理論力學(xué)講義高等教育

理論力學(xué)講義高等教育第九章電磁場(chǎng)第1頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)9.1電磁感應(yīng)9.2互感和自感9.3隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)和麥克斯韋方程組9.4真空中的電磁場(chǎng)9.5加速運(yùn)動(dòng)電荷的場(chǎng)輻射第九章

隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)第2頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)9.1電磁感應(yīng)

我們?cè)赋觯弘妶?chǎng)是由電荷激發(fā)的，指出電場(chǎng)是有源場(chǎng)，電荷是電場(chǎng)的場(chǎng)源.

本節(jié)將指出：變化的磁場(chǎng)也要激發(fā)電場(chǎng)，我們把這種電場(chǎng)稱為感應(yīng)電場(chǎng)；感應(yīng)電場(chǎng)同樣能對(duì)電荷有作用；但它還有一些完全不同于靜電場(chǎng)的性質(zhì).9.1.1感生電動(dòng)勢(shì)第3頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)ABAE

?=??--?=,tVBAAE=

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?B有旋無源有源到此為止我們能認(rèn)識(shí)到的電磁場(chǎng)的基本特征第4頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)梯度場(chǎng)的旋度為零，

(

V)=0,B=

A磁場(chǎng)B

的變化率的負(fù)值為電場(chǎng)E

的旋度；其物理意義為：變化的磁場(chǎng)將激發(fā)有旋電場(chǎng)第5頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)定義：感生電動(dòng)勢(shì)或法拉第(M.Faraday)電磁感應(yīng)定律，負(fù)號(hào)特別稱為楞次(Э.X.Ленч)定律第一、作為通過S面上的磁通量變化率的負(fù)值第二、作為一種非靜電場(chǎng)

EK的路徑L上的積分，它表示單位正電荷沿L一周E所做的功E

：一般分成兩部分E=EK+EC第6頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)E

的無旋部分EC

對(duì)閉合回路上的積分沒有貢獻(xiàn)；或者說，EC

對(duì)感生電動(dòng)勢(shì)沒有貢獻(xiàn).

上述的積分路徑L如果恰是沿著一個(gè)閉合導(dǎo)線，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)將是這閉合導(dǎo)線產(chǎn)生感生電流.電路中的感生電動(dòng)勢(shì)是電路中的一種形式的電源電動(dòng)勢(shì)9.1.2動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)如果回路L在磁場(chǎng)B中移動(dòng)引起穿過L中的磁通量變化，這種情況下導(dǎo)線中的電荷要受到洛侖茲力作用，單位電荷所受的洛侖茲力(也稱安培力)為EK=u×Bu是導(dǎo)線元dl

的運(yùn)動(dòng)速度.洛侖茲力(安培力)是一種非靜電力EK第7頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)例半徑為R的無限長螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)變化率為k=dB/dt

，k

＞0為常量，如圖所示的是該螺線管一個(gè)截面.(1)計(jì)算管內(nèi)外的感生電場(chǎng)EK的分布；(2)計(jì)算直線ab上的感生電動(dòng)勢(shì)，ab為螺線管截面上的一個(gè)玄，玄長為l

.L2JbaOyx解：(1)由體系的柱對(duì)稱性可推斷其感應(yīng)電場(chǎng)EK應(yīng)為繞對(duì)稱軸的環(huán).

圖9-1-1是螺線管的一個(gè)截面.

在管內(nèi)取回路L1

其半徑r<R

，按照EK2

r=-kS1=-k

r2

，r<R第8頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)L2JbaOyx其方向與電流密度反向.

(2)有了EK的分布，就很容易計(jì)算上的感生電動(dòng)勢(shì)了還可以選取回路

Oab

，利用第9頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)C(a+b,c)A(a,0)B(a+b,0)

EKIyxuL例設(shè)ΔABC為直角三角形圍成回路L

，回路L與無限長恒定電流I共面，三角形有一個(gè)直角邊與長直電流I平行；以恒速u=(u,0,0)運(yùn)動(dòng)，如圖所示.

計(jì)算L中的感生電動(dòng)勢(shì).解：建立坐標(biāo)系如圖，磁場(chǎng)分布為［解法1］作為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)計(jì)算，有EK=u×B第10頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)C(a+b,c)A(a,0)B(a+b,0)

EKIyxuL［解法2］作為感生電動(dòng)勢(shì)計(jì)算：先計(jì)算t時(shí)刻穿過ΔABC的磁通量

第11頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)C(a+b,c)A(a,0)B(a+b,0)

EKIyxuL［解法2］作為感生電動(dòng)勢(shì)計(jì)算：先計(jì)算t時(shí)刻穿過ΔABC的磁通量

S為直角ΔABC的面積；斜線AC的方程為注意到u=da/dt

，于是得第12頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)例若穿過閉合導(dǎo)線所圍曲面的磁通量Φ發(fā)生變化，就會(huì)在導(dǎo)線中產(chǎn)生感生電流，導(dǎo)線的某截面上會(huì)有電荷通過.

