2020-2021學(xué)年江西省高一12月考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2020-2021學(xué)年江西省南昌市第三中學(xué)高一12月考試數(shù)學(xué)試

題

一、單選題

1.函數(shù)y=2sin(2x+高的最小正周期是

.萬

A.4萬B.2"C.冗D.—

2

【答案】C

24

【分析】利用周期的求解公式T=—可求.

CD

【詳解】因?yàn)閥=2sin(2x+?1,所以其最小正周期為7=夸=乃，故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期求解，題目較為簡單.

2.己知cos(;r+a)=-g,(當(dāng)<a<2萬)，貝！|sin(2%-a)的值為()

A&R石「4■石n1

A.B.------C?+D.一

22~22

【答案】A

【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得cosa的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及誘導(dǎo)公式

可求得所求代數(shù)式的值.

【詳解】由誘導(dǎo)公式可得cos(7+a)=-cosa=-，，則cosa=」，

1/22

*.*<a<2/r,.二sina=-Jl—cos2a=—4，因此,sin(2)一a)=-sina=

故選：A.

3.已知集合4={引>=1。82%,%>1},集合B=<=,x<l>,則Ap|B=

()

A.B.C.{y|y>l}D.<y1<y<l

【答案】A

【分析】由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，再求交集.

【詳解】y=log2x>log2l=0,y=>-=-

則A={y|y>0},3={y[y>；},即AnB=<V'〉；}

故選：A

ItanaIsina

4.若角。的終邊落在直線x+y=O上，則二——+/,的值等于()

tanaJl-cos2a

A.2或一2B.-2或0C.0D.0或2

【答案】B

【分析】先確定。的終邊所在象限，再分類討論結(jié)合平方關(guān)系得出答案.

【詳解】71-cos2a=|sina\

由題意可知，角a的終邊在第二、四象限

|tan6Z|sina〔八

當(dāng)a的終邊在第二象限時(shí)，tana<0,sina>0,------+「~~^=-1+1t=°

tana\sma\

|tana|sina11八

當(dāng)a的終邊在第四象限時(shí)，tan6Z<0,sincr<0,-------+=-----：=-1-\=-2

tana\sina\

故選：B

TT

5.若/(x)=tan(x+—),則()

4

A./(0)>/(-1)>/(1)B./(0)>/(1)>/(-1)

C./(1)>/(0)>/(-1)D./(-1)>/(0)>/(1)

【答案】A

【分析】首先利用誘導(dǎo)公式，將自變量調(diào)整到一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再比較大小.

【詳解】/(O)=tan(?J=l,/(—l)=tan(—1+(

717171,.3萬71

/(l)=tanll+^=tan1-^—>—>----1>1------

I424442

y=tanx在區(qū)間單調(diào)遞增,

即/(o)>〃T)>〃i).

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式，化簡

/(l)=tan(l+?)=tan,—?j,這樣自變量都在區(qū)間卜搟弓)，即可利用單調(diào)性

比較大小.

6.若2弧度的圓心角所對的弦長為2,則此圓心角所夾的扇形的面積是()

111

A.——B.----zC.-；------------D.tan1

sinlsin_1sin1-cos2

【答案】B

【分析】由直角三角形的邊角關(guān)系求出人再由扇形面積公式求解即可.

【詳解】由直角三角形的邊角關(guān)系可知sinl=',即「=一匚

rsinl

此圓心角所夾的扇形的面積為5=！。，=_1乂2乂_!=_!

22sin1sin1

故選：B

jr

7.函數(shù)y=Asin(&x+e)(o>0,|^?|<-,xeR)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表

...71TC、

B.y=4sm(—x-—)

D.y=4sin(—x-F—)

【答案】A

TT

【分析】根據(jù)圖像的最值求出A,由周期求出①，可得y=4sin(?x+e),再代入特

O

殊點(diǎn)求出9,化簡即得所求.

T27r71

【詳解】由圖像知A=4，-=6-(-2)=8,T=16=——，解得<y=—,

2co8

TTTT

因?yàn)楹瘮?shù)y=4sin(dX+°)過點(diǎn)(2,-4),所以4sin(—x2+°)=—4,

88

sin(—x2+(p)——1f即—x2+夕=——+2kjr(kGZ),

34jr

解得。=——+2攵萬(ZeZ),因?yàn)閨0|<—,所以e=——，

424

...zr5TT....TTZT.

y=4sin(—x+——)=-4sin(—x+—).

