高等數(shù)學(xué)上冊(cè)公開(kāi)課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

一、集合二、映射三、函數(shù)§1.1映射與函數(shù)上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束首頁(yè)第1頁(yè)

函數(shù)

設(shè)數(shù)集D

R

則稱(chēng)映射f

D

R為定義在D上函數(shù)

一般簡(jiǎn)記為y

f(x)

x

D

其中x稱(chēng)為自變量

y稱(chēng)為因變量

D稱(chēng)為定義域

記作Df

1.函數(shù)概念定義下頁(yè)第2頁(yè)

組成函數(shù)要素是定義域Df及對(duì)應(yīng)法則f

假如兩個(gè)函數(shù)定義域相同

對(duì)應(yīng)法則也相同

那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同

不然就是不一樣

函數(shù)兩要素

函數(shù)定義域一般按下列兩種情形來(lái)確定

對(duì)有實(shí)際背景函數(shù)

根據(jù)實(shí)際背景中變量實(shí)際意義確定

函數(shù)定義域

對(duì)抽象地用算式體現(xiàn)函數(shù)

其定義域是使得算式故意義一切實(shí)數(shù)組成集合

這種定義域稱(chēng)為自然定義域

下頁(yè)第3頁(yè)

此函數(shù)定義域?yàn)镈

[0

1]∪(0

)

[0

)

分段函數(shù)在自變量不一樣變化范圍中

對(duì)應(yīng)法則用不一樣式子來(lái)表達(dá)函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)

下頁(yè)第4頁(yè)

設(shè)函數(shù)y

f(u)定義域?yàn)镈1

函數(shù)u

g(x)在D上有定義且g(D)

D1

則由下式確定函數(shù)y

f[g(x)]

x

D稱(chēng)為由函數(shù)u

g(x)和函數(shù)y

f(u)組成復(fù)合函數(shù)

它定義域?yàn)镈

變量u稱(chēng)為中間變量

復(fù)合函數(shù)說(shuō)明:g與f組成復(fù)合函數(shù)f

g條件是

是函數(shù)g在D上值域g(D)必須含在f定義域Df

內(nèi)

即g(D)

Df

不然

不能組成復(fù)合函數(shù)

函數(shù)g與函數(shù)f組成復(fù)合函數(shù)一般記為f

g

即

(f

g)(x)

f[g(x)]

下頁(yè)第5頁(yè)基本初等函數(shù)冪函數(shù)

y

x

(

R是常數(shù))

指數(shù)函數(shù)

y

ax(a

0且a

1)

對(duì)數(shù)函數(shù)

y

loga

x(a

0且a

1

尤其當(dāng)a

e時(shí)

記為y

lnx)

三角函數(shù)

y

sinx

y

cosx

y

tanx

y

cotx

y

secx

y

cscx

初等函數(shù)

反三角函數(shù)

y

arcsinx

y

arccosx

y

arctanx

y

arccotx

下頁(yè)第6頁(yè)冪函數(shù)

y

x

(

R是常數(shù))

第7頁(yè)指數(shù)函數(shù)

y

ax(a

0且a

1)

第8頁(yè)對(duì)數(shù)函數(shù)

y

loga

x(a

0且a

1）第9頁(yè)三角函數(shù)第10頁(yè)反三角函數(shù)第11頁(yè)初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)通過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)復(fù)合步驟所組成并可用一種式子表達(dá)函數(shù)

稱(chēng)為初等函數(shù)

都是初等函數(shù)

例如

函數(shù)5.初等函數(shù)下頁(yè)第12頁(yè)§1.2數(shù)列極限一、數(shù)列極限定義二、收斂數(shù)列性質(zhì)第13頁(yè)數(shù)列

假如按照某一法則

對(duì)每一n

N

對(duì)應(yīng)著一種確定實(shí)數(shù)xn

則得到一種序列

x1

x2

x3

xn

這一序列叫做數(shù)列

記為{xn}

其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列一般項(xiàng)

數(shù)列舉例

2

4

8

2n

1

1

1

(

1)n

1

下頁(yè)第14頁(yè)x1x5x4x3x2xn

數(shù)列{xn}能夠看作數(shù)軸上一種動(dòng)點(diǎn)

它依次取數(shù)軸上點(diǎn)x1

x2

x3

xn

.

