九年級數(shù)學(xué)上冊第06講 實際問題與二次函數(shù)（解析版）

/第06講實際問題與二次函數(shù)(重點題型方法與技巧)目錄類型一：利用二次函數(shù)解決利潤問題類型二：利用二次函數(shù)求圖形面積的最值類型三：利用二次函數(shù)解決拋物線形問題類型一：利用二次函數(shù)解決利潤問題二次函數(shù)與利潤最大問題（1）調(diào)整價格分漲價和降價．（2）總利潤=單件商品的利潤×銷售量．化．典型例題例題1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）某超市將進(jìn)價為40元件的商品按50元/件出售時，每月可售出500件．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該商品售價每上漲1元，其月銷量就減少10件．超市為了每月獲利8000元，則每件應(yīng)漲價多少元？若設(shè)每件應(yīng)漲價x元，則依據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解:設(shè)這種襯衫每件漲價x元，則銷售量為（500-10x）件，根據(jù)題意，得，故選：C．點評：例題1主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目中蘊含的相等關(guān)系，列出一元二次方程．設(shè)這種襯衫每件漲價x元，則銷售量為（500-10x）件，根據(jù)“總利潤=每件襯衫的利潤×銷售量”列出一元二次方程，解方程后根據(jù)題意取舍即可得．例題2．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）某服裝店購進(jìn)單價為15元的童裝若干件，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價為25元時平均每天能售出8件，而當(dāng)銷售價每降低2元，平均每天能多售出4件，為使該服裝店平均每天的銷售利潤最大，則每件的定價為（

）A．21元 B．22元 C．23元 D．24元【答案】B【詳解】解：設(shè)每天的銷售利潤為元，每件的定價為元，則每件的利潤為元，平均每天售出件，根據(jù)題意得：，∵∴當(dāng)時，最大，即每件的定價為22元時，每天的銷售利潤最大．故選：B點評：例題2主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．設(shè)每天的銷售利潤為元，每件的定價為元，則每件的利潤為元，平均每天售出件，根據(jù)每天的銷售利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解．例題3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當(dāng)它的產(chǎn)品無利潤時就會及時停產(chǎn)．現(xiàn)有一生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，其一年中獲得的利潤和月份之間的函數(shù)關(guān)系式為，則該企業(yè)一年中應(yīng)停產(chǎn)的月份是（

）A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月【答案】C【詳解】解：∵∴當(dāng)y=0時，n=2或者n=12．又∵拋物線的圖象開口向下，∴1月時，y＜0；2月和12月時，y=0．∴該企業(yè)一年中應(yīng)停產(chǎn)的月份是1月、2月、12月．故選：C．點評：例題3考查二次函數(shù)的應(yīng)用．能將二次函數(shù)由一般式化為頂點式并理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)解析式，求出函數(shù)值y等于0時對應(yīng)的月份，依據(jù)開口方向以及增減性，再求出y小于0時的月份即可解答．例題4．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）陽光超市里銷售的一種水果，每千克的進(jìn)價為10元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷量y（kg）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系.若不計其他成本（利潤=售價-進(jìn)價），則該超市銷售這種水果每天能夠獲得的最大利潤是_________元．【答案】400【詳解】解：設(shè)超市銷售這種水果每天能夠獲得的利潤是w元，由題意得，，∵a=-1＜0，∴當(dāng)x=30時，w最大為400元，故答案為：400．點評：例題4考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意得到二次函數(shù)的關(guān)系式是解題關(guān)鍵．設(shè)超市銷售這種水果每天能夠獲得的利潤是w元，由題意得w=-（x-30）2+400，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．例題5．（2022·湖北武漢·九年級期末）某高檔游泳健身館每人每次游泳健身的票價為80元，每日平均客流量為136人，為了促進(jìn)全民健身運動，游泳館決定降價促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，票價每下降1元，每日游泳健身的人數(shù)平均增加2人．當(dāng)每日銷售收入最大時，票價下調(diào)_______元．