帶積分余項的泰勒公式

帶積分余項的泰勒公式泰勒公式是一種用來逼近一個光滑函數(shù)的方法，它利用函數(shù)在某一點的各階導數(shù)來構造一個多項式來近似原函數(shù)。帶積分余項的泰勒公式可以提供更精確的近似結果，下面我們將詳細介紹它的推導和應用。

設函數(shù)$f(x)$在$x=a$處具有$n+1$階導數(shù)，則泰勒公式表示為：

$$

f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\dots+\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)+R_n(x)

$$

其中，$R_n(x)$表示余項，在$x=a$附近使用泰勒公式估計函數(shù)值時的誤差。

接下來我們將推導帶積分余項的泰勒公式。為此，我們引入一個新的函數(shù)$F(x)$，定義為：

$$

F(x)=\int_a^xf(t)dt

$$

我們的目標是通過$F(x)$來推導帶積分余項的泰勒公式。

首先，由于$F'(x)=f(x)$，我們可以得到：

$$

F(a)=\int_a^af(t)dt=0

$$

對于任意的$b\in(a,x)$，我們可以將$F(x)$表示為積分的形式：

$$

F(x)=\int_a^bf(t)dt+\int_b^xf(t)dt

$$

應用積分的基本定理，可以將第二個積分的上限變?yōu)?x$：

$$

F(x)=\int_a^bf(t)dt+\int_b^af(t)dt+\int_a^xf(t)dt

$$

由于$f(t)$是光滑函數(shù)，我們可以應用積分中值定理，得到：

$$

F(x)=f(\xi)(b-a)+\int_a^xf(t)dt

$$

其中，$\xi$是介于$a$和$b$之間的某個點。

現(xiàn)在我們將$\int_a^bf(t)dt$表示為泰勒公式的形式。假設$f(x)$在$x=b$處具有$n+1$階導數(shù)，我們可以將$f(t)$在$x=b$處展開為泰勒公式：

$$

f(t)=f(b)+(t-b)f'(b)+\frac{(t-b)^2}{2!}f''(b)+\dots+\frac{(t-b)^n}{n!}f^n(b)+R_n(b,t)

$$

將上式代入到$\int_a^xf(t)dt$中，得到：

$$

\int_a^xf(t)dt=\int_a^x\left[f(b)+(t-b)f'(b)+\frac{(t-b)^2}{2!}f''(b)+\dots+\frac{(t-b)^n}{n!}f^n(b)+R_n(b,t)\right]dt

$$

對于每一項，我們可以將積分和求導的操作交換位置，得到：

$$

\int_a^x(t-b)^kdt=\frac{(x-b)^{k+1}}{k+1}-\frac{(a-b)^{k+1}}{k+1}

$$

其中，$k$是一個非負整數(shù)。將上式代入到積分中，得到：

$$

\int_a^xf(t)dt=\int_a^xf(b)dt+\int_a^x(t-b)f'(b)dt+\int_a^x\frac{(t-b)^2}{2!}f''(b)dt+\dots+\int_a^x\frac{(t-b)^n}{n!}f^n(b)dt+\int_a^xR_n(b,t)dt

$$

對于每一項積分都可以求解，得到：

$$

\int_a^xf(b)dt=f(b)(x-a)

$$

$$

\int_a^x(t-b)f'(b)dt=\frac{(x-b)^2}{2!}f'(b)

$$

$$

\int_a^x\frac{(t-b)^2}{2!}f''(b)dt=\frac{(x-b)^3}{3!}f''(b)

$$

$$

\vdots

$$

$$

\int_a^x\frac{(t-b)^n}{n!}f^n(b)dt=\frac{(x-b)^{n+1}}{(n+1)!}f^n(b)

$$

對于余項$\int_a^xR_n(b,t)dt$，我們將其表示為一個未定積分的形式，并簡化：

$$

\int_a^xR_n(b,t)dt=\int_a^x[f(b)+(t-b)g(t)]dt=f(b)(x-a)+\int_a^x(t-b)g(t)dt

$$

其中，$g(t)=\frac{R_n(b,t)}{t-b}$。

現(xiàn)在我們將所有的結果代入到$\int_a^xf(t)dt$中，得到帶積分余項的泰勒公式：

$$

\int_a^xf(t)dt=f(a)(x-a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f'(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f''(a)+\dots+\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)+\frac{(x-b)^{n+1}}{(n+1)!}f^n(b)+f(b)(x-a)+\int_a^x(t-b)g(t)dt

$$

整理合并相似項，我們可以得到更簡化的帶積分余項的泰勒公式：

$$

\int_a^xf(t)dt=f(a)(x-a)+f(b)(x-a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f'(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f''(a)+\dots+\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)+\frac{(x-b)^{n+1}}{(n+1)!}f^n(b)+\int_a^x(t