=1∴AP=2PC=2∴OP=OA?AP=3?2=1∴P點坐標(biāo)為(?1，0)即m=?1當(dāng)⊙P在直線AB上方與直線AB相切時，如圖，設(shè)切點為C，連接PD則PD⊥AB，且PD=1∴AP=2PD=2∴OP=OA+AP=3+2=5∴P點坐標(biāo)為(?5，0)即m=?5∴⊙P沿x軸向左移動，當(dāng)⊙P與直線AB相交時，m的取值范圍為故答案為：7．（2022·江蘇常州·九年級期末）如圖，AB是ΘO的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．(1)判斷DE所在直線與ΘO的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AE＝4，ED＝2，求ΘO的半徑．【答案】(1)相切，理由見解析(2)【詳解】(1)解：所在直線與相切．理由：連接．∵，∴．∵平分，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵是半徑，∴所在直線與相切．(2)解：連接．∵是的直徑，∴．∴．又∵，∴．∴．∵，，，∴．∴．∴的半徑為．8．（2022·安徽淮南·九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C與y軸相切，且點C的坐標(biāo)為（1，0），直線l過點A（﹣1，0），與⊙C相切于點D，解答下列問題：(1)求點D的坐標(biāo)；(2)求直線l的解析式；(3)是否存在⊙P，使圓心P在x軸上，且與直線l相切，與⊙C外切嗎？如果存在請求出圓心P的坐標(biāo)，如果不存在請說明理由【答案】(1)（，）(2)y=x＋(3)存在，(－，0)或(5，0)【詳解】（1）如圖所示，當(dāng)直線l在x軸的上方時，連接CD，∵直線l為⊙C的切線，∴CD⊥AD．∵C點坐標(biāo)為（1，0），∴OC=1，即⊙C的半徑為1，∴CD=OC=1．又∵點A的坐標(biāo)為（-1，0），∴AC=2，∴∠CAD=30°，∴AD=ACsin30°=，DE=ADsin30°=CE=CDsin30°=，∴OE=1－CE=，∴D（，）（2）設(shè)直線l為y=kx＋b，則解得：，∴y=x＋（3）存在兩種情況，討論如下：①如圖2，過P作PF⊥l于F，設(shè)⊙P的半徑為r，則CD∥PE，△ACD∽△APE，∴，即，解得r=3，∴P(5，0)②如圖3，過P作PE⊥l于E，設(shè)⊙P的半徑為r，則CD∥PE，△ACD∽△APE，∴，即，解得r=，∴P(－，0)綜上，點P的坐標(biāo)為(－，0)或(5，0)類型二：切線的性質(zhì)與判定切線的判定方法一——連半徑，證垂直，某直線是圓的切線時，如果已知直線與圓有公共點，那么可作出經(jīng)過該點的半徑，證明直線垂直于該半徑，即“有交點，連半徑，證垂直”.切線的判定方法二——作垂直，證半徑證明某直線是圓的切線時，如果未明確說明直線和圓有公共點，那么常過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于半徑，即“無交點，作垂直，證半徑”.典型例題例題1．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦與小圓的一個公共點為C，且C是中點，則直線與小圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】B【詳解】解：連接∵為中點∴∴∴為小圓的切線故選：點評：例題1主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，垂徑定理，靈活運用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．例題2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）下列說法中錯誤的是（

）A．切線與圓有唯一的公共點 B．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線C．垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 D．從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等【答案】C【詳解】A、B、D說法均正確；C、垂直于切線的直徑必定過切點，但是垂直于切線的直線不一定過切點，故錯誤；故選：C．點評：例題2考查圓的切線的判定與性質(zhì)，及切線長定理，熟記基本概念并準(zhǔn)確判斷是解題關(guān)鍵．例題3．（2020·廣東深圳·三模）如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，且∠EAF＝45°，BD分別交AE，AF于點M，N，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧BD．下列結(jié)論：①DE＋BF＝EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④弧BD與EF相切；⑤EF∥MN．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【詳解】解：延長CB到G，使BG=DE，連接AG．在△ABG和△ADE中，∴△ABG≌△ADE（SAS），∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，∴∠DAE+∠BAF=45°∴∠GAF=∠EAF=45°．在△AFG和△AFE中，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴GF=EF=BG+BF，又∵DE=BG，∴EF=DE+BF；故①正確；在AG上截取AH=AM，連接BH、HN，在△AHB和△AMD中，∴△AHB≌△AMD，∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，又∵∠ABD=45°，∴∠HBN=90°．