【答案】6【詳解】解：總利潤為y元，票價下調(diào)x元，根據(jù)題意得=∵，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)x=6時，函數(shù)胡最大值∴當(dāng)每日銷售收入最大時，票價下調(diào)6元故答案為6點評：例題5考查了把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再對二次函數(shù)進(jìn)行實際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．設(shè)總利潤為y元，根據(jù)“總利潤=每件商品的利潤×銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為頂點式就可以求出結(jié)論．例題6．（2022·重慶·模擬預(yù)測）某品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲0.5元/個，則月銷售量將減少5個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為多少元/個？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；(2)該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為50元/個【詳解】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，依題意得：，解得，（不合題意，舍去），答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；（2）設(shè)該品牌頭盔的實際售價為y元/個，依題意得：，整理得，解得（不合題意，舍去），，答：該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為50元/個．點評：例題6主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意列出一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，依題意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)該品牌頭盔的實際售價為y元/個，依題意列出一元二次方程，解方程即可求解．同類題型演練1．（2021·福建省福州第十九中學(xué)九年級階段練習(xí)）某商品的進(jìn)價為每件20元，現(xiàn)在的售價為每件40元，每星期可賣出200件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出5件．則每星期售出商品的利潤y（單位：元）與每件漲價x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x【答案】A【詳解】∵每漲價1元，每星期要少賣出5件，每件漲價x元，∴銷售每件的利潤為（40﹣20+x）元，每星期的銷售量為（200﹣5x）件，∴每星期售出商品的利潤y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．故選：A．2．（2022·河北·大城縣教學(xué)研究中心九年級期末）某商場經(jīng)營一種小商品，已知進(jìn)購時單價是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價是30元時，月銷售量為240件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件商品的售價不能高于40元．當(dāng)月銷售利潤最大時，銷售單價為（

）A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元【答案】C【詳解】解：依題意得：y=（30-20+x）（240-10x）y=-10x2+140x+2400．∵每件首飾售價不能高于40元．∴0≤x≤10．∴求y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x2+140x+2400，x的取值范圍為0≤x≤10；∴y=-10（x-7）2+2890．∴a=-10＜0．∴當(dāng)x=7時，y最大=2890．∴每件首飾的售價定為：30+7=37元．∴每件首飾的售價定為37元時，可使月銷售利潤最大，最大的月利潤是2890元．故選C．3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）一人一盔安全守規(guī)，一人一帶平安常在！某商店銷售一批頭盔，售價為每頂80元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進(jìn)價為每頂50元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為（）元．A．60 B．65 C．70 D．75【答案】C【詳解】解：每頂頭盔降價x元，利潤為w元，由題意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴當(dāng)x＝10時，w取得最大值，此時80﹣x＝70，即該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為70元，故選：C．4．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）某童裝專賣店銷售一批某品牌童裝，已知銷售這種童裝每天獲得的利潤y（元）與童裝的銷售價x（元/件）之間的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+160x﹣4800．若想每天獲得的利潤最大，則銷售價應(yīng)定為（）A．110元/件 B．100元/件 C．90元/件 D．80元/件【答案】D【詳解】解：∵y＝﹣x2+160x﹣4800，∴拋物線的開口向下，∴當(dāng)x＝﹣＝80時，y＝＝1600，∴想每天獲得的利潤最大，則銷售價應(yīng)定為80元，故選：D．5．（2022·全國·九年級）為了減少空氣污染，國家要求限制塑料玩具生產(chǎn)，這樣有時企業(yè)會被迫停產(chǎn)，經(jīng)過調(diào)研預(yù)測，某塑料玩具生產(chǎn)公司一年中每月獲得的利潤y（萬元）和月份n之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣n2+14n﹣24，則沒有盈利的月份為（

