測(cè)量誤差與平差

測(cè)量誤差與平差第1頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平差——削平差異，消除不符。由于測(cè)量?jī)x器的精度不完善和人為因素及外界條件的影響，測(cè)量誤差總是不可避免的。為了提高成果的質(zhì)量，處理好這些測(cè)量中存在的誤差問題，觀測(cè)值的個(gè)數(shù)往往要多于確定未知量所必須觀測(cè)的個(gè)數(shù)，也就是要進(jìn)行多余觀測(cè)。有了多余觀測(cè)，勢(shì)必在觀測(cè)結(jié)果之間產(chǎn)生矛盾，測(cè)量平差的目的就在于消除這些矛盾而求得觀測(cè)量的最可靠結(jié)果并評(píng)定測(cè)量成果的精度。測(cè)量平差采用的原理是“最小二乘法”。測(cè)量平差是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯于1821～1823年在漢諾威弧度測(cè)量的三角網(wǎng)平差中首次提出并應(yīng)用的。以后經(jīng)過許多科學(xué)家的不斷完善，得到發(fā)展，測(cè)量平差已成為測(cè)繪學(xué)中很重要的、內(nèi)容豐富的基礎(chǔ)理論與數(shù)據(jù)處理技術(shù)之一。

第2頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月測(cè)量平差是測(cè)繪工程專業(yè)的主干課程，一般需要講授70學(xué)時(shí)以上。平差分為簡(jiǎn)易平差和嚴(yán)密平差。嚴(yán)密平差又分為條件平差和間接平差。在高程測(cè)量一章中水準(zhǔn)路線閉合差的計(jì)算與分配實(shí)際上就是一種簡(jiǎn)易平差工作（消除高差不符值）。簡(jiǎn)易平差的相關(guān)內(nèi)容將結(jié)合具體的控制測(cè)量計(jì)算（如導(dǎo)線計(jì)算）加以介紹；對(duì)于嚴(yán)密平差方法，有興趣的同學(xué)可自學(xué)。本章主要介紹測(cè)量誤差的基本知識(shí)。目的是了解測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因和評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)；掌握偶然誤差的特性、誤差傳播定律及其在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用方法。第3頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8－1誤差與精度一、測(cè)量誤差的概念誤差是指由各種原因引起的觀測(cè)值與真實(shí)值，或真實(shí)值與其應(yīng)有值之間存在的差異。比如：三角形的內(nèi)角和為180o，觀測(cè)值為180o00'30″；標(biāo)尺刻劃間距的真實(shí)值為0.97cm，其應(yīng)有值即理論設(shè)計(jì)值為1cm。要點(diǎn)：“要測(cè)量就會(huì)有誤差”，即誤差與測(cè)量同在。誤差來源于三個(gè)方面：儀器誤差、觀測(cè)誤差和外界環(huán)境的影響。