相似三角形經(jīng)典題(含答案)

相似三角形經(jīng)典題(含答案)初三（下）相似三角形相似三角形經(jīng)典習(xí)題例1：從下面這些三角形中，選出相似的三角形。例2：已知如圖所示，例3：如圖所示，已知ABD∽ACE，求證：ABC∽ADE。例4：下列命題中哪些是正確的，哪些是錯誤的？（1）所有的直角三角形都相似。（2）所有的等腰三角形都相似。（3）所有的等腰直角三角形都相似。（4）所有的等邊三角形都相似。例5：如圖所示，D點(diǎn)是ABC的邊AC上的一點(diǎn)，過D點(diǎn)畫線段DE，使點(diǎn)E在ABC的邊上，并且點(diǎn)D、點(diǎn)E和ABC的一個頂點(diǎn)組成的小三角形與ABC相似。盡可能多地畫出滿足條件的圖形，并說明線段DE的畫法。例6：如圖所示，一人拿著一支刻有厘米分畫的小尺，站在距電線桿約30米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個分畫恰好遮住電線桿，已知手臂長約60厘米，求電線桿的高。例7：如圖所示，小明為了測量一高樓MN的高，在離N點(diǎn)20m的A處放了一個平面鏡，小明沿NA后退到C點(diǎn)，正好從鏡中看到樓頂M點(diǎn)，若AC1.5m，小明的眼睛離地面的高度為1.6m，請你幫助小明計(jì)算一下樓房的高度（精確到0.1m）。例8：格點(diǎn)圖中的兩個三角形是否是相似三角形，說明理由。例9：根據(jù)下列各組條件，判定ABC和ABC是否相似，并說明理由：（1）AB3.5cm,BC2.5cm,CA4cm,AB24.5cm,BC17.5cm,CA28cm。（2）A35,B104,C44,A35。（3）AB3,BC2.6,B48,AB1.5,BC1.3,B48。例10：如圖所示，下列每個圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來，并簡要說明識別的根據(jù)。ABAC,A36,BD是角平分線，例11：已知如圖所示，在ABC中，試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說明ADDCAC。例12：已知△ABC的三邊長分別為5、12、13，與其相似的△A'B'C'的最大邊長為26，求△A'B'C'的面積S。解：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得出A'B'/AB=B'C'/BC=C'A'/CA。又因?yàn)锳'B'+B'C'>AC，所以A'B'、B'C'、C'A'中最大的一條邊為C'A'，其長度為26。代入比例式可得A'B'=10，B'C'=24。根據(jù)海倫公式，可以求得△ABC的面積為30，代入相似比例式可求得△A'B'C'的面積為120。例13：在一次數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們測量旗桿的高度。小芳的測量方法是：在離旗桿27米的點(diǎn)C處豎立一根高3.5米的竹竿，然后沿BC方向走到D處，使得目測旗桿頂部A與竹竿頂部E恰好在同一直線上，且測得CD兩點(diǎn)的距離為3米，小芳的目高為1.5米。這種測量方法不可行，因?yàn)樵跍y量過程中，小芳沒有考慮到自己的視線高度和地面高度的影響，所以得出的結(jié)果不準(zhǔn)確。例14：為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點(diǎn)為D，測得BD=120米，DC=60米，EC=50米。根據(jù)勾股定理，可以得出AC的長度為150米。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得出AD/AB=AC/BC，代入已知條件可以解得AB的長度為240米。例15：為了求出海島上的山峰AB的高度，可以在D和F處樹立標(biāo)桿DC和FE，標(biāo)桿的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面內(nèi)。從標(biāo)桿DC退后123步的G處，可看到山峰A和標(biāo)桿頂端C在一直線上；從標(biāo)桿FE退后127步的H處，可看到山峰A和標(biāo)桿頂端E在一直線上。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得出AB/DC=AG/GC和AB/FE=AH/HE，代入已知條件可以解得AB的高度為720尺，BD的水平距離為2400步。例16：已知△ABC的邊AB=23，AC=2，BC邊上的高AD=3。（1）求BC的長；（2）如果有一個正方形的邊在AB上，另外兩個頂點(diǎn)分別在AC，BC上，求這個正方形的面積。解：（1）根據(jù)勾股定理，可以得出AC的長度為√(232-22)=√527。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得出AD/AB=CD/BC，代入已知條件可以解得BC的長度為46/3。（2）設(shè)正方形的邊長為x，則AB=x，AC=x/2，BC=x/2√527。根據(jù)勾股定理，可以得出AD的長度為√(232-32)=√520。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得出AD/AB=CD/BC，代入已知條件可以解得x的長度為92/3。因此，正方形的面積為(92/3)2。例4.分析：(1)不正確，因?yàn)橹苯侨切蔚膬蓚€銳角大小不確定，所以形狀不同。