8484

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.定義在R上的函數(shù)/(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若/(%)的最小正周期是兀，

且當(dāng)xw0,^時(shí)，/(x)=sinx,則/停］的值為

AA.----1-Bit.-6---C.------D1、.—1

2222

【答案】B

【詳解】分析：要求牛)，則必須用/(x)=sinx來求解，通過奇偶性和周期性,

jr

將變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間0,y上，再應(yīng)用其解析式求解

詳解：???/(X)的最小正周期是開

???/(X)是偶函數(shù)

???小)佃，倍卜佃

?.?當(dāng)xe0,y時(shí),/(x)=sinx,

、

則同”TC.兀后

=sm—=——

32

故選B

點(diǎn)睛：本題是一道關(guān)于正弦函數(shù)的題目,掌握正弦函數(shù)的周期性是解題的關(guān)鍵，考查了

函數(shù)的周期性和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

jr

9.若a>b>l,(0,—),貝!]()

A.asin0<bsin0B.abs[n0<haSin0

C.。log〃sin6<。log。sin0D.logt/sin0<loghsin0

【答案】C

【分析】根據(jù)選項(xiàng)結(jié)合y=xSin‘，y=以及y=lOgsineX的單調(diào)性比較大小，

并結(jié)合對數(shù)的換底公式，不等式的性質(zhì)比較大小.

【詳解】A.：ee(o，S|,sin(9€(o,l),y=姆"在區(qū)間(0,+巧單調(diào)遞增，當(dāng)a>Z?>l

時(shí)，4加0>/皿，故A不正確；

B.sin。一1<0,.?.丁=/11叫在區(qū)間(0,+e)單調(diào)遞減，當(dāng)。>匕>1時(shí)，

sin0Isin6>

"in%<<」，即basin0<々/nJ故B不正確；

ab

先判斷D：y=logsi“x是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)。>6>1時(shí)，logsinda<logsin""<0,即

-------r<------r<0,所以10gbsin0<logusin。<0,故D不正確.

logasin6>log7,sin。

由D可知log%sin。<log”sin。<0,那么alog^sin。<alog“sin。<0,再根據(jù)不等

式的性質(zhì)可知alog“sin。<〃log“sin。，即alog^sin。<Z?log“sin6,故C正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項(xiàng)，判斷構(gòu)造函數(shù)類型，構(gòu)造正確的函數(shù)，

后面的問題才能迎刃而解.

10.已知xG[0,k],/U)=sin(cosx)的最大值為a,最小值為b,g(x)=cos(sinx)的最大

值為c,最小值為d,貝！]()

A.b<d<a<cB.d<b<c<aC.b<d<c<aD.d<b<a<c

【答案】A

【詳解】

xG[0,句,cossinxG[0,1],sin(cosx)G[-sin1,sin1],cos(sinx)G[COS1,1]

兀

a=sinl,Z?=-sinl,c=Ld=cosl,又1>一，貝ljcosl<J<sinl

42

則b<d<a<c

11.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(x+2)當(dāng)x?3,4］時(shí)，/(x)=x-2,則

A./(sin-)</(cos-)B./(sinl)</(cosl)

c./(sin-)>/(cos-)

【答案】B

【詳解】分析：先根據(jù)/(x)=/(x+2)得周期為2,由xw[3,4]時(shí)單調(diào)性得

單調(diào)性，再根據(jù)偶函數(shù)得xe[0,l]單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性判斷選項(xiàng)正誤.

詳解：因?yàn)?(x)=/(x+2),所以“X)周期為2,

因?yàn)楫?dāng)xe[3,4]時(shí)，/(x)=x-2單調(diào)遞增，所以x目―J,0]時(shí)〃x)單調(diào)遞增,

因?yàn)榕己?力,所以九4。』時(shí)J(x)單調(diào)遞減,

因?yàn)?<sin，vcos'vl,1>sinl>cosl>0,1>

22

.冗〃八133八

sin—>cos—>0,1>sin—>cos—>0

3322

所以/[ing)>/(sinl)</(cosl),

小嗚卜(嗚)小n訃小s|),

選B.

點(diǎn)睛：利用函數(shù)性質(zhì)比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小，首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化

為單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值，最后根據(jù)單調(diào)性比較大小，要注意轉(zhuǎn)化在定義域內(nèi)進(jìn)行.

12.在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中

間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為出大正方形的面積

是1,小正方形的面積是不，則sin?8—cos?。=

【答案】C

【分析】根據(jù)題意即可算出每個直角三角形的面積，再根據(jù)勾股定理和面積關(guān)系即可算

出三角形的兩條直角邊.從而算出sin。,cos。

【詳解】由題意得直角三角形的面積0_1_25_6，設(shè)三角形的邊長分別為乂〉，則

O=-------=----

425

有

，+y2=i3424

1孫—9='=11，所以sine=￡=3,cose=￡=~所以

[2孫一2515，15

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式以及直角三角形中，正弦、余弦的計(jì)算，屬

于基礎(chǔ)題.