）A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月【答案】D【詳解】解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n為整數(shù)，∴當(dāng)y=0時，n=2或n=12，當(dāng)y＜0時，n=1，故選：D．6．（2022·山東棗莊·九年級期末）將進(jìn)貨單價為70元的某種商品按零售價100元售出時，每天能賣出20個；若這種商品的零售價在一定范圍內(nèi)每降價1元，其日銷售量就增加2個．設(shè)單價降價x元，則每天的利潤y與x的關(guān)系式是：________；最大利潤為________元．【答案】

800【詳解】解：由單價降價x元，則每件商品的利潤為：元，每天的銷售量為件，所以由則有最大值，當(dāng)時，故答案為：，8007．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）學(xué)子書店購進(jìn)了一批單價為20元的中華傳統(tǒng)文化叢書．在銷售的過程中發(fā)現(xiàn)，這種圖書每天的銷售數(shù)量y（本）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：y＝－3x＋108（29≤x≤36）．如果銷售這種圖書每天的利潤為p（元），那么在這種關(guān)系下銷售單價定為________元時，每天獲得的利潤最大？【答案】29【詳解】解：由題意得∵且，∴當(dāng)x=29時，y最大=189，故答案為：29．8．（2021·福建·長汀縣第四中學(xué)九年級階段練習(xí)）某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊抓住商機，購進(jìn)一批干果分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本3元．試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（袋）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系y＝﹣80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天還需支付其他各項費用80元．(1)如果每天獲得160元的利潤，銷售單價為多少元？(2)設(shè)每天的利潤為w元，當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)如果每天獲得160元的利潤，銷售單價為4元(2)當(dāng)銷售單價定為5元時，每天的利潤最大，最大利潤是240元【詳解】（1）由題意得：(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80＝160，整理，得x﹣10x+24＝0，解得：＝4，＝6，∵3.5≤x≤5.5，∴x＝4，∴如果每天獲得160元的利潤，銷售單價為4元；（2）由題意得：w＝(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80＝﹣80x+800x﹣1760＝﹣80(x﹣5)+240，∵3.5≤x≤5.5，∴當(dāng)x＝5時，w有最大值為240．∴當(dāng)銷售單價定為5元時，每天的利潤最大，最大利潤是240元．9．（2021·四川成都·三模）某經(jīng)銷商銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價為10元/千克，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于18元/千克，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)求每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)銷售價為多少時，每天的銷售利潤最大(3)該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為多少？【答案】(1)y＝﹣2x+60（10≤x≤18）(2)，銷售價為18元時，每天的銷售利潤最大(3)15元【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）對稱軸x＝20，在對稱軸的左側(cè)w隨著x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴當(dāng)x＝18時，w最大．即當(dāng)銷售價為18元時，每天的銷售利潤最大．（3）由整理得：解得x＝15或x＝25（不合題意，舍去）類型二：利用二次函數(shù)求圖形面積的最值求面積最大（?。┲祮栴}，常以三角形、四邊形、圓等基本圖形為背景，以某條變化的線段的長度為自變量，構(gòu)建二次函數(shù)模型求解．典型例題例題1．（2020·甘肅武威·九年級期中）用20cm長的繩子圍成一個矩形，如果這個矩形的一邊長為xcm，面積是Scm2，則S與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．S＝x（20﹣x） B．S＝x（20﹣2x） C．S＝x（10﹣x） D．S＝2x（10﹣x）【答案】C【詳解】解：由題意得：S＝x(10﹣x)，故選：C．點評：例題1主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是正確理解題意，表示矩形的寬．根據(jù)題意可得矩形的寬為(10-x)cm，再根據(jù)矩形的面積公式S=長×寬可得函數(shù)解析式．例題2．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）已知矩形MNPQ的頂點M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，F(xiàn)A，AB，CD上，且．在點從移向（與不重合）的過程中，下列的判斷中，正確的是（

