新課標(biāo)全國(guó)3卷理數(shù)

優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔PAGEPAGE15優(yōu)選文檔PAGE2018年全國(guó)一致高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）

一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。1．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）已知會(huì)合

A={x|x

﹣1≥0}，B={0，1，2}，則

A∩B=（

）

A．{0}

B．{1}

C．{1，2}

D．{0，1，2}

2．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）（1+i

）（2﹣i

）=（

）

A．﹣3﹣i

B．﹣3+i

C．3﹣iD

．3+i

3．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連結(jié)起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)

帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖能夠是（）

A．B．C．D．4．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）若sinα=，則cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）（x2+）5的張開式中x4的系數(shù)為（）A．10B．20C．40D．806．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）函數(shù)y=﹣x4+x2+2的圖象大概為（）ABCD8．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）某集體中的每位成員使用搬動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該集體的10位成員中使用搬動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），則p=（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.39．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為，則C=（）A．B．C．D．10．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為9，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）A．12B．18C．24D．5411．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=|OP|，則C的離心率為（）A．B．2C．D．12．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)a=log0.20.3，b=log20.3，則（）A．a(chǎn)+b＜ab＜0B．a(chǎn)b＜a+b＜0C．a(chǎn)+b＜0＜abD．a(chǎn)b＜0＜a+b二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13．已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若

x14．曲線y=（ax+1）e在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為﹣2，則

∥（2+），則λ=

a=．

．

15．函數(shù)

f（x）=cos（3x+

）在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

．

16．已知點(diǎn)M（﹣1，1）和拋物線

若∠AMB=90°，則k=．

C：y2=4x，過

C的焦點(diǎn)且斜率為

k的直線與

C交于

A，B兩點(diǎn)．

三、解答題：共70分。

17．（12分）等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3．

1）求{an}的通項(xiàng)公式；

2）記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm=63，求m．

18．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，張開技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了達(dá)成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為

比較兩種生產(chǎn)方式的效率，采納40名工人，將他們隨機(jī)分紅兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，

第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．依照工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了以下莖葉圖：

（1）依照莖葉圖判斷哪一種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明原因；

（2）求40名工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間高出m和不高出m的工人

數(shù)填入下面的列聯(lián)表：高出

m

不高出

m

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）依照（2）中的列聯(lián)表，可否有99%的掌握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差別？附：K2=，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)．1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

2）當(dāng)三棱錐M﹣ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．

20．已知斜率為

k的直線

l與橢圓

C：

+=1交于

A，B兩點(diǎn)，線段

AB的中點(diǎn)為

M（1，m）（m＞0）．

（1）證明：

k＜﹣

；

（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且++=．證明：||，|

并求該數(shù)列的公差．

2

（1）若a=0，證明：當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a．

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

|，|

|

成等差數(shù)列，

22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），過點(diǎn)（0，﹣）且傾斜角為α

的

直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)．

1）求α的取值范圍；

2）求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．

[選修4-5：不等式選講]（10分）

23．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．

1）畫出y=f（x）的圖象；

2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

2018年全國(guó)一致高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）

參照答案與試題分析

一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)吻合題目要

求的。

1．C；2．D；3．A；4．B；5．C；6．A；7．D；8．B；9．C；10．B；11．C；12．B；二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。

13．；14．﹣3；15．3；16．2；

一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)吻合題目要求的。1．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）已知會(huì)合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，則A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【分析】求解不等式化簡(jiǎn)會(huì)合A，再由交集的運(yùn)算性質(zhì)得答案．【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．應(yīng)選：C．2．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣iB．﹣3+iC．3﹣iD．3+i【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．

【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．

應(yīng)選：D．

3．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連結(jié)起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)

帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖能夠是（）

A．

B．

C．

D．

【分析】直接利用空間幾何體的三視圖的畫法，判斷選項(xiàng)的正誤即可．【解答】解：由題意可知，如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，小的長(zhǎng)方體，是榫頭，從圖形看出，輪廓是長(zhǎng)方形，內(nèi)含一個(gè)長(zhǎng)方形，并且一條邊重合，其他3邊是虛線，所以木構(gòu)件的俯視圖是

A．

應(yīng)選：

A．4．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）若sinα=，則cos2α=（）

A．B．C．﹣D．﹣

【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出結(jié)果．

【解答】解：∵sinα=，

∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．應(yīng)選：B．5．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）（x2+）5的張開式中x4的系數(shù)為（）A．10B．20C．40D．80【分析】由二項(xiàng)式定理得（x2+）5的張開式的通項(xiàng)為：Tr+1=（x2）5﹣r（）r=，由10﹣3r=4，