在Δt=t2-t1時(shí)間內(nèi)通過該截面的電量q稱為感生電量.試證：

q=(Φ1-Φ2)/R.R為回路的電阻，Φ(t)為t時(shí)刻穿過回路所圍面的磁通量.解：由于積分并考慮初條件即得回路所圍面積S的中的磁通量改變

對(duì)應(yīng)了回路中的電荷遷移量

q

第13頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)9.2.1兩個(gè)回路的互感r21L1L2設(shè)兩閉合導(dǎo)線形狀和相對(duì)位置不變，如圖所示.

今在L1中通以穩(wěn)恒電流I

，則L1產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B1通過L2所圍面積S2的磁感通量為同樣地，若在L2中通以電流I

，則L2產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B2通過L1所圍面積S1的磁感通量為定義

21

M21I

；

12

M12I現(xiàn)在我們證明M21=M12=MM稱為兩回路L1和L2的互感系數(shù).第14頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)Φ21=Φ21=Φ12=同理由于r21=r12,dl1·dl2=dl2·dl1

，因此有Φ=Φ12=Φ21

或M12=M21=M

Φ=MI

若L1中的I隨時(shí)間變化，則在L2中形成的感生電動(dòng)勢(shì)為第15頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)L(a,l)(b,l)(a,0)(b,0)IOxy例

如圖所示的系統(tǒng)為一條無限長直導(dǎo)線和與之共面的一個(gè)矩形.

選無限長直電流I的方向?yàn)閥軸方向；矩形線圈與電流共面位置如圖所示.

(1)計(jì)算此系統(tǒng)的互感系數(shù)M

；(2)若電流隨時(shí)間變化的規(guī)律為k=dI/dt

，計(jì)算矩形線圈上的互感電動(dòng)勢(shì).

=解：在直導(dǎo)線上通以電流I

，則有磁感應(yīng)強(qiáng)度B為Φ=MI

方向如圖選的回路L的方向第16頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)9.2.2自感一個(gè)回路通上電流I以后，當(dāng)電流變化時(shí)，也會(huì)在自身引起感生電動(dòng)勢(shì)，稱為自感.

也有相應(yīng)的自感系數(shù)L

，定義Φ=L

I以及自感電動(dòng)勢(shì)為例計(jì)算長直螺線管的自感系數(shù).

螺線管截面為S

，長度為l

，匝數(shù)為N

.解：通以電流I

，則按照Φ=L

I

第17頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)U0LRK9.2.3磁場(chǎng)的能量如圖所示，穩(wěn)定電源的電動(dòng)勢(shì)為U0

，電阻為R

，一個(gè)理想螺線管(螺線管的電阻忽略不計(jì))的自感系數(shù)為L

與電阻串聯(lián)，K為單刀雙擲開關(guān)；開關(guān)K左擲使電路穩(wěn)定后，使左邊回路有穩(wěn)恒電流I0

；然后把K擲向右，計(jì)算電流I(t)隨時(shí)間變化.

此變化電流將引起自感電動(dòng)勢(shì)此電動(dòng)勢(shì)在右邊的回路中將作為一個(gè)電源，則有顯然t=0時(shí)，I=I0

；t→∞時(shí)I→0.

第18頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)U0LRK現(xiàn)在計(jì)算一下t從0→∞在電阻R上消耗掉的焦耳熱.瞬時(shí)消耗的焦耳功率為這應(yīng)該是t=0時(shí)在螺線管L中儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量，因?yàn)樯鲜鲞^程最后使磁場(chǎng)消失了L是上例中的長直螺線管第19頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)后兩步考慮到在螺線管中B=

0NI/l和螺線管的體積V=Sl

，則能量密度為這個(gè)結(jié)果雖然是由長直螺線管得到的，然而對(duì)于在真空中的任意的磁場(chǎng)都成立.

對(duì)于有均勻各向同性介質(zhì)(

)的情況可寫成這就是普遍適用的磁場(chǎng)能量關(guān)系式.磁場(chǎng)的能量蘊(yùn)涵在磁場(chǎng)所在的空間中；而不是在電流中.

對(duì)于脫離開場(chǎng)源的電磁場(chǎng)的磁場(chǎng)部分仍然成立.第20頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)ABAE

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?B有旋無源有源到此為止我們能認(rèn)識(shí)到的電磁場(chǎng)的基本特征第21頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)9.3隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)和麥克斯韋方程組穩(wěn)恒電流條件下的安培環(huán)路定理穩(wěn)恒的條件微分形式:穩(wěn)恒的條件非穩(wěn)恒條件下，一般條件

·(

B)=

0

·J=0

·(

B)=0此式在數(shù)學(xué)上是一個(gè)普遍嚴(yán)格成立的關(guān)系式，旋度的散度必為零矛盾第22頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)丟掉了什么東西了呢？如何補(bǔ)救呢？

·(

B)=

0

·J=0非穩(wěn)恒下面我們首先一次到位地把丟掉的東西找回來，再回過頭來研究這個(gè)問題

·(

B)=

0

·J

0

·(

B)=0在數(shù)學(xué)上這是個(gè)恒等式電荷守恒的連續(xù)性方程第23頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)