觀測(cè)條件與誤差的關(guān)系。與誤差的三個(gè)來源相對(duì)應(yīng)的測(cè)量?jī)x器、觀測(cè)者和作業(yè)環(huán)境叫觀測(cè)條件。觀測(cè)條件的好壞決定誤差的大小。第4頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.誤差的類型測(cè)量誤差分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差及粗差。系統(tǒng)誤差：在相同的觀測(cè)條件下作多次觀測(cè)（或?qū)δ愁悢?shù)據(jù)進(jìn)行同種處理），如果觀測(cè)結(jié)果包含的誤差在大小及符號(hào)上表現(xiàn)出一致的傾向，如按一定的函數(shù)關(guān)系變化，或保持常數(shù)，或保持同號(hào)，則這種誤差叫系統(tǒng)誤差。比如：鋼尺尺長(zhǎng)誤差，光電測(cè)距中的加常數(shù)、剩余常數(shù)，傳統(tǒng)的“五入”等。偶然誤差：在相同的觀測(cè)條件下作多次觀測(cè)（或?qū)ν悢?shù)據(jù)進(jìn)行同種處理），如果觀測(cè)結(jié)果包含的誤差在大小及符號(hào)上均沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即從表面看沒有任何規(guī)律性，則這種誤差叫偶然誤差。比如：水準(zhǔn)讀數(shù)估讀、照準(zhǔn)偏左或偏右等。粗差：數(shù)值超出了某種規(guī)定范圍的誤差。如讀錯(cuò)、記錯(cuò)等。第5頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月粗差實(shí)際上是一種不太容易發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤，嚴(yán)格來講，粗差不應(yīng)屬于測(cè)量誤差的范疇。三.偶然誤差的特性系統(tǒng)誤差具有傾向的一致性，即單向性、同一性，其影響具有積累性，對(duì)測(cè)量成果精度的影響很大，必須設(shè)法消除或減小，比如施加尺長(zhǎng)改正、加常數(shù)改正、剩余常數(shù)改正、氣象改正等。偶然誤差是一種隨機(jī)性誤差，不能直接通過加改正數(shù)的方法來消除，在觀測(cè)結(jié)果中總是不可避免地包含偶然誤差，因此，偶然誤差是測(cè)量誤差理論的主要研究對(duì)象。偶然誤差雖然從表面上看沒有規(guī)律，但實(shí)際上具有統(tǒng)計(jì)性規(guī)律，即特性。下面先給出真誤差的定義，然后介紹偶然誤差的四個(gè)特性。第6頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月任何一個(gè)被觀測(cè)量，客觀上總存在一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，稱作“真值”。設(shè)某量的真值為X，已剔除了系統(tǒng)誤差的觀測(cè)值為l，則它們的差值叫做該觀測(cè)值的真誤差，簡(jiǎn)稱誤差，用△表示，即：