解得r=2，由此能求出（x2+）5的張開式中x4的系數(shù)．

【解答】解：由二項(xiàng)式定理得（x2+）5的張開式的通項(xiàng)為：

Tr+1=（x2）5﹣r（）r=，

由10﹣3r=4，解得r=2，

∴（x2+）5的張開式中x4的系數(shù)為=40．應(yīng)選：C．6．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2，設(shè)P（2+，），點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離：d==∈[]，由此能求出△ABP面積的取值范圍．【解答】解：∵直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2，∵點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2=2上，∴設(shè)P（2+，），∴點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離：d==，∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，∴△ABP面積的取值范圍是：[，]=[2，6]．

應(yīng)選：A．

7．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）函數(shù)y=﹣x4+x2+2的圖象大概為（）

A．B．C．

D．

【分析】依照函數(shù)圖象的特點(diǎn)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用函數(shù)的單一性進(jìn)行判斷即可．

【解答】解：函數(shù)過定點(diǎn)（0，2），除去A，B．32函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=﹣4x+2x=﹣2x（2x﹣1），

得x＜﹣或0＜x＜，此時(shí)函數(shù)單一遞加，除去C，應(yīng)選：D．8．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）某集體中的每位成員使用搬動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該集體的10位成員中使用搬動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），則p=（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3【分析】利用已知條件，轉(zhuǎn)變?yōu)槎?xiàng)散布，利用方差轉(zhuǎn)變求解即可．【解答】解：某集體中的每位成員使用搬動(dòng)支付的概率都為p，看做是獨(dú)立重復(fù)事件，知足X～B（10，p），P（x=4）＜P（X=6），可得，可得1﹣2p＜0．即p．因?yàn)镈X=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．應(yīng)選：B．9．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為，則C=（）A．B．C．D．

【分析】推導(dǎo)出S△ABC==，進(jìn)而sinC==cosC，由此能求出結(jié)果．

【解答】解：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．

△ABC的面積為，

∴S△ABC==，∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．應(yīng)選：C．10．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為9，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）A．12B．18C．24D．54【分析】求出，△ABC為等邊三角形的邊長(zhǎng)，畫出圖形，判斷D的地址，今后求解即可．【解答】解：△ABC為等邊三角形且面積為9，可得，解得AB=6，球心為O，三角形ABC的外心為O′，顯然D在O′O的延伸線與球的交點(diǎn)如圖：O′C==，OO′==2，則三棱錐D﹣ABC高的最大值為：6，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為：=18．應(yīng)選：B．11．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=|OP|，則C的離心率為（）A．B．2C．D．【分析】先依照點(diǎn)到直線的距離求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|cos∠PF2O，代值化簡(jiǎn)整理可得a=c，問題得以解決．【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一條漸近線方程為y=x，∴點(diǎn)F2到漸近線的距離d==b，即|PF2|=b，∴|OP|===a，cos∠PFO=，2∵|PF|=|OP|，1∴|PF|=a，1在三角形12中，由余弦定理可得12221222|?|F122FPF|PF|=|PF|+|FF|﹣2|PFF|COS∠PFO，6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），

即3a2=c2，

即a=c，∴e==

，

應(yīng)選：C．12．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)

a=log0.20.3

，b=log20.3

，則（

）A．a(chǎn)+b＜ab＜0B．a(chǎn)b＜a+b＜0C．a(chǎn)+b＜0＜abD．a(chǎn)b＜0＜a+b【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得答案．【解答】解：∵a=log0.20.3=，b=log0.3=，2

∴=，

，

∵，，

ab＜a+b＜0．

應(yīng)選：B．

二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。

13．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），則λ=

．

【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法例求出=（4，2），再由向量平行的性質(zhì)能求出λ的值．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，2），∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案為：．14．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）曲線y=（ax+1）ex在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為﹣2，則a=﹣3．【分析】球心函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的斜率列出方程求解即可．xxx【解答】解：曲線y=（ax+1）e，可得y′=ae+（ax+1）e，曲線y=（ax+1）ex在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．故答案為：﹣3．15．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）函數(shù)f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．【分析】由題意可得f（x）=cos（3x+）=0，可得3x+=+kπ，k∈Z，即x=+kπ，即可求出．【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，x=，當(dāng)k=1時(shí)，x=π，當(dāng)k=2時(shí)，x=π，當(dāng)k=3時(shí)，x=π，