∴BH2+BN2=HN2．在△AHN和△AMN中，∴△AHN≌△AMN，∴MN=HN．∴BN2+DM2=MN2；故②正確；∵AB∥CD，∴∠DEA=∠BAM．∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°-∠ABM-∠AMN=180°-∠MAN-∠AMN=∠AND，∴∠AEF=∠ANM，又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，故③正確；過A作AP⊥EF于P，∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE，∴AP=AD，與EF相切；故④正確；∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，∴∠AMN不一定等于∠AEF，∴MN不一定平行于EF，故⑤錯誤，故選：B．點評：例題3考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例題4．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個條件是________．（寫一個條件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．點評：例題4主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵．例題5．（2022·遼寧·沈陽市尚品學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，過外一點作，交線段于點，交于點，交于點，連接，，．(1)求證：與相切；(2)若，平分，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，，，與相切；（2）解：如圖，連接，平分，，，，，∽，，，，，，，．點評：例題5考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理等知識，解答本題需要我們熟練掌握切線的判定，第問關(guān)鍵是證明∽．（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，再由平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合與三角形內(nèi)角和定理即可得到，即可得證；（2）如圖，連接，先根據(jù)垂徑定理證明，再證明∽，列比例式可得，即的半徑為，根據(jù)勾股定理可得的長．同類題型演練1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，以點O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（

）A．以O(shè)A為半徑的圓 B．以O(shè)B為半徑的圓C．以O(shè)C為半徑的圓 D．以O(shè)D為半徑的圓【答案】D【詳解】解：于，以為圓心，為半徑的圓與直線相切，故選：D．2．（2021·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，已知P為☉O外一點，連接OP交☉O于點A，且OA=2AP，求作直線PB，使PB與☉O相切．以下是甲、乙兩同學(xué)的作法．甲：作OP的中垂線，交☉O于點B，則直線PB即所求．乙：取OP的中點M，以M為圓心、OM長為半徑畫弧，交☉O于點B，則直線PB即所求．對于兩人的作法，下列說法正確的是()A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對．【答案】D【詳解】如圖1，作OP的垂直平分線交OP于點H，連接OB，設(shè)AP=x，則OA=2x，OB=2x．∵BH垂直平分OP，∴BO=BP=2x．∵OB2+BP2=(2x)2+(2x)2=8x2，OP2=(3x)2=9x2，∴△OBP不是直角三角形，∴PB不是☉O的切線，∴甲的作法錯誤．如圖2，連接OB，∵點M為OP的中點，∴OP為☉M的直徑，∴∠OBP=90°，∴OB⊥PB，∴PB與☉O相切，∴乙的作法正確．故選：D．．3．（2018·全國·九年級單元測試）如圖，在中，，以為直徑的交于點，過點作，在上取一點，使，連接，對于下列結(jié)論：①；②；③弧??；④為的切線，結(jié)論一定正確的是（）A．②③ B．②④ C．①② D．①③【答案】B【詳解】如圖：∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正確∵△ABC不能確定為直角三角形，∴∠1不能確定等于45°，∴和不能確定相等，所以③錯誤；∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，∵BA=BC，∴AD=DC，∵DE=DC，∴AD=DC=DE，∴△AEC是直角三角形，∴∠AEC=90°，∵AB∥CE，∴AB⊥AE，∴AE是⊙O的切線，故④正確，故選B．4．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，是的直徑，交于D，，垂足為E，請你添加一個條件，使是的切線，你所添加的條件是________．【答案】或【詳解】解：若添加BD=CD，理由如下：如圖，連接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切線；若添加AB=AC，理由如下：如圖，連接AD，∵是的直徑，∴∠ADB=90°，∴點D是BC的中點，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切線．故答案為：或5．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于________度時，AC才能成為⊙O的切線．