）A．矩形MNPQ的面積與周長保持不變B．矩形MNPQ的面積逐漸減小，周長逐漸增大C．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸增大D．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸減小【答案】D【詳解】正六邊形為軸對稱圖形，以EF之間的對稱軸為y軸，以直線AD上的對稱軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)六邊形的邊長為2，則,,設(shè)直線ED的解析式為y=kx+b，解得，故ED的解析式為，點M在線段ED上，故設(shè)M（x,y），矩形NMQP中，N與M關(guān)于y軸對稱，∴N（-x,y），Q與M關(guān)于x軸對稱，∴Q（x,-y），∴，，∴矩形的周長C=2（NM+MQ）=2(2x+2y)==,由于，故C的值會隨x的增大而減小，點M從E移動到D的過程中，x不斷增大，所以周長會不斷減小；矩形的面積∵<0，拋物線開后向下，當(dāng)x>1時，S隨x的增大而減小，所以面積也會逐漸減?。蔬x：D．點評：例題2考查了正六邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系利用函數(shù)解題．以EF之間的對稱軸為y軸，以直線AD上的對稱軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出ED的解析式，從而表示M、N、Q的坐標(biāo)，列出關(guān)于周長和面積的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)性質(zhì)得出結(jié)論．例題3．（2020·浙江·湖州市第五中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知點與點，，是一平行四邊形的四個頂點，則長的最小值是（

）A．10 B． C． D．9【答案】C【詳解】有兩種情況：①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB＝CD＝＝10②CD是平行四邊形的一條對角線，過C作CM⊥AO于M，過D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過B作BN⊥DF于N，則∠BND＝∠DFA=∠CMA＝∠QFA＝90，∠CAM＋∠FQA＝90，∠BDN＋∠DBN＝90，∵四邊形ACBD是平行四邊形，∴BD＝AC，∠C＝∠D，BD∥AC，∴∠BDF＝∠FQA，∴∠DBN＝∠CAM，∵在△DBN和△CAM中，∴△DBN≌△CAM（AAS），∴DN＝CM＝a-2，BN＝AM＝8?a，D（10?a，6＋a），由勾股定理得：CD2＝（10?a?a）2＋（6＋a＋a-2）2＝8a2?24a＋116＝8（a?）2＋98，當(dāng)a＝時，CD有最小值，是=，∵＜10，∴CD的最小值是．故選：C．點評：例題4考查了平行四邊形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，關(guān)鍵是能得出關(guān)于a的二次函數(shù)解析式，題目比較好，難度偏大．①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB＝CD；②CD是平行四邊形的一條對角線，過C作CM⊥AO于M，過D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過B作BN⊥DF于N，證△DBN≌△CAM，推出DN＝CM＝a-2，BN＝AM＝8?a，得出D（10?a，6＋a），由勾股定理得：CD2＝（10?a?a）2＋（6＋a＋a-2）2＝8a2?24a＋116＝8（a?）2＋98，求出即可．例題4．（2022·廣東梅州·九年級期末）某園藝公司準(zhǔn)備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻長20米），另外三邊用籬笆圍成如圖所示，所用的籬笆長為32米．請問當(dāng)垂直于墻的一邊的長為____米時，花圃的面積有最大值，最大值是____．【答案】

8

128平方米##128m2【詳解】設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為(32-2x)米，設(shè)矩形的面積為S，則S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：S=(32-2x)x=-2x2+32x=-2(x-8)2+128，當(dāng)x=8時，S有最大值，最大面積為128；（當(dāng)垂直于墻的一邊長為8米，則平行于墻的一邊長為32-2x=16米，符合題意）∴當(dāng)垂直于墻的一邊的長為8米時，S有最大值128平方米．故答案為：8；128．點評：例題4考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為(32-2x)米，根據(jù)矩形的面積公式列出關(guān)于x的二次函數(shù)，然后求出面積的最大值，即可求解．例題5．