x∈[0，π]，

∴x=，或x=π，或x=π，故零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，故答案為：316．（5分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）已知點(diǎn)M（﹣1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB=90°，則k=2．【分析】由已知可求過A，B兩點(diǎn)的直線方程為y=k（x﹣1），今后聯(lián)立直線與拋物線方程組可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，向量的數(shù)量積為0，代入整理可求k．【解答】解：∵拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），∴過A，B兩點(diǎn)的直線方程為y=k（x﹣1），聯(lián)立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=1，

y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，

∵M(jìn)（﹣1，1），

∴=（x1+1，y1﹣1），=（x2+1，y2﹣1），

∵∠AMB=90°=0，∴?=0

∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，

整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，

1+2+﹣4﹣+2=0，

即k2﹣4k+4=0，∴k=2．

故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第必定作答。第22、23題為選考題，考生依照要求作答。（一）必考題：共17．（12分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3．

17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都

60分。

1）求{an}的通項(xiàng)公式；

2）記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm=63，求m．【分析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程，求出公比

q=±2，由此能求出

{an}的通項(xiàng)公式．

（2）當(dāng)

a1=1，q=﹣2

時(shí)，

Sn=

，由

Sm=63，得

Sm=

=63，m∈N，無(wú)解；當(dāng)

a1=1，q=2

時(shí)，

Sn=2n

﹣1，由此能求出m．

【解答】解：（1）∵等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），

解得q=±2，

當(dāng)q=2時(shí)，an=2n﹣1，

當(dāng)q=﹣2時(shí)，an=（﹣2）n﹣1，

∴{a}的通項(xiàng)公式為，a=2n﹣1n﹣1，或a=（﹣2）．nnn（2）記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．當(dāng)a=1，q=﹣2時(shí)，S===，1nmm=63，m∈N，無(wú)解；由S=63，得S=

1，q=2n=n當(dāng)a=1時(shí)，S==2﹣1，由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，

解得m=6．

18．（12分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）某工廠為提高生產(chǎn)效率，張開技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了達(dá)成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，采納40名工人，將他們隨機(jī)分紅兩組，每組第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．依照工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：

20人．第一組工人用min）繪制了以下

莖葉圖：

（1）依照莖葉圖判斷哪一種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明原因；（2）求40名工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間高出

m和不高出

m的工人數(shù)填

入下面的列聯(lián)表：

超不高出

過m

m

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

（3）依照（2）中的列聯(lián)表，可否有99%的掌握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差別？

附：K2=，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）依照莖葉圖中的數(shù)據(jù)判斷第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間較少些，效率更高；

2）依照莖葉圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算它們的中位數(shù)，再填寫列聯(lián)表；

3）列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算觀察值，比較臨界值得出結(jié)論．【解答】解：（1）依照莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，第一種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間主要會(huì)合在70～92之間，第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間主要會(huì)合在65～90之間，所以第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間較少些，效率更高；（2）這40名工人達(dá)成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間按從小到大的次序排列后，排在中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是79和81，計(jì)算它們的中位數(shù)為m==80；由此填寫列聯(lián)表以下；高出m不高出m總計(jì)第一種生產(chǎn)方式15520第二種生產(chǎn)方式51520總計(jì)202040（3）依照（2）中的列聯(lián)表，計(jì)算

K2=

=

=10＞6.635，

∴能有99%的掌握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差別．

19．（12分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是

異于C，D的點(diǎn)．

上

1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

2）當(dāng)三棱錐M﹣ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．

【分析】（1）依照面面垂直的判判斷理證明MC⊥平面ADM即可．

2）依照三棱錐的體積最大，確定M的地址，成立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法進(jìn)行求解即可．

【解答】解：（1）證明：在半圓中，DM⊥MC，

∵正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，

AD⊥平面BCM，則AD⊥MC，∵AD∩DM=D，

MC⊥平面ADM，

MC?平面MBC，

∴平面AMD⊥平面BMC．

（2）∵△ABC的面積為定值，

∴要使三棱錐M﹣ABC體積最大，則三棱錐的高最大，此時(shí)M為圓弧的中點(diǎn)，

成立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以以以下圖的空間直角坐標(biāo)系如圖∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，

∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），則平面MCD的法向量=（1，0，0），

設(shè)平面MAB的法向量為=（x，y，z）

則=（0，2，0），=（﹣2，1，1），

由?=2y=0，?=﹣2x+y+z=0，令x=1，則y=0，z=2，即=（1，0，2），

則cos＜，＞===，

則面

MAB與面

MCD所成二面角的正弦值

sin

α=

=

．

20．（12分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）已知斜率為

k的直線

l與橢圓

C：

+=1交于

A，B兩點(diǎn)，線段

AB的中點(diǎn)為

M（1，m）（m＞0）．（1）證明：

k＜﹣

；

（2）設(shè)F為

C的右焦點(diǎn)，

P為

C上一點(diǎn)，且

++

=．證明：

|

|

，|

|

，|

|成等差數(shù)列，并求該數(shù)

列的公差．

【分析】（1）設(shè)

A（x1，y1），B（x2，y2），利用點(diǎn)差法得

6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k=

=﹣

=﹣

又點(diǎn)

M（1，m）在橢圓內(nèi)，即

，解得

m的取值范圍，即可得

k＜﹣

，

（2）設(shè)

A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），可得

x1+x2=2

由

++

=，可得

x3﹣1=0，由橢圓的焦半徑公式得則

|FA|=a

﹣ex1=2﹣

x1，|FB|=2

﹣

x2，|FP|=2

﹣

x3=

．即可證明

|FA|+|FB|=2|FP|

，求得

A，B坐標(biāo)再求公差．

【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

∵線段AB的中點(diǎn)為M（1，m），

x1+x2=2，y1+y2=2m

將A，B代入橢圓C：+=1中，可得

，

兩式相減可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，

∴k==﹣=﹣

點(diǎn)M（1，m）在橢圓內(nèi)，即，

解得0＜m

∴．

2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），可得x1+x2=2，

∵++=，F(xiàn)（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，∴x3=1，∵m＞0，可得

P在第一象限，故

，m=

，k=﹣1

由橢圓的焦半徑公式得則

|FA|=a

﹣ex1=2﹣

x1，|FB|=2

﹣

x2，|FP|=2

﹣

x3=

．

則|FA|+|FB|=4

﹣

，∴|FA|+|FB|=2|FP|

，

聯(lián)立

，可得

|x

1﹣x2|=

所以該數(shù)列的公差

d知足

2d=

|x

1﹣x2|=

，

∴該數(shù)列的公差為±

．

21．（12分）（2018?新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，證明：當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a．

【分析】（1）對(duì)函數(shù)f（x）兩次求導(dǎo)數(shù)，分別判斷f′（x）和f（x）的單一性，結(jié)合f（0）=0即可得出結(jié)論；

（2）令h（x）為f′（x）的分子，令h″（0）計(jì)算a，談?wù)揳的范圍，得出f（x）的單一性，從額得出a的

值．

【解答】（1）證明：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．

，

，

可得x∈（﹣1，0）時(shí)，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）時(shí)，f″（x）≥0

f′（x）在（﹣1，0）遞減，在（0，+∞）遞加，

f′（x）≥f′（0）=0，∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上單一遞加，又∴當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得

f（0）=0．

f′（x）=（1+2ax）ln

（1+x）+

﹣2=

，

令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），

h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．

當(dāng)a≥0，x＞0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單一遞加，∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單一遞加，故x=0不是f（x）的極大值點(diǎn)，不吻合題意．當(dāng)a＜0時(shí)，h″（x）=8a+4aln

（x+1）+

，

顯然

h″（x）單一遞減，

①令

h″（0）=0，解得

a=﹣

．

∴當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，h″（x）＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，h″（x）＜0，∴h′（x）在（﹣1，0）上單一遞加，在（0，+∞）上單一遞減，h′（x）≤h′（0）=0，

h（x）單一遞減，又h（0）=0，

∴當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，h（x）＞0，即f′（x）＞0，

當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＜0，即f′（x）＜0，

f（x）在（﹣1，0）上單一遞加，在（0，+∞）上單一遞減，

x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，吻合題意；

②若﹣＜a＜0，則h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e）＜0，∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0，∴當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，h″（x）＞0，h′（x）單一遞加，

∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，x0）上單一遞加，不吻合題意；③若

a＜﹣

，則

h″（0）=1+6a＜0，h″（

﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，

∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為

x1，

∴當(dāng)x1＜x＜0時(shí)，h″（x）＜0，h′（x）單一遞減，

h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）單一遞加，

h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，

f（x）在（x1，0）上單一遞減，不吻合題意．

綜上，

a=﹣

．

（二）選考題：共10

分。請(qǐng)考生在第

22、23

題中任選一題作答。若是多做，則按所做的第一題計(jì)分。

[選修

4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

]（