△＝l－

X真誤差△僅指偶然誤差。如果對(duì)某量作一系列的觀測(cè)，得到n個(gè)觀測(cè)值li(i=1,2,···,n)；則有n個(gè)真誤差△i(i=1,2,···,n)與之相對(duì)應(yīng)。這種僅包含偶然誤差的真誤差具有以下四個(gè)特性：有界性在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。（這個(gè)限值不是固定的，與觀測(cè)條件有關(guān)）第7頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，某項(xiàng)試驗(yàn)中，在相同的觀測(cè)條件下共觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，計(jì)算出每個(gè)三角形的和角真誤差（即閉合差，三角之和與180o之差）。分別對(duì)正、負(fù)誤差按絕對(duì)值由小到大排列，然后以d△＝3″為誤差區(qū)間統(tǒng)計(jì)各區(qū)間的誤差個(gè)數(shù)k，并計(jì)算其相對(duì)個(gè)數(shù)（k/n，也稱作頻率，n＝358

）。結(jié)果列于下表：第8頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.趨向性絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大。誤差分布的趨向性在統(tǒng)計(jì)表中十分明顯。誤差分布的趨向性在頻率直方圖中更易看出。偶然測(cè)量誤差是隨機(jī)變量，服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。第9頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)稱性絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。同樣，誤差分布的對(duì)稱性可從統(tǒng)計(jì)表和直方圖中得到驗(yàn)證。第10頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.抵償性偶然誤差的算術(shù)平均值將隨著觀測(cè)次數(shù)的無限增加而趨于零，即：在測(cè)量平差中，方括號(hào)[]用來表示求和。第四個(gè)特性是由第三個(gè)特性即對(duì)稱性導(dǎo)出的。必須指出，偶然誤差的以上特性，尤其是后面的三個(gè)特性，只有當(dāng)觀測(cè)數(shù)目較多（一般n為20以上）時(shí)才會(huì)比較明顯。第11頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月精度及其衡量指標(biāo)（一）.精度的含義精度是指一組觀測(cè)誤差分布的密集或離散的程度。若分布集中，即小誤差多、大誤差少，則說明該組觀測(cè)值的質(zhì)量好、精度高；反之，精度就低。據(jù)此可判別下圖中哪組觀測(cè)精度相對(duì)較高。誤差分布曲線一誤差分布曲線二第12頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月精度是一組觀測(cè)成果質(zhì)量高低的標(biāo)志，它與觀測(cè)條件的好壞密切相關(guān)。在相同的觀測(cè)條件（觀測(cè)者、儀器和外界環(huán)境）下進(jìn)行的一組觀測(cè)，叫做“同精度觀測(cè)”。所有的觀測(cè)值對(duì)應(yīng)著同一種誤差分布，因此，對(duì)于組中的每一個(gè)觀測(cè)值（即使是誤差為零或誤差很大的觀測(cè)值），都稱為“同（等）精度觀測(cè)值”；反之，則稱為“非等精度觀測(cè)”。例如，同一個(gè)觀測(cè)者同一天用同一臺(tái)儀器對(duì)同一個(gè)三角形的內(nèi)角和觀測(cè)了10次，閉合差w有+8″的，有-2″的，也有為0的。w=0并不意味著高精度，w=8″也不表示低精度，所有的觀測(cè)結(jié)果應(yīng)認(rèn)為是相同精度的。只有在不同的觀測(cè)條件下所作的觀測(cè)，才可以看作精度不同。第13頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）.衡量精度的指標(biāo)除了用誤差分布圖表示觀測(cè)精度之外，還可用簡(jiǎn)明的數(shù)字來作為衡量精度的指標(biāo)。精度的高低雖然不能用觀測(cè)列中的某個(gè)誤差的大小來判別，但與一組誤差絕對(duì)值的平均大小有直接聯(lián)系，所以常用一組誤差絕對(duì)值的平均大小來作為衡量精度高低的指標(biāo)。此處的“平均大小”并非簡(jiǎn)單的算術(shù)平均大小，而是指均方差。測(cè)量上常用的衡量精度的指標(biāo)主要有以下三種：第14頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月中誤差（在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中叫標(biāo)準(zhǔn)差σ）在一定的觀測(cè)條件下，同精度觀測(cè)列中各真誤差平方的平均值的極限叫做中誤差m的平方，即：式中：開平方后得：上式是中誤差的極限表達(dá)式。在實(shí)際工作中，觀測(cè)次數(shù)不可能為無窮大，所以中誤差通常用其估值表達(dá)式計(jì)算：第15頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月中誤差的大小反映出一組觀測(cè)值誤差的集中與離散的程度。右圖中，m1較小,誤差分布比較集中，說明相應(yīng)的觀測(cè)值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，則觀測(cè)值精度較低。

數(shù)學(xué)期望(均)方差第16頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.極限誤差極限誤差也叫容許誤差，即觀測(cè)中可能出現(xiàn)的最大誤差值，用△容表示。由偶然誤差的有界性知：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定限值，這個(gè)限值就是極限誤差。由概率論知，在誤差群中，絕對(duì)值大于2m的真誤差個(gè)數(shù)只占誤差總個(gè)數(shù)的5％，大于3m的個(gè)數(shù)僅0.3％。由此可見，絕對(duì)值大于2m或3m的真誤差實(shí)際上不可能出現(xiàn)。因此一般用兩倍或三倍中誤差作為偶然誤差的極限值，即：