二、填空題

13.函數(shù)〃到=3二三+log3(x+l)的定義域是

X—1

【答案】(T1)U(1，4]

【分析】求出使解析式有意義的自變量x的范圍即可.

4-x>0

【詳解】由題意,x—lwO,解得T<x<l或1<XW4.

x+1>0

故答案為：(-1,1)U(1,4]

【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的定義域，求出使函數(shù)式有意義的自變量的取值范圍即得，掌

握對數(shù)函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

14.如圖是函數(shù)y=Asin(azx+o)+5(A>0⑷>(),|同<萬)的圖象的一部分，則函數(shù)

的解析式為____________

【分析】先得出A8的值，再由周期得出。，代入解析式求出。，進(jìn)而得

出解析式.

【詳解】由圖象容易得出A=5—3=2,3=3,T=4=%，即三=2

_818〃T

由于點(diǎn)((,1)在該函數(shù)圖象上,則l=2sin(2x?+eJ+3,即sin仁+可=-1

7T7T37r

解得一+e=---+2%4,(p=---+2Z肛kEZ

424

..3乃

(p|<7T,：,(p=----------

4

3乃

則函數(shù)的解析式為y=2sin(2x——)+3

4

3zr

故答案為：>-=2sin(2x-—)+3

4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在求。時(shí)，關(guān)鍵是將點(diǎn)(充』)代入解析式求出9.

jr1,jrjr

15.已知sin(x+—)=—,貝!Jsin(----x)+cosI2(*4——x)的值是_____.

6463

【答案*

【分析】由sin(X+?)的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos?(x+F)的值,

66

將所求式子的第一項(xiàng)中的角葛-x變形為兀-(x+2)，第二項(xiàng)中的角三-%變形為］-

(X+J),分別利用誘導(dǎo)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值.

O

兀1

【詳解】解：-%)二,

I6jI6)

11

——"4-，

416

"16

故答案為之.

【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化筒求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式，靈活變換角度是解本

題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

16.對于任意實(shí)數(shù)a,要使函數(shù)丁=5?！?一］一萬工一%0(46%*)在區(qū)間口，a+3］上的

值2出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次，又不多于8次，則％的值是.

4

【答案】2或3

【分析】由條件可知函數(shù)在區(qū)間［a,a+3］,滿足2T<3,4TN3,列式求Z的取值范圍.

【詳解】由5cos:一)》一二=得cos—7―乃工一二=：.

V36J4\3Oy4

?.?函數(shù)y=cosx在每個周期內(nèi)有2次出現(xiàn)函數(shù)值為區(qū)間［a,a+3］的長度為3,二

為了使長度為3的區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值-不少于4次且不多于8次，必須使3不小于2個

4

周期且不大于4個周期.

2x2gv34義2">337

即2女+1一，且2左+1一.解得士工女工’.

-------71-------n22

又..”eN,二%=2,3.

故答案為：2或3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)圖像的性質(zhì)，注意把函數(shù)在給定區(qū)間上的解的

個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)周期滿足的條件，此類問題屬于中檔題.

三、解答題

17.已知關(guān)于x的方程2/—(6+1)%+m=0的兩根為sin。和cos6：

(1)求機(jī)的值；

,、4l+sin，+cose+2sin6cose

(2)求-----------------------的值.

1+sin，+cos。

【答案】(1)1；(2).

22

【分析】(1)利用韋達(dá)定理表示出sin6+cos。與sin(9-cos8的值，利用同角三角函數(shù)

間的基本關(guān)系化簡即可求出m的值；

(2)由(1)求得sinO+cos。與sine-cos。的值，再代入原式求值.

【詳解】依題得：sin6+cos8=^土;sinHcos6='；

22

/.(1)(sinO+coseJ=i+2sin6-cos。

73+12

73

T

(2)由(1)知5111。+(：05。=^^^，sin^cos<9=^^>

24

1+sin+cos+2sincos3.2sincos

-------------------------=1+-------------

1+sin6+cos01+sin6+cos0

A/3

j.T.^3+l

1+市2

2

18.設(shè)函數(shù)/(x)=l+log,3,g(x)=21og、2,其中x>()且xol,試比較/(元)與

g(x)的大小.

【答案】當(dāng)彳=:時(shí)，/(x)=g(x)；當(dāng)O<X<1或x>g時(shí)，/(x)>g(x);當(dāng)1cx<：

時(shí)，y(x)<g(x)

【分析】采用作差法比較大小，按對數(shù)的底數(shù)進(jìn)行分類討論，從而判斷了(X)與g(X)

的大小.