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，用一段長為的籬芭圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長），則這個圍欄的最大面積為_______．【答案】32【詳解】解：設(shè)圍欄垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為米，∴圍欄的面積，∴當(dāng)時，S取最大值，最大值為32，故答案為：32．點評：例題5主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)已知條件列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．設(shè)圍欄垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為米，列出圍欄面積S關(guān)于x的二次函數(shù)解析式，化為頂點式，即可求解．例題6．（2022·浙江麗水·九年級期中）如圖，某中學(xué)課外活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園．其中一邊靠墻，另外三邊用長為20米的籬笆圍成．已知墻長為18米，設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米．(1)若這個苗圃園的面積為S平方米，求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大面積．【答案】(1)S＝－2x2＋20x(1≤x＜10)(2)當(dāng)矩形苗圃園垂直于墻的邊長為5米時，這個苗圃園的面積最大，最大面積為50平方米【詳解】（1）解：設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米，則另一邊為米，∴；∵，解得：；∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：，（）；（2）解：由（1）可知，，∴；∵，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為50；∴當(dāng)矩形苗圃園垂直于墻的邊長為5米時，這個苗圃園的面積最大，最大面積為50平方米；點評：例題6主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）先求出矩形的另一邊，然后由矩形的面積公式，即可得到答案；（2）運用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，即可得到答案．同類題型演練1．（2021·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD互相垂直，AC+BD=10，設(shè)AC=x(0<x<10)，四邊形ABCD的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y=x(10－x) B．y=x(10－x) C．y=x(10+x) D．y=(10－x)2【答案】B【詳解】設(shè)AC的長度為x，則BD=20-x，∴y=AC×BD=x（10-x）.故選B.2．（2019·四川·樹德中學(xué)九年級）設(shè)、、為實數(shù)，且，拋物線，頂點在上，與軸交于點，，與軸交于點，當(dāng)為直角三角形時，的最大值是（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】D【詳解】解：設(shè)交軸于點，，交軸于點、，且，由是直角三角形知，點必為直角頂點，且（射影定理的逆定理），由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，∴，，又，即，∴，∴，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時等號成立，因此，的最大面積是4．故選D．3．（2020·重慶一中九年級階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是邊AB上的動點，過點P作PQ⊥AB交射線AD于點Q，連接CP，CQ，則△CPQ面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)菱形的高為h，∵在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠A＝60°，∴h＝，若設(shè)AP＝x，則PB＝1﹣x，∵PQ⊥AB，AQ＝2x，PQ＝x，∴DQ＝1﹣2x，∴S△CPQ＝S菱形ABCD﹣S△PBC﹣S△PAQ﹣S△CDQ＝1×﹣（1﹣x）?﹣x?x﹣（1﹣2x）?＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴△CPQ面積有最大值為，故選：D．4．（2019·浙江溫州·九年級期末）如圖，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別是，上的點，且滿足．分別以，為邊向矩形內(nèi)部構(gòu)造正方形和正方形，記陰影部分的面積為S，則S的最小值為（

）A．9 B．10.5 C．12 D．15【答案】A【詳解】解：設(shè)AE=CF=x，∵四邊形AEMH和四邊形CFNG是正方形，∴BE=DG=5-x，BF=DH=7-x，NP=MQ=2x-5，NQ=2x-7，則陰影部分的面積S==∵0＜x≤5，∴當(dāng)x=4時，S最小，且為9．5．（2022·江蘇二模）如圖利用135°的墻角修建一個梯形的儲料場，并使∠C=90°．如果新建的墻BCD總長24m，那么BC=________儲料場的面積最大．【答案】16【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，則四邊形ADCE為矩形，∠DAE＝∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠BAD?∠EAD＝45°，設(shè)DC＝AE＝xm，在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，∴∠B＝45°，∴AE＝BE＝x