△容＝2m，或△容＝3m第17頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.相對(duì)誤差真誤差和中誤差都是絕對(duì)誤差。有時(shí)，僅用絕對(duì)誤差還不能完全表達(dá)觀測(cè)精度的高低。例如，分別丈量了1000米和10米的兩段距離，觀測(cè)值的中誤差均為±0.01米，雖然從表面上看，兩者的觀測(cè)精度相同，但就“單位長(zhǎng)度”而言，兩者的精度并不相同（且實(shí)現(xiàn)的難度也不相同），顯然前者的相對(duì)精度比后者要高。第18頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月為此，通常又采用另一種衡量精度的指標(biāo)，即“相對(duì)中誤差”，它是中誤差（絕對(duì)值）與相應(yīng)的觀測(cè)值之比，為一“不名數(shù)”，無量綱，常用分子為1的分式表示：相對(duì)誤差僅可用作線量（即長(zhǎng)度）觀測(cè)精度的衡量指標(biāo)，在角度測(cè)量中沒有意義。第19頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8－2誤差傳播定律簡(jiǎn)介在實(shí)際工作中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：某一個(gè)量的大小并不是直接測(cè)定，而是由一個(gè)或一系列的觀測(cè)量通過一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算出來的（比如EDM測(cè)高）。很顯然，觀測(cè)值誤差必然會(huì)“傳遞”給函數(shù)，使其函數(shù)也包含誤差。闡述觀測(cè)量函數(shù)的中誤差與觀測(cè)量本身的中誤差之間關(guān)系的定律，叫誤差傳播定律。獨(dú)立觀測(cè)值的概念——

設(shè)x、y為兩個(gè)觀測(cè)值，如果它們之間沒有任何聯(lián)系，并且都是直接觀測(cè)量，則稱它們是“獨(dú)立觀測(cè)值”，它們之間是“互相獨(dú)立”的。比如，三角高程測(cè)量中的斜距和垂直角，三角形中的兩個(gè)內(nèi)角等。與此對(duì)應(yīng)，若兩個(gè)觀測(cè)值之間存在一定的聯(lián)系，或包含同一因素，則它們就不是“互相獨(dú)立”的。如方向觀測(cè)法中各方向的歸零方向值（零方向相同）。第20頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般函數(shù)形式的誤差傳播定律：設(shè)有一般函數(shù):式中，x1、x2、……xn為互相獨(dú)立的觀測(cè)值，相應(yīng)的中誤差分別為mx1、mx2、……mxn；Z是各觀測(cè)值的函數(shù)。經(jīng)推導(dǎo)(教材P150），函數(shù)Z的中誤差計(jì)算式為：是函數(shù)Z對(duì)各觀測(cè)值（變量）的偏導(dǎo)數(shù)，它們都是觀測(cè)值的函數(shù)，將觀測(cè)值代入后便都是常數(shù)。例如，h=S×sinα，則第21頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、和差函數(shù):2、倍乘函數(shù)：函數(shù)表達(dá)式：函數(shù)中誤差為：函數(shù)中誤差為：函數(shù)表達(dá)式：上述一般函數(shù)形式的誤差傳播定律可以用于各種函數(shù)。幾種常用函數(shù)形式的誤差傳播律第22頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、線性函數(shù)：函數(shù)表達(dá)式：根據(jù)誤差傳播律有：第23頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟(1).列出函數(shù)式；(2).對(duì)函數(shù)式求全微分；(3).套用誤差傳播定律，寫出函數(shù)中誤差公式；(4).計(jì)算各偏導(dǎo)數(shù)之值；(5).將偏導(dǎo)數(shù)值和觀測(cè)值中誤差之值代入公式計(jì)算函數(shù)的中誤差。第24頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:對(duì)一個(gè)三角形，觀測(cè)了A、B兩個(gè)角：

A=64o21'06″±8.0″，B=70o35'40

″±6.0″。試求第三個(gè)角C及其中誤差。C=45o03?