【答案】60【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，∵當(dāng)OA⊥AC即∠OAC=90°時，AC才能成為⊙O的切線，∴當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．6．（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖1，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點E，連接BE，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于點D，且．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)如圖2，延長ED交直線AB于點P，若．①求的值；②若，求⊙O的半徑長．【答案】(1)見解析(2)①=2；②⊙O的半徑長為【詳解】（1）證明：∵AB是直徑，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴BC是⊙O的切線．（2）解：①如圖2中，連接OD．∵BD平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，②∵，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴⊙O的半徑長為．7．（2022·廣東·廣州市第一中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB邊上兩點，以DF為直徑的⊙O與BC相交于點E，連接EF，∠OFE=∠A．過點F作FG⊥BC于點G，交⊙O于點H，連接EH．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)連接ED，過點E作EQ⊥AB，垂足為Q，△EQD和△EGH全等嗎？若全等，請予以證明；若不全等，請說明理由；(3)當(dāng)BO=5，BE=4時，求△EHG的面積．【答案】(1)見解析(2)△EQD和△EGH全等，證明見解析(3)S△EHG=【詳解】（1）證明：連接，在中，，，，，，，，，，，，，是的切線；（2）解：和全等，理由如下：由（1）知，，，．，，．在與中，，；（3）解：，，，由勾股定理得到：，，，，，，，是切線，，，，，．類型三：切線長定理典型例題例題1．（2022·福建省福州銅盤中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別為P、C、D，若，，則BD的長是（

）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【答案】D【詳解】解：∵AC、AP為⊙O的切線，∴AC=AP，∵BP、BD為⊙O的切線，∴BP=BD，∴BD=PB=AB-AP=4-3=1．故選：D．點評：例題1考查了切線長定理，兩次運用切線長定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例題2．（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，、切于點、，，切于點，交、于、兩點，則的周長是（

）A．10 B．18 C．20 D．22【答案】C【詳解】解：∵PA、PB切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周長是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故選：C．點評：例題2考查了切線長定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△PCD的周長=PA+PB．例題3．（2022·山東淄博·二模）如圖，內(nèi)切于，點P、點Q分別在直角邊、斜邊上，，且與相切，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如下圖所示，設(shè)與相切于點D，E，G，與PQ相切于點F，連接OD，OE，OF，OG，設(shè)的半徑為r，BQ=x，PE=y．∵與相切于點D，E，G，與PQ相切于F，PQ⊥AB，∴OD=OE=OF=OG=r，∠ODC=∠OEC=∠OGQ=∠OFQ=∠ACB=∠PQB=∠FQG=90°，PF=PE=y，BE=BG．∴四邊形ODCE是矩形，四邊形OFQG是矩形，．∴矩形ODCE是正方形，矩形OFQG是正方形．∴CE=OE=r，F(xiàn)Q=GQ=OG=r．∴BG=BQ+GQ=x+r，PQ=PF+FQ=y+r．∵AC=2PQ，∴．∵∠ABC=∠PBQ，∴．∴．∴BC=2BQ=2x．∴BE=BC-CE=2x-r．∴x+r=2x-r．∴x=2r．∴BQ=2r．∴BE=3r．∴BP=BE-PE=3r-y．∴．∴．∴．∴，．∴．故選：B．點評：例題3考查切線的性質(zhì)，正方形的判定定理和性質(zhì)，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，解直角三角形，綜合應(yīng)用這些知識點是解題關(guān)鍵．例題4．（2022·山東德州·九年級期末）如圖，AB、AC為⊙O的切線，B和C是切點，延長OB到點D，使BD＝OB，連接AD，若∠DAC＝78°，則∠ADO等于（