m，∴AD＝CE＝(24?2x)m，m，∴梯形ABCD面積S＝(AD＋BC)?CD＝(24?2x＋24?x)?x＝，∴當(dāng)x＝8時，S最大＝96．∴此時，也就是當(dāng)BC長為16m時，才能使儲料場的面積最大．6．（2022·廣西·南丹縣教學(xué)研究室二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，D為線段OB上一點．過點D作x軸的垂線與拋物線交于點E，與直線BC相交于點F，則點E到直線BC距離d的最大值為_________．【答案】【詳解】解：當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，即，解得，，點，點，設(shè)直線的表達(dá)式為：，且過點和，得，解得，，將向上平移于至與拋物線只有一個交點時，過點作于，如圖所示，要求點E到直線BC距離d的最大值，即求的長度，則可設(shè)直線的表達(dá)式為：，，，，則，即，由于只有一個交點，則，解得，，，，，，故答案為：．7．（2022·廣西·防城港外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在一塊正方形ABCD木板上要貼三種不同的墻紙，正方形EFCG部分貼A型墻紙，△ABE部分貼B型墻紙，其余部分貼C型墻紙．A型、B型、C型三種墻紙的單價分別為每平方60元、80元、40元．(1)探究1：如果木板邊長為2米，F(xiàn)C＝1米，則一塊木板用墻紙的費用需_____元；(2)探究2：如果木板邊長為1米，當(dāng)FC的長為多少時，一塊木板需用墻紙的費用最省？最省是多少元？(3)探究3：設(shè)木板的邊長為a（a為整數(shù)），當(dāng)正方形EFCG的邊長為多少時，墻紙費用最省？【答案】(1)220；(2)當(dāng)FC的長為m時，一塊木板需用墻紙的費用最省，最省是55元；(3)當(dāng)正方形EFCG的邊長為時，墻紙費用最省．【詳解】（1）解：∵CF＝1m，BC＝2m，∴BF＝1m，∴，＝1，＝4?1?1＝2，∴一塊木板用墻紙的費用為：1×60＋1×80＋2×40＝220（元），故答案為：220；（2）設(shè)FC＝xm，則BF＝（1?x）m，總費用為y元，∴，，＝，∴，∴當(dāng)x＝時，＝55元，答：當(dāng)FC的長為m時，一塊木板需用墻紙的費用最省，最省是55元；（3）設(shè)FC＝xm，則BF＝（a?x）m，總費用為y元，∴，，＝，∴，∴當(dāng)x＝時，y有最小值，即墻紙費用最省，答：當(dāng)正方形EFCG的邊長為時，墻紙費用最?。?．（2022·河北秦皇島·九年級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動點P，Q分別從點A，B同時開始移動（移動方向如圖所示），點P的速度為2cm/s，點Q的速度為1cm/s，點P移動到B點后停止，點Q也隨之停止運動，設(shè)P、Q從點A、B同時出發(fā)，運動時間為ts，四邊形APQC的面積是S(1)試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍；(2)若S是21cm2時，確定t值；(3)t為何值時，S有最大（或最?。┲?，求出這個最值．【答案】(1)S=t2－4t+24（0≤t≤4）(2)t=1或t=3(3)t=2時，S有最小值20【詳解】（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴運動ts時，AP=2t，BP=8－2t，BQ=t∴S=S△ABC－S△PBQ=×AB×CB－×PB×QB=×8×6－×（8－2t）×t=t2－4t+24（0≤t≤4）（2）當(dāng)S=21時，則t2－4t+24=21，解得t=1或t=3（3）∵S=t2－4t+24=(t-2)2+20，∴當(dāng)t=2時，S有最小值20類型三：利用二次函數(shù)解決拋物線形問題用二次函數(shù)解決拋物線形問題（1）建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)，正確寫出關(guān)鍵點的坐標(biāo)；（3）合理地設(shè)出函數(shù)解析式；（4）將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出解析式；（5）利用解析式求解．在解題過程中要充分利用拋物線的對稱性，同時要注意對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．典型例題例題1．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，某拱橋呈拋物線形狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是（