數(shù)列幾何意義數(shù)列

假如按照某一法則

對(duì)每一n

N

對(duì)應(yīng)著一種確定實(shí)數(shù)xn

則得到一種序列

x1

x2

x3

xn

這一序列叫做數(shù)列

記為{xn}

其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列一般項(xiàng)

下頁(yè)第15頁(yè)數(shù)列

假如按照某一法則

對(duì)每一n

N

對(duì)應(yīng)著一種確定實(shí)數(shù)xn

則得到一種序列

x1

x2

x3

xn

這一序列叫做數(shù)列

記為{xn}

其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列一般項(xiàng)

數(shù)列{xn}能夠看作數(shù)軸上一種動(dòng)點(diǎn)

它依次取數(shù)軸上點(diǎn)x1

x2

x3

xn

數(shù)列幾何意義下頁(yè)第16頁(yè)

例如數(shù)列極限通俗定義

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)

假如數(shù)列{xn}一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于常數(shù)a

則常數(shù)a稱(chēng)為數(shù)列{xn}極限

或稱(chēng)數(shù)列{xn}收斂a

記為下頁(yè)第17頁(yè)aa-ea+e()數(shù)列極限幾何意義存在N

N

當(dāng)n<N時(shí)

點(diǎn)xn一般落在鄰域(a-e

a+e)外

當(dāng)n>N時(shí)

點(diǎn)xn全都落在鄰域(a-e

a+e)內(nèi)

任意給定ae鄰域(a-e

a+e)

下頁(yè)第18頁(yè)

例1

設(shè)|q|

1

等比數(shù)列1

q

q2

qn

1

極限是0

下頁(yè)第19頁(yè)二、收斂數(shù)列性質(zhì)定理1(極限唯一性)

假如數(shù)列{xn}收斂

那么它極限唯一

下頁(yè)第20頁(yè)數(shù)列有界性

假如存在著正數(shù)M

使得對(duì)一切xn都滿足不等式|xn|

M

則稱(chēng)數(shù)列{xn}是有界

假如這樣正數(shù)M不存在

就說(shuō)數(shù)列{xn}是無(wú)界

定理2(收斂數(shù)列有界性)

假如數(shù)列{xn}收斂

那么數(shù)列{xn}一定有界

二、收斂數(shù)列性質(zhì)定理1(極限唯一性)

假如數(shù)列{xn}收斂

那么它極限唯一

下頁(yè)第21頁(yè)定理2(收斂數(shù)列有界性)

假如數(shù)列{xn}收斂

那么數(shù)列{xn}一定有界

二、收斂數(shù)列性質(zhì)定理1(極限唯一性)

假如數(shù)列{xn}收斂

那么它極限唯一

下頁(yè)第22頁(yè)定理3(收斂數(shù)列保號(hào)性)

假如數(shù)列{xn}收斂于a

且a

0(或a

0)

那么存在正整數(shù)N

當(dāng)n

N時(shí)

有xn

0(或xn

0)

推論假如數(shù)列{xn}從某項(xiàng)起有xn

0(或xn

0)

且數(shù)列{xn}收斂于a

那么a

0(或a

0)

定理2(收斂數(shù)列有界性)

假如數(shù)列{xn}收斂

那么數(shù)列{xn}一定有界

二、收斂數(shù)列性質(zhì)定理1(極限唯一性)

假如數(shù)列{xn}收斂

那么它極限唯一

下頁(yè)第23頁(yè)子數(shù)列定理4(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間關(guān)系)