）A．70° B．64° C．62° D．51°【答案】B【詳解】解：∵AB、AC為⊙O的切線，∴∠BAO＝∠CAO，OB⊥AB，∵BD＝OB，∴AB垂直平分OD，∴AO＝AD．∴△AOD為等腰三角形，∴∠BAO＝∠BAD，∴∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，∵∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°，∴3∠BAD＝78°，解得∠BAD＝26°，∴∠ADO＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°．故選：B．點評：例題4考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了切線長定理。先根據(jù)切線長定理，由AB、AC為⊙O的切線得到∠BAO＝∠CAO，根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥AB，加上BD＝OB，則可判斷△AOD為等腰三角形，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠BAO＝∠BAD，即∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，然后利用∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°可計算出∠BAD＝26°，再利用∠ADO＝90°﹣∠BAD求解．例題5．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，∠P＝70°，則∠ABO＝________．【答案】35°【詳解】解：∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，∴OB⊥PB，PA＝PB，∴∠PBO＝90°，∠ABP＝∠BAP∵∠P＝70°，∴∠ABP＝∠BAP55°，∴∠ABO＝∠PBO﹣∠ABP＝90°﹣55°＝35°，故答案為：35°．點評：例題5考查了切線的性質(zhì)和切線長定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用切線的性質(zhì)和切線長定理可得OB⊥PB，PA＝PB，進而得到∠PBO＝90°，∠ABP＝∠BAP，結(jié)合∠P＝70°求得∠ABP的度數(shù)，即可求得∠ABO例題6．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，以AB為直徑作，在上取一點C，延長AB至點D，連接DC，，過點A作交DC的延長線于點E．(1)求證：CD是的切線；(2)若，，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)AE＝6【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAD，又∵∠DCB＝∠CAD，∴∠ACO＝∠DCB，∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2＋CD2＝OD2，∴OB2＋42＝（OB＋2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，AD＝8，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直徑，∴AE是⊙O的切線，∵CD是⊙O的切線，∴AE＝CE，∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，∴82＋AE2＝（4＋AE）2，∴AE＝6．點評：例題6考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論、切線長定理和勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．同類題型演練1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，是四邊形的內(nèi)切圓，分別切于F，E兩點，若，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】連接OC，與EF相交于點M，作DG⊥BC于點G，連接OE，設(shè)AD與圓的切點為H，如圖，∵，∴四邊形ABGD是矩形，∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3，∵點E、F、H是切點，∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分線，∴EM=FM，設(shè)圓O半徑為R，則BE=R，DG=2R，，∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，∵，∴解得：R=2，∴CE=6-2=4，∴，∵，

∴，∴，故選A．2．（2022·浙江·寧波市興寧中學(xué)一模）如圖，是外一點，，分別與相切于點，，是上任意一點，過點作的切線，交于點，交于點．若的半徑為4，，則的周長為（

）A． B．8 C． D．12【答案】C【詳解】解：，分別與相切于點，，，是的切線，切點為P，，的周長，，，中，，，，的周長=，故選：C．3．（2022·湖北·武漢市崇仁路中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，⊙O與△ABC的三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接DE，EF．若AD＝6，BE＝7，CF＝8，則tan∠DEF的值是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】解：過點B作BM⊥AC于點M，連接OD、OE、OF、AO、BO、CO，如圖所示：∵⊙O與△ABC的三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，，，，，設(shè)，∴，，，∵BM⊥AC，∴，∴與為直角三角形，∴根據(jù)勾股定理可得：，，即，，解得：，則，∴，∵∴，解得：，∵在Rt△AOD和Rt△AOF中，，∴（HL），，∵，，，∴，故A正確．故選：A．4．