14?±10?解：由題意可得:

A+B+C=180°

于是：C=180°－A－B=45o03'14″

根據(jù)誤差傳播定律，有:第25頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于誤差傳播定律，要求大家一定掌握“一般形式的函數(shù)中誤差計(jì)算式”，它是“通式”。需要指出的是，當(dāng)函數(shù)與觀測(cè)值的量綱不一致時(shí)，應(yīng)注意量綱的統(tǒng)一。例如——函數(shù)h=S×sinα，h與α的量綱不同，按誤差傳播定律求h的中誤差時(shí)，需注意各誤差的單位：關(guān)鍵是角度中誤差平方這一項(xiàng)須除以ρ2。ρ＝206265?第26頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8－3算術(shù)平均值與加權(quán)平均值一、算術(shù)平均值及其中誤差1.算術(shù)平均值設(shè)對(duì)某未知量進(jìn)行了n次等精度獨(dú)立觀測(cè)。n個(gè)觀測(cè)值為

：其算術(shù)平均值為：第27頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.觀測(cè)值中誤差計(jì)算式設(shè)觀測(cè)量的真值為X，各觀測(cè)值的真誤差為：由于真值X一般未知，故△i亦為未知，無法直接采用§8－1中介紹的估值式求中誤差，必須尋找別的途徑。對(duì)n個(gè)真誤差計(jì)算式求和，然后取平均，有：第28頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是：對(duì)上式左右兩邊取極限：由此可見，當(dāng)n為無窮大時(shí)，n個(gè)觀測(cè)值的算術(shù)平均值趨向于其真值。當(dāng)n為有限時(shí)，算術(shù)平均值是一個(gè)接近于真值的近似值。測(cè)量中將接近于真值的近似值稱為觀測(cè)量的最可靠值或最或然值。為了介紹觀測(cè)值中誤差計(jì)算式，有必要引入“觀測(cè)值改正數(shù)”的概念。某個(gè)觀測(cè)量的最或然值與其觀測(cè)值之差叫做觀測(cè)值的改正數(shù)，用V表示。顯然，有n個(gè)觀測(cè)值就有n個(gè)改正數(shù)。第29頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月改正數(shù)V又叫做“最或然誤差”。由上可知，對(duì)某量的n次等精度觀測(cè)的算術(shù)平均值x是該量的最或然值，故x與各觀測(cè)值l之差就是相應(yīng)的觀測(cè)值改正數(shù)V，共有n個(gè)：在等精度觀測(cè)條件下，所有觀測(cè)值改正數(shù)的總和為零。由上式容易得到：第30頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有了觀測(cè)值改正數(shù)的定義之后，由改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差的公式（推導(dǎo)見教材P155）如下：該式叫做計(jì)算同精度觀測(cè)值中誤差的白塞爾公式（Bessel

）。第31頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.算術(shù)平均值中誤差n個(gè)同精度觀測(cè)值的平均值計(jì)算式為：由誤差傳播定律，得：因?yàn)槭堑染扔^測(cè)，各觀測(cè)值中誤差相等，即：

m1=m2=…=mn=m，所以：將白塞爾公式代入，有：第32頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：對(duì)某水平角同精度觀測(cè)了5次，求算術(shù)平均值、觀測(cè)值中誤差和平均值中誤差。次序觀測(cè)值VVV備注176o42'49"-416276o42'40"+525376o42'42"+39476o42'46"-11576o42'48"-39平均76o42'45"[V]=0[VV]=60解：由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算中誤差的過程見下表。算術(shù)平均值：x=76°42′45"第33頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.權(quán)的概念觀測(cè)條件不同時(shí)，觀測(cè)量的觀測(cè)精度也就不同。在不同條件下進(jìn)行的觀測(cè)叫非等精度觀測(cè)。除了用中誤差來衡量非等精度觀測(cè)值的精度高低之外，還可以用“權(quán)”來表征此類觀測(cè)值的可靠程度。此處的“權(quán)”是權(quán)衡輕重、比較好壞的指標(biāo)，是一個(gè)數(shù)值指標(biāo)，用P

表示。某觀測(cè)值的權(quán)按下式計(jì)算：其中的u2為任意大于零的常數(shù)，一旦確定則不再變動(dòng)，常取某個(gè)典型觀測(cè)值中誤差（單位權(quán)中誤差，即權(quán)為1的觀測(cè)值的中誤差）作為