假如數(shù)列{xn}收斂于a

那么它任一子數(shù)列也收斂

且極限也是a

例如

數(shù)列{xn}

1

1

1

1

(

1)n

1

一種子數(shù)列為{x2n}

1

1

1

(

1)2n

1

在數(shù)列{xn}中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中先后次序

這樣得到數(shù)列稱(chēng)為原數(shù)列{xn}子數(shù)列

下頁(yè)第24頁(yè)§1.3函數(shù)極限二、函數(shù)極限性質(zhì)一、函數(shù)極限概念第25頁(yè)一、函數(shù)極限定義

假如當(dāng)x無(wú)限地接近于x0時(shí)

函數(shù)f(x)值無(wú)限地接近于常數(shù)A

則常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0時(shí)極限

記作函數(shù)極限通俗定義1.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)極限下頁(yè)第26頁(yè)函數(shù)極限幾何意義當(dāng)0

|x

x0|

d

時(shí)

|f(x)

A|

0

d

0下頁(yè)第27頁(yè)下頁(yè)第28頁(yè)下頁(yè)第29頁(yè)下頁(yè)第30頁(yè)下頁(yè)第31頁(yè)說(shuō)明

單側(cè)極限

若當(dāng)x

x0

時(shí)

f(x)無(wú)限接近于某常數(shù)A

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0時(shí)左極限

記為x

x0

表達(dá)x從x0左側(cè)(即不大于x0)趨于x0,

x

x0+表達(dá)x從x0右側(cè)(即大于x0)趨于x0.

下頁(yè)第32頁(yè)

類(lèi)似地可定義右極限

結(jié)論單側(cè)極限

若當(dāng)x

x0

時(shí)

f(x)無(wú)限接近于某常數(shù)A

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0時(shí)左極限

記為下頁(yè)第33頁(yè)

這是由于下頁(yè)第34頁(yè)

類(lèi)似地可定義

假如當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)

f(x)無(wú)限接近于某一常數(shù)A

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

時(shí)極限

記為2.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)極限結(jié)論

下頁(yè)第35頁(yè)極限定義幾何意義

0

X

0

當(dāng)|x|

X時(shí)

有|f(x)

A|

下頁(yè)第36頁(yè)首頁(yè)第37頁(yè)二、函數(shù)極限性質(zhì)定理1(函數(shù)極限唯一性)定理2(函數(shù)極限局部有界性)

假如f(x)

A(x

x0)

那么f(x)在x0某一去心鄰域內(nèi)有界

定理3(函數(shù)極限局部保號(hào)性)

假如f(x)

A(x

x0)

并且A

0(或A

0)

那么在x0某一去心鄰域內(nèi)

有f(x)

0(或f(x)

0)

假如當(dāng)x

x0時(shí)f(x)極限存,那么這極限是唯一

假如在x0某一去心鄰域內(nèi)f(x)

0(或f(x)

0)

并且

f(x)

A(x

x0)

那么A

0(或A

0)

推論下頁(yè)第38頁(yè)§1.4無(wú)窮小與無(wú)窮大一、無(wú)窮小二、無(wú)窮大第39頁(yè)一、無(wú)窮小

假如函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0(或x)時(shí)極限為零那么稱(chēng)函數(shù)f(x)為當(dāng)x

x0(或x)時(shí)無(wú)窮小無(wú)窮小定義提醒

無(wú)窮小是這樣函數(shù)

在x

x0(或x

)過(guò)程中

極限為零

很小很小數(shù)

作為常數(shù)函數(shù)在自變量任何變化過(guò)程中

其極限就是這個(gè)常數(shù)本身

下頁(yè)第40頁(yè)

假如函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0(或x)時(shí)極限為零那么稱(chēng)函數(shù)f(x)為當(dāng)x

x0(或x)時(shí)無(wú)窮小無(wú)窮小定義一、無(wú)窮小下頁(yè)第41頁(yè)