（2022·浙江浙江·一模）如圖，AD是⊙O的直徑，PA，PB分別切⊙O于點A，B，弦BC∥AD．當(dāng)?shù)亩葦?shù)為126°時，則∠P的度數(shù)為（）A．54° B．55° C．63° D．64°【答案】A【詳解】如圖，連接，，，的度數(shù)為126°，．，．，．，，，．，是⊙的切線，，，，．故選A．5．（2021·廣東·廣州市第二中學(xué)南沙天元學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，PA，PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點E，△PCD的周長為12，∠AOB＝120°，則AB＝_____．【答案】6【詳解】解：∵PA，PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點E，∴PA＝PB，CA＝CE，DB＝DE，∵△PCD的周長為12，∴PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝12，∴PA＝PB＝6，∵PA，PB是⊙O的切線，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠P＝60°，∴△PAB是等邊三角形，∴AB＝PA＝6，故答案為：6．6．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB為⊙O的切線，B為切點，過點B作BC⊥OA，垂足為點E，交⊙O于點C，延長CO與AB的延長線交于點D．(1)求證：AC為⊙O的切線；(2)若OC＝2，OD＝5，求線段AD和AC的長．【答案】(1)證明見解析(2)；【詳解】（1）證明：連接OB，則OC＝OB，如圖所示：∵OA⊥BC，∴EC＝BE，∴OA是CB的垂直平分線，∴AC＝AB，∵在△CAO和△BAO中，∴△CAO≌△BAO（SSS），∴∠OCA＝∠OBA．∵AB為⊙O的切線，B為切點，∴∠ABO＝90°，∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，∴AC是⊙O的切線．（2）解：∵OC＝2，OD＝5，∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，∵∠OBD＝90°，∴BD，設(shè)AC＝x，則AC＝AB＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴，解得，∴，∴AD＝AB+BD＝AC+BD．7．（2022·湖北武漢·二模）如圖，PA與⊙O相切于點A，AB是直徑，點C在⊙O上，連接CB，CP，2∠B+∠P＝180°．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)過O作OD∥PC，交AP于點D，若AB＝8，∠AOD＝30°．求由線段PA，PC及弧AC所圍成陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)由線段PA，PC及弧AC所圍成陰影部分的面積為【詳解】（1）證明：連接，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∵，∴，∴又是的切線，則，∴∴是的切線（2）連接OP，由，知，∵，則又由（1）知，是的切線∴，則∵，則，，則同理，∵，，則∴類型四：三角形的內(nèi)切圓有關(guān)三角形內(nèi)心的常用輔助線作法，解答該類問題時一般有兩種作輔助線的方法：一是連接內(nèi)心與三角形的頂點，即構(gòu)建出三角形的角平分線；二是連接內(nèi)心與切點得到線段垂直的位置關(guān)系，再連接內(nèi)心與三角形的頂點進而運用直角三角形的相關(guān)知識來解答.典型例題例題1．（2022·湖北·黃石十四中九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，分別以B和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P和Q，直線與延長線交于點E，連接，則的內(nèi)切圓半徑是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【詳解】解：由題意得PQ為BC的垂直平分線，∴EB=EC，∵∠B=60°，∴△EBC為等邊三角形，作等邊三角形EBC的內(nèi)切圓，設(shè)圓心為M，∴M在直線PQ上，連接BM，過M作MH垂直BC于H，垂足為H，∵∴BH=BC=AD=，∵∠MBH=∠ABC=30°，∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°=×=4．∴的內(nèi)切圓半徑是4．故選：A．點評：例題1考查了線段垂直平分線定理，等邊三角形的判定，等邊三角形內(nèi)切圓半徑的求法，解直角三角形，解題關(guān)鍵在于理解題意，運用正確的方法求三角形內(nèi)切圓半徑．分別以和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和，連接P，Q則PQ為BC的垂直平分線，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC為等邊三角形，作等邊三角形EBC的內(nèi)切圓，設(shè)圓心為M，則M在直線PQ上，連接BM，過M作BC垂線垂足為H，在Rt△BMH中，BH=BC=AD=，∠MBH=30°，通過解直角三角形可得出MH的值即為△BCE的內(nèi)切圓半徑的長．例題2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，是內(nèi)心，則等于（）A．120° B．130° C．150° D．160°【答案】B【詳解】解：∵I是內(nèi)心，∴BI和CI分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∴∠BIC=180°-（∠CBI+∠BCI）=180°-（∠ABC+∠ACB）=130°，故選B．點評：例題2考查了三角形的內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點．根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到BI和CI分別平分∠ABC和∠ACB，再利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理計算可得．例題3．（2022·河北邢臺·九年級期末）如圖，O是△ABC的內(nèi)心，OD⊥BC于點D，OD＝2，若△ABC的周長為12，則△ABC的面積是（