）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【答案】D【詳解】解：以M為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，建直角坐標(biāo)系，如圖：∵橋的最大高度是16米，跨度是40米，∴拋物線頂點C（0，16），A（20，0），B（20，0），設(shè)拋物線解析式為y=ax2+16，將A（20，0）代入得：0=400a+16，解得，∴拋物線解析式為，當(dāng)x=5時，，∴在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是15米，故選：D．點評：例題1考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線的解析式．以M為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，建直角坐標(biāo)系，根據(jù)橋的最大高度是16米，跨度是40米，求出拋物線解析式為，再將x=5代入即可得答案．例題2．（2021·安徽蕪湖·九年級階段練習(xí)）某廣場有一個小型噴泉，水流從垂直于地面的水管噴出，長為．水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落到地面上，某方向上拋物線路徑的形狀如圖所示，落點到的距離為．建立平面直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度與水平距離之間近似滿足函數(shù)關(guān)系，則水流噴出的最大高度為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，拋物線經(jīng)過點（0，1.5）和（3，0），把上述兩個點坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，∴函數(shù)表達(dá)式為：，∵a＜0，故函數(shù)有最大值，∴當(dāng)x=1時，y取得最大值，此時y=2，答：水流噴出的最大高度為2米．故選：D．點評：例題2考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用，要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際進(jìn)行求解．由題意可得，拋物線經(jīng)過點（0，1.5）和（3，0），把上述兩個點坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，可求出a和c的值，則拋物線的解析式可求出，再把拋物線解析式化為頂點式即可求出水流噴出的最大高度．例題3．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）小明在期末體育測試中擲出的實心球的運動路線呈拋物線形．若實心球運動的拋物線的解析式為，其中y是實心球飛行的高度，x是實心球飛行的水平距離．已知該同學(xué)出手點A的坐標(biāo)為，則實心球飛行的水平距離OB的長度為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m【答案】C【詳解】解：∵實心球運動的拋物線的解析式為，點A的坐標(biāo)為，∴，解得，，令，，即，解得（舍去），故選：C．點評：例題3考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例題4．（2022·湖北襄陽·二模）如圖，某單位的圍墻由一段段形狀相同的拋物線形柵欄組成，為了牢固，每段柵欄間隔0.2米設(shè)置一根立柱（即AB間間隔0.2米的7根立柱）進(jìn)行加固，若立柱EF的長為0.28米，則拱高OC為_____米【答案】0.64【詳解】解：如圖，以點C為坐標(biāo)系原點，OC所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的解析式為，由題意可知：點A的橫坐標(biāo)為－0.8，點F的橫坐標(biāo)為－0.6，代入，有，，點A的縱坐標(biāo)即為OC的長，∴0.36a＋0.28＝0.64a，解得a＝1，∴拋物線解析式為，，故OC的長為：0.64m．點評：例題4考查根據(jù)拋物線構(gòu)建直角坐標(biāo)系，解決實際問題，熟練掌握二次函數(shù)相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．例題5．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進(jìn)過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的水平距離OA的長是_____m．【答案】10【詳解】將y=0代入；整理得：（x-10）（x+2）=0解得：x=10或x=-2（舍去）∴鉛球推出的水平距離OA的長是10m．故答案為：10點評：例題5主要考查了二次函數(shù)得實際應(yīng)用，熟練地掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由圖可知，要求OA的長實際是需要點A的橫坐標(biāo)，已知點A的縱坐標(biāo)為0，將y=0代入函數(shù)的解析式，求出x的值，再舍去不符合實際的一個x的值即可．例題6．（2021·浙江·溫州外國語學(xué)校九年級期中）某大樓前廣場有一噴水池，水從地面噴出，噴出水的路徑是一條拋物線．如果以水平地面為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，水在空中畫出的曲線是拋物線的一部分，則水噴出的水平距離最大為________米．【答案】4【詳解】解：∵噴出水的路徑是拋物線，∴水噴出的最大水平距離為拋物線頂點橫坐標(biāo)的2倍．∵，∴頂點坐標(biāo)為（2，4）．∴水噴出的最大水平距離為：（千米）．故答案為：4．點評：例題6考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出函數(shù)模型，利用函數(shù)的知識解決實際問題．利用拋物線的對稱性可知，水噴出的最大水平距離為拋物線頂點橫坐標(biāo)的2倍，利用配方法或公式法求出其頂點坐標(biāo)即可求解．例題7．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置OA，A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式是（x＞0）．