【詳解】/(x)-g(x)=/og、.?,

x>\[0<x<l

43x

(1)當(dāng)或〈3x，即OVxVl或x>—時(shí)，/eg、.一>0,/(x)>g(x)；,

—>10<—<134

I4I4

x>l[0<x<l

43x

(2)當(dāng)｛3x或，即l〈xV—時(shí)，/。乩.一〈0,此時(shí)/(x)Vg(x)；,

0<—<1—>134

414

43元

(3)當(dāng)X=Q時(shí)，logx—=0,此時(shí)/(x)=g(x),

-4

綜上，當(dāng)OVxVl或時(shí)，/(x)>g(x)；

4

當(dāng)1VXV§時(shí)、f(x)Vg(x)；

4

當(dāng)時(shí)，/(x)=g(x)

【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查大小比較，考查對數(shù)不等式的求解，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，

解題時(shí)分類討論是關(guān)鍵.

汽

19.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+(p)(—TtVcpVO),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=一，

8

⑴求(p；

(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

3

【答案】⑴仁一不⑵單調(diào)增區(qū)間為一十我萬,一乃+左乃kwz.

88

?！ā鲐?/p>

【詳解】⑴??5=一是函數(shù)產(chǎn)危)的圖象的對稱軸，???sin(2x-+9)=±l,.?.一+勿=而

884

71

+一,kRZ.

2

3兀

(2)y=sin(2x——).

4

L冗3兀、冗

由2E——<2%——<2kji~\---,攵WZ.

242

”,、冗,371

得左兀-I----<￥<A7TH------，kSZ.

88

3兀

所以函數(shù)丫=§由(2%一一)的單調(diào)增區(qū)間為

4

ji3乃

[kn~\----,kn~\-------],kRZ.

88

l-2sinx

20.設(shè)〃x)=k)g3

l+2sinx

(1)求函數(shù)y=/(x)的定義域和值域;

(2)判斷函數(shù)y=/(x)的奇偶性;

71冗

【答案】(1)定義域?yàn)槿f一工<》<匕1+工,左,值域?yàn)镽；(2)奇函數(shù).

I66J

【分析】(1)由己知得出一g<sinx<g,解此不等式可得出函數(shù)y=/(x)的定義域,

利用對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可得出函數(shù)y=/(x)的值域；

(2)利用函數(shù)的奇偶性的定義可得出結(jié)論.

\.l-2sinxrl-2sinx2sinx-l-

【詳解】(1)對十函數(shù)〃x)=log3--------,有--------->0n,即Hrl---------<0,

'l+2sinxl+2sinx2sinx+l

Ijrrr

可得——<sinxv—,解得k/r---vx<攵%+―(ZeZ),

2266

所以，函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椤秞癡'—gcx〈癡"+5,左eZ

66

v--<sinx<-,則0vl+2sinxv2,

22

l-2sinx2-(l+2sinx)2.八

z.--------=——--------=----------1>0,所以，

l+2sinxl+2sinxl+2sinx

l-2sinx

/(x)=logsR

3l+2sinx

因此，函數(shù)y=/(x)的值域?yàn)镠；

(2)函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，理由如下:

jrJT

函數(shù)N=/(x)的定義域?yàn)閈xk7r--<x<k7r+-,k^Z\,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,

66

，/、,l-2sin(-x)l+2sinx,l-2sinxI1,l-2sinx

1(T=.l2sm(-x)=噫F元=噫

+l+2sinxIf

所以，函數(shù))=/(x)為奇函數(shù).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，步驟如下：

(1)一是看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)為非奇

非偶函數(shù)；

(2)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，接下來就是判斷了(-力與/(X)之間的關(guān)系;

(3)下結(jié)論.

n

21.已知函數(shù)/(x)=-sin2x+2asinx~~的最小值為1+4a，求實(shí)數(shù)”的值.

【答案】。=一2或。=一1+=

2

【分析】令。=85%€[—1,1],可得出了=。一。)2-/一1,然后分44—1、_]<。<1、

。之1三種情況討論，分析二次函數(shù)丫=。一。)2-。2一1在區(qū)間[-1,1]上的單調(diào)性，可求

得函數(shù)了=(，一。)2-/-1在區(qū)間［-1』上的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)4的等式，綜合

可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)y=/(x),4-?=COSXG［-1,1］,

貝ijy=-sin-x-2acosx=cosx-2〃cosx-1=廠一2。/一1=(1一a)-a-1.

(1)若Q4—l，函數(shù)丫=?-。)2-/一1在11,1］上單調(diào)遞增，

當(dāng)，=一1時(shí)，函數(shù)y=。一。『一片