）A．12 B．24 C．6 D．3【答案】A【詳解】解：連接OA、OB、OC，∵O是三角形ABC的內(nèi)心，∴O到三角形ABC各邊的距離相等，都等于OD的長度，∵，∴=，故選：A．點評：例題3考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)心的性質(zhì)：到三角形三邊距離相等是解題的關(guān)鍵．連接OA、OB、OC，根據(jù)三角形內(nèi)心性質(zhì)，知O到三角形ABC各邊距離相等，利用三角形ABC面積等于三角形AOB、三角形AOC、三角形BOC的面積之和求解．例題4．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，點是內(nèi)切圓的圓心，若，那么______度．【答案】115【詳解】解：∵點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵∠BAC=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=130°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×130°=115°．故答案為：115．點評：例題4考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．由點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，又由∠BAC=50°，可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù)，繼而求得答案．例題5．（2022·湖北黃石·模擬預(yù)測）在Rt中，，且，，則該三角形內(nèi)切圓的周長是______．【答案】【詳解】解：如圖：在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，根據(jù)勾股定理AB==13，四邊形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，∴四邊形OECF是正方形，由切線長定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，∴CE=CF=（AC+BC-AB），即：r=（5+12-13）=2．∴該三角形內(nèi)切圓的周長=．故答案為：．點評：例題5主要考查了直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及半徑的求法．根據(jù)已知得出CE=CF=（AC+BC-AB）是解題關(guān)鍵．設(shè)AB、BC、AC與⊙O的切點分別為D、F、E；易證得四邊形OECF是正方形；那么根據(jù)切線長定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的長．例題6．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，中，，是的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點．(1)求證：四邊形ODCE是正方形；(2)如果，，求內(nèi)切圓的半徑．【答案】(1)見解析(2)1【詳解】（1）證明：∵BC，AC分別切于點D，E，∴，，又∵，∴四邊形ODCE是矩形，又∵，∴矩形ODCE是正方形．（2）解：設(shè)的半徑為r，∵四邊形ODCE是正方形，∴，在中，，∴，，∵與各邊相切于點D，E，F(xiàn)，∴，，又∵，∴，解得∴內(nèi)切圓的半徑是1．點評：例題6主要考查了切線長定理，矩形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線長定理，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)切線判定定理可得，先證四邊形ODCE是矩形，再根據(jù)正方形的判定即可求證；（2）設(shè)的半徑為r，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而得到，，再由切線長定理可得，，然后根據(jù)，即可求解．同類題型演練1．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，⊙I是Rt△ABC中的內(nèi)切圓，，過點I作分別交CA，CB于E，F(xiàn)，若EA＝4，BF＝3，則⊙I的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)⊙I與三角形ABC的各邊的切點分別為M、N、P，連接IM、IN、IP，過E、F分別作AB的垂線段，垂足為G、H，如圖所示，設(shè)半徑為r，由題意知，EG=FH=IP=r，∠IME=∠AGE=90°，∵EF∥AB，∴∠A=∠MEI，∴△AEG≌△EIM，∴AE=IE=4，由∠A+∠B=90°，∠MEI+∠MIE=90°，得：∠B=∠MIE，∴sin∠B=sin∠MIE，即，∴，解得：EM=，在Rt△E