(1)柱子OA的高度是______米；(2)若不計其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？【答案】(1)(2)水池的半徑至少要米才能使噴出的水流不至于落在池外【詳解】(1)在中，令x=0，則y=，∴柱子OA的高度為米；故答案為；（2）在中，當(dāng)y＝0時，，，∴，∴，·，又∵x＞0，∴解得米．答：水池的半徑至少要米才能使噴出的水流不至于落在池外．點評：例題7考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是平面直角坐標(biāo)系中x軸上的縱坐標(biāo)為0，y軸上的橫坐標(biāo)為0，解方程．（1）OA在y軸上，中，令x=0，可得y即為OA；（2）水流落得最遠(yuǎn)時，落點在x軸上，在中，當(dāng)y＝0時，，求得．例題8．（2022·甘肅蘭州·中考真題）擲實心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名女生投擲實心球，實心求行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，拋出時起點處高度為，當(dāng)水平距離為3m時，實心球行進(jìn)至最高點3m處．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體有考試評分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．【答案】(1)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；(2)該女生在此項考試中是得滿分，理由見解析．【詳解】（1）解∶∵當(dāng)水平距離為3m時，實心球行進(jìn)至最高點3m處，∴設(shè)，∵經(jīng)過點(0，)，∴解得∶∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：該女生在此項考試中是得滿分，理由如下∶∵對于二次函數(shù)，當(dāng)y=0時，有∴，解得∶，(舍去)，∵>6.70，∴該女生在此項考試中是得滿分．點評：例題8考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析是是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)該同學(xué)此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離，令y=0，解方程即可求解．同類題型演練1．（2021·湖北·武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）九年級階段練習(xí)）河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)關(guān)系式為y＝x2，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時，這時水面寬度AB為（）A．4m B．10m C．20m D．8m【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意B的縱坐標(biāo)為﹣4，把y=﹣4代入y=x2，得x=±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB=20m．即水面寬度AB為20m．故選：C．2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個柱子恰為水面中心，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，在過的任一平面上，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），水流噴出的高度與水平距離之間的關(guān)系式是，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．柱子的高度為B．噴出的水流距柱子處達(dá)到最大高度C．噴出的水流距水平面的最大高度是D．水池的半徑至少要才能使噴出的水流不至于落在池外【答案】C【詳解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴當(dāng)x=0時，y=3，即OA=3m，故A正確，當(dāng)x=1時，y取得最大值，此時y=4，故B正確，C錯誤當(dāng)y=0時，x=3或x=-1（舍去），故D正確，故選：C．3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，一小球從斜坡點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫．則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．當(dāng)小球達(dá)到最高處時，它離斜坡的豎直距離是B．當(dāng)小球落在斜坡上時，它離點的水平距離是C．小球在運行過程中，它離斜坡的最大豎直距離是D．該斜坡的坡度是：【答案】C【詳解】解：，頂點坐標(biāo)為，把代入得，，當(dāng)小球達(dá)到最高處時，它離斜坡的豎直距離，故A正確，不符合題意；，解得，，，當(dāng)小球落在斜坡上時，它離點的水平距離是，故B正確，不符合題意；小球在運行過程中，它離斜坡的豎直距離，則小球在運行過程中，它離斜坡的最大豎直距離為，C錯誤，符合題意；斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，該斜坡的坡度是：，D正確，不符合題意；故選：C．4．（2021·山東·青島大學(xué)附屬中學(xué)九年級階段練習(xí)）有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