假如函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0(或x)時(shí)極限為零那么稱(chēng)函數(shù)f(x)為當(dāng)x

x0(或x)時(shí)無(wú)窮小無(wú)窮小定義一、無(wú)窮小首頁(yè)第42頁(yè)說(shuō)明

二、無(wú)窮大

假如當(dāng)x

x0(或x

)時(shí)

對(duì)應(yīng)函數(shù)值絕對(duì)值|f(x)|無(wú)限增大

那么稱(chēng)函數(shù)f(x)為x

x0(或x

)時(shí)無(wú)窮大

記為

當(dāng)x

x0(或x

)時(shí)為無(wú)窮大函數(shù)f(x)

按函數(shù)極限定義來(lái)說(shuō)

極限是不存在

但為了便于論述函數(shù)這一性態(tài)

我們也說(shuō)“函數(shù)極限是無(wú)窮大”

無(wú)窮大定義下頁(yè)第43頁(yè)二、無(wú)窮大

假如當(dāng)x

x0(或x

)時(shí)

對(duì)應(yīng)函數(shù)值絕對(duì)值|f(x)|無(wú)限增大

那么稱(chēng)函數(shù)f(x)為x

x0(或x

)時(shí)無(wú)窮大

記為無(wú)窮大定義下頁(yè)第44頁(yè)正無(wú)窮大與負(fù)無(wú)窮大二、無(wú)窮大

假如當(dāng)x

x0(或x

)時(shí)

對(duì)應(yīng)函數(shù)值絕對(duì)值|f(x)|無(wú)限增大

那么稱(chēng)函數(shù)f(x)為x

x0(或x

)時(shí)無(wú)窮大

記為無(wú)窮大定義下頁(yè)第45頁(yè)下頁(yè)第46頁(yè)下頁(yè)第47頁(yè)定理

(無(wú)窮大與無(wú)窮小之間關(guān)系)結(jié)束第48頁(yè)§1.5極限運(yùn)算法則無(wú)窮小性質(zhì)極限四則運(yùn)算法則第49頁(yè)舉例

當(dāng)x

0時(shí)

x與sinx都是無(wú)窮小

因此x

sinx也是當(dāng)x

0時(shí)無(wú)窮小

定理1

有限個(gè)無(wú)窮小和也是無(wú)窮小

無(wú)窮小性質(zhì)下頁(yè)第50頁(yè)

定理2有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小

無(wú)窮小性質(zhì)下頁(yè)

定理1

有限個(gè)無(wú)窮小和也是無(wú)窮小

第51頁(yè)舉例:

推論2

有限個(gè)無(wú)窮小乘積也是無(wú)窮小

推論1

常數(shù)與無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小

無(wú)窮小性質(zhì)下頁(yè)

定理2有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小

定理1

有限個(gè)無(wú)窮小和也是無(wú)窮小

第52頁(yè)(2)limf(x)

g(x)

limf(x)

limg(x)

A

B

推論1

假如limf(x)存在

而c為常數(shù)

則lim[c

f(x)]

c

limf(x)

推論2假如limf(x)存在

而n是正整數(shù)

則lim[f(x)]n

[limf(x)]n

定理3

假如limf(x)

A

limg(x)

B

那么極限四則運(yùn)算法則(1)lim[f(x)

g(x)]

limf(x)

limg(x)

A

B

下頁(yè)第53頁(yè)數(shù)列極限四則運(yùn)算法則

定理4

設(shè)有數(shù)列{xn}和{yn}

假如那么下頁(yè)第54頁(yè)求極限舉例討論

提醒

下頁(yè)第55頁(yè)

解由于下頁(yè)第56頁(yè)

當(dāng)Q(x0)

P(x0)

0時(shí)

約去分子分母公因式(x

x0)

下頁(yè)第57頁(yè)先用x3清除分子及分母

然后取極限

解先用x3清除分子及分母

然后取極限

解下頁(yè)第58頁(yè)下頁(yè)第59頁(yè)