(2)不正確，等腰三角形的頂角大小不確定，所以形狀也不同。(3)正確。設(shè)有等腰直角三角形ABC和A’B’C’，其中∠C=∠C’=90°，則∠A=∠A’=45°，∠B=∠B’=45°。設(shè)ΔABC的三邊為a、b、c，ΔA’B’C’的邊為a’、b’、c’，則a=b,c=2a，a’=b’,c’=2a’，且a/b=a’/b’，b/c=b’/c’，∴ΔABC∽ΔA’B’C’。(4)也正確，如ΔABC與ΔA’B’C’都是等邊三角形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊都成比例，因此ΔABC∽ΔA’B’C’。答：(1)、(2)不正確，(3)、(4)正確。例5.解：略。例6.分析：本題所敘述的內(nèi)容可以畫出如下圖那樣的幾何圖形，即DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，EC=30米，從而可以求出BC的長。因?yàn)棣DF∽ΔAEC，∴DF/AF=EC/AC，又ΔACF∽ΔABC，∴EC/AC=BC/AB，∴DF/AF=BC/AB，解∠∠AE∥EC,DF//EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴ΔADF∽ΔAEC，∴DF/AF=EC/AC。又GF∥EC，BC∥EC，∴GF//BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴ΔAGF∽ΔABC，∴GF/AF=BC/AB，∴GF/DF=BC/2DF，∴GF/0.6=BC/1.2，∴BC=6米，即電線桿的高為6米。例7.分析：根據(jù)物理學(xué)定律：光線的入射角等于反射角，所以ΔBCA與ΔMNA的相似關(guān)系就明確了。解：因?yàn)锽C⊥CA，MN⊥AN，∠BAC=∠MAN，所以ΔBCA∽ΔMNA。所以MN/BC=AN/AC，即MN/1.6=20/1.5，所以MN=1.6×20÷1.5≈21.3（m）。說明這是一個實(shí)際應(yīng)用問題，方法看似簡單，其實(shí)很巧妙，省卻了使用儀器測量的麻煩。例8.分析：這兩個圖如果不是畫在格點(diǎn)中，那是無法判斷的。實(shí)際上格點(diǎn)無形中給圖形增添了條件——長度和角度。解：在格點(diǎn)中DE⊥EF，AB⊥BC，所以∠E=∠B=90°。根據(jù)題目給出的條件，可以得出DE/EF=1/2,BC/AB=2/4=1/2。因此，DE/EF=1/2=BC/AB，可以得出△DEF∽△ABC。在解題過程中，要充分發(fā)現(xiàn)題目中的各種條件，避免遺漏。根據(jù)題目給出的三角形ABC和A'B'C'的邊長關(guān)系，可以得出AB/BC=3.5/2.5=7/5,AC/BC=4/2.5=8/5,BC/CA=2.5/4=5/8，因此△ABC∽△A'B'C'。由A'B'=24.5cm,B'C'=17.5cm,C'A'=28cm可求出相似比，進(jìn)而求出△A'B'C'的兩條直角邊長，最后求得△A'B'C'的面積。在解題過程中，要注意判斷兩個三角形是否相似，以及確定對應(yīng)邊的位置。根據(jù)題目給出的角度關(guān)系，可以得出△ABC與△A'B'C'相似。在解題過程中，要注意判斷兩個三角形是否相似，以及確定對應(yīng)邊的位置。根據(jù)題目給出的角度和邊長關(guān)系，可以得出多個相似三角形。在解題過程中，要注意判斷兩個三角形是否相似，以及確定對應(yīng)邊的位置，進(jìn)而推出線段之間的比例關(guān)系。根據(jù)題目給出的角度和邊長關(guān)系，可以得出多個相似三角形。在解題過程中，要注意判斷兩個三角形是否相似，以及確定對應(yīng)邊的位置，推出線段之間的比例關(guān)系，并根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式。根據(jù)題目給出的三角形ABC和A'B'C'的邊長關(guān)系，可以得出△ABC和△A'B'C'都是直角三角形。由A'B'=26cm可求出相似比，進(jìn)而求出△A'B'C'的兩條直角邊長，最后求得△A'B'C'的面積。在解題過程中，要注意確定三角形是否為直角三角形，以及根據(jù)相似比求出對應(yīng)邊長。又因?yàn)锳B＝AC，所以BP＝PC＝1，故BC＝2．求正方形的面積，可以先求出正方形的邊長，再求面積．例13中的測量方法可行，因?yàn)槲覀兛梢岳靡阎拈L度和相似三角形的性質(zhì)求出旗桿的高．具體測量時(shí)，方法也是切實(shí)可行的．例14中，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，我們可以得到AB與CD的比值，進(jìn)而求出AB的長度為100米．例15中，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，我們可以得到AB與CD的比值，進(jìn)而求出AB的長度為1506米，以及BD的長度為30750步．同時(shí)注意到KC＝12AK，KE＝13AK．例16中，我們需要分兩種情況討論，因?yàn)辄c(diǎn)D可能在BC上，也可能在BC的延長線上．在第一種情況下，我們可以利用勾股定理求出BC的長度為4；在第二種情況下，我們可以利用AB＋AC＝BC以及勾股定理求出AB和AC的長度，從而得知△ABC是直角三角形．對于正方形的面積，我們可以利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長，再求面積．由于GH與AB平行，因此三角形CGH與三角形C