下頁(yè)第60頁(yè)§1.6兩個(gè)主要極限一、第一種主要極限二、第二個(gè)主要極限第61頁(yè)一、第一種主要極限下頁(yè)第62頁(yè)第一種主要極限下頁(yè)第63頁(yè)說(shuō)明

這是由于

令u=a(x)

則u

0

于是第一種主要極限下頁(yè)第64頁(yè)

解

解

首頁(yè)第65頁(yè)二、第二個(gè)主要極限下頁(yè)第66頁(yè)說(shuō)明

第二個(gè)主要極限二、第二個(gè)主要極限下頁(yè)第67頁(yè)

解

結(jié)束第68頁(yè)§1.7無(wú)窮小比較第69頁(yè)無(wú)窮小階

設(shè)

及

都是在同一種自變量變化過(guò)程中無(wú)窮小

下頁(yè)第70頁(yè)無(wú)窮小階

設(shè)

及

都是在同一種自變量變化過(guò)程中無(wú)窮小

階比較舉例下頁(yè)第71頁(yè)無(wú)窮小階

設(shè)

及

都是在同一種自變量變化過(guò)程中無(wú)窮小

階比較舉例下頁(yè)第72頁(yè)有關(guān)等價(jià)無(wú)窮小定理定理

求兩個(gè)無(wú)窮小比值極限時(shí)

分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)替代

因此

假如用來(lái)替代無(wú)窮小選用得合適

則可使計(jì)算簡(jiǎn)化

定理意義下頁(yè)第73頁(yè)當(dāng)x

0時(shí)

tan2x~2x

sin5x~5x

因此

解

當(dāng)x

0時(shí)sinx~x

無(wú)窮小x3

3x與它本身顯然是等價(jià)

因此

解

下頁(yè)第74頁(yè)§1.8函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性二、函數(shù)間斷點(diǎn)第75頁(yè)函數(shù)連續(xù)性定義提醒

設(shè)x

x0

x

則當(dāng)

x

0時(shí)

x

x0

因此

設(shè)函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0某一種鄰域內(nèi)有定義

假如那么就稱(chēng)函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

y

f(x0

x)

f(x0)

下頁(yè)第76頁(yè)函數(shù)連續(xù)性定義

設(shè)函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0某一種鄰域內(nèi)有定義

假如那么就稱(chēng)函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

下頁(yè)第77頁(yè)左連續(xù)與右連續(xù)結(jié)論

函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù)

函數(shù)連續(xù)性定義

設(shè)函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0某一種鄰域內(nèi)有定義

假如那么就稱(chēng)函數(shù)y

f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

下頁(yè)第78頁(yè)注:連續(xù)函數(shù)

在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)函數(shù)

叫做在該區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)

連續(xù)函數(shù)舉例1

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)在區(qū)間(

)內(nèi)是連續(xù)

這是由于

函數(shù)P(x)在(

)內(nèi)任意一點(diǎn)x0處有定義并且

假如區(qū)間包括端點(diǎn)

那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)

在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)

下頁(yè)第79頁(yè)連續(xù)函數(shù)

在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)函數(shù)

叫做在該區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)

連續(xù)函數(shù)舉例1

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)在區(qū)間(

)內(nèi)是連續(xù)

2

函數(shù)y

sinx在區(qū)間(

)內(nèi)是連續(xù)

首頁(yè)第80頁(yè)二、函數(shù)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)定義

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0某去心鄰域內(nèi)有定義

在此前提下

假如函數(shù)f(x)有下列三種情形之一

(1)在x0沒(méi)有定義

則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不連續(xù)

而點(diǎn)x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)

下頁(yè)第81頁(yè)間斷點(diǎn)舉例下頁(yè)第82頁(yè)間斷點(diǎn)舉例

當(dāng)x

0時(shí)

函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無(wú)限數(shù)次

因此點(diǎn)x=0稱(chēng)為函數(shù)振蕩間斷點(diǎn)

下頁(yè)第83頁(yè)間斷點(diǎn)舉例假如補(bǔ)充定義

令x=1時(shí)y=2

則所給函數(shù)在x=1成為連續(xù)

因此x=1稱(chēng)為該函數(shù)可去間斷點(diǎn)

下頁(yè)第84頁(yè)因此x=1是函數(shù)f(x)間斷點(diǎn)

假如變化函數(shù)f(x)在x=1處定義

令f(1)=1

則函數(shù)在x=1成為連續(xù)

因此x=1也稱(chēng)為此函數(shù)可去間斷點(diǎn)

間斷點(diǎn)舉例下頁(yè)第85頁(yè)間斷點(diǎn)舉例

因函數(shù)f(x)圖形在x

0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象

我們稱(chēng)x

0為函數(shù)f(x)跳躍間斷點(diǎn)

下頁(yè)第86頁(yè)

一般把間斷點(diǎn)提成兩類(lèi)

設(shè)

x0是函數(shù)f(x)間斷點(diǎn)

假如左極限f(x0-)及右極限f(x0+)都存在

那么x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)第一類(lèi)間斷點(diǎn)

不屬于第一類(lèi)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)

稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)

在第一類(lèi)間斷點(diǎn)中

左、右極限相等者稱(chēng)為可去間斷點(diǎn)

不相等者稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn)

無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二間斷點(diǎn)

間斷點(diǎn)類(lèi)型結(jié)束第87頁(yè)§1.9連續(xù)函數(shù)運(yùn)算與初等函數(shù)連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)和、積及商連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)連續(xù)性三、初等函數(shù)連續(xù)性第88頁(yè)一、連續(xù)函數(shù)和、積及商連續(xù)性定理1

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)

則函數(shù)在點(diǎn)x0也連續(xù)

首頁(yè)第89頁(yè)二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理2

假如函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)那么它反函數(shù)x

f1(y)在區(qū)間Iy{y|y

f(x)x

Ix}上也是單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)下頁(yè)第90頁(yè)二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理2

假如函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)那么它反函數(shù)x

f1(y)在區(qū)間Iy{y|y

f(x)x

Ix}上也是單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)下頁(yè)第91頁(yè)

設(shè)函數(shù)y

f[g(x)]由函數(shù)y

f(u)與函數(shù)u

g(x)復(fù)合而成

定理3下頁(yè)第92頁(yè)

設(shè)函數(shù)y

f[g(x)]由函數(shù)y

f(u)與函數(shù)u

g(x)復(fù)合而成U(x0)Dfo

g

若函數(shù)u

g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)函數(shù)y

f(u)在點(diǎn)u0

g(x0)連續(xù)則復(fù)合函數(shù)y

f[j(x)]在點(diǎn)x0也連續(xù)定理4

設(shè)函數(shù)y

f[g(x)]由函數(shù)y

f(u)與函數(shù)u

g(x)復(fù)合而成

定理3下頁(yè)第93頁(yè)三、初等函數(shù)連續(xù)性結(jié)論

基本初等函數(shù)在它們定義域內(nèi)都是連續(xù)

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)

說(shuō)明

所謂定義區(qū)間

就是包括在定義域內(nèi)區(qū)間

下頁(yè)第94頁(yè)利用連續(xù)性求極限舉例

解

解

下頁(yè)第95頁(yè)§1.10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)一、有界性與最大值最小值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理第96頁(yè)說(shuō)明

定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它最大值和最小值

定理1說(shuō)明

假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

那么最少有一點(diǎn)

1

[a

b]

使f(

1)是f(x)在[a

b]上最大值

又最少有一點(diǎn)

2

[a

b]

使f(

2)是f(x)在[a

b]上最小值

下頁(yè)第97頁(yè)定理2(有界性定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界

定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它最大值和最小值

首頁(yè)第98頁(yè)二、零點(diǎn)定理與介值定理說(shuō)明