·D=

D為電位矢量，D=

E

或JD

位移電流J

自由電流全電流的環(huán)路定理微分形式積分形式第24頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)麥克斯韋(C.Maxwell)方程組D=

E

，B=

H

這是一個(gè)完整的統(tǒng)一的普遍適用的電磁學(xué)理論體系；這些方程全都具有洛侖茲不變性.麥克斯韋方程組的建立對(duì)于物理學(xué)，對(duì)于整個(gè)科學(xué)是一個(gè)具有里程碑意義的貢獻(xiàn)；這個(gè)方程組內(nèi)蘊(yùn)著狹義相對(duì)論，為狹義相對(duì)論的產(chǎn)生奠定了理論基礎(chǔ)，成為狹義相對(duì)論產(chǎn)生的必要前提.第25頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)ABAE

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?BE0=?·Bre1=?·E?=

?B有旋無源有源到此為止我們能認(rèn)識(shí)到的電磁場(chǎng)的基本特征第26頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)9.4真空中的電磁場(chǎng)本節(jié)集中討論在沒有電荷存在空間的電磁場(chǎng)，電磁場(chǎng)可以脫離其場(chǎng)源(電荷和電流)而存在、而傳播，充分顯示電磁場(chǎng)的物質(zhì)性；本節(jié)也討論，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，和傳播方式.

9.4.1電磁波我們首先討論真空中的電磁場(chǎng).

真空也稱自由空間，即

=0，J=0，

=

0

，

=

0的空間，于是麥克斯韋方程組化作設(shè)在t

時(shí)刻E=(0,E,0)即E與y無關(guān)，可寫成Ey=E(x,z,t)第27頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)Exyz(x,z,t)Ey=E(x,z,t)這表明B沒有隨時(shí)間變化的y分量，即B

E

；不妨選B的方向?yàn)閦軸，即有Bx=0,By=0，Bz=B

，或B=(0,0,B)E與z無關(guān)，即E=E(x，t)第28頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)Exyz(x,t)E=E(x，t)B

EBB=(0,0,B)B與z無關(guān)Bz=B(x,y,t)(x,y,t)B與y也無關(guān)B=B(x,t)(x,t)第29頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)Exyz(x,t)B

EB(x,t)通解為E=jE0(x)f(ct

-x)B=kB0(x)g(ct

-x)這是沿x正向傳播的波，波速為c

.

可看作如下簡諧波的疊加可以證明BEk第30頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)(1)電場(chǎng)E

、磁場(chǎng)B

和傳播方向(k

稱為波矢量，k=

/c)三者相互垂直，構(gòu)成右手系，如圖所示；這就是電磁波的橫波特性；傳播速率為常量c

，c具有不變性，這就是光速不變性綜上所述，電磁場(chǎng)在自由空間的傳播規(guī)律可以總結(jié)如下幾點(diǎn)：Exyz(x,t)B

EB(x,t)BEk(2)E

和B

的相位相同，它們的變化完全同步，同時(shí)變大同時(shí)變小，它們的大小符合關(guān)系式(3)電場(chǎng)E

和磁場(chǎng)B

相互關(guān)聯(lián)，不可分割，知道其一便知其二.第31頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)(4)電場(chǎng)E和磁場(chǎng)B

都是隨時(shí)間變化的場(chǎng)量，傳播中的電磁場(chǎng)必須是隨時(shí)空變化的，電磁場(chǎng)傳播的相因子(

t-kx)具有不變性..(5)電磁場(chǎng)可以脫離場(chǎng)源(電荷與運(yùn)動(dòng)電荷)存在和傳播，具有獨(dú)立存在的物質(zhì)性BEzyxkkEB第32頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)ExH0位移電流的假設(shè)導(dǎo)致麥克斯韋提出電磁波的預(yù)言,20年后赫茲用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的存在.

kkEB第33頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)電磁場(chǎng)的傳播遵守波動(dòng)的規(guī)律；但是這與機(jī)械波(例如聲波和水面波)的傳播不同，機(jī)械波的傳播必須在媒介物質(zhì)(介質(zhì))中進(jìn)行，機(jī)械波不能在真空中傳播.而電磁波既可以在介質(zhì)中傳播也可以在真空中傳播.

正如其他波動(dòng)一樣，電磁波不僅傳播運(yùn)動(dòng)形式(相位)，也傳播能量和動(dòng)量等物理量.

下一節(jié)我們集中討論一下:電磁波所攜帶的能量和動(dòng)量.第34頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)9.4.2電磁場(chǎng)的能量密度和能流密度矢量

我們?cè)?jīng)給出電場(chǎng)和磁場(chǎng)的能量密度這兩個(gè)公式具有普遍適用性，即它們對(duì)于變化的電磁場(chǎng)也是成立的；就我們上述電磁場(chǎng)來說，可以證明wE=wM第35頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)對(duì)于簡諧波現(xiàn)在我們定義能量流密度矢量為S

其大小｜S｜=cw=EH寫成矢量形式S=E×H能流密度矢量S也稱坡印廷(J.H.Pocynting)矢量.

總之：真空中的電磁波是橫波，S

，E

，H

三者兩兩垂直，構(gòu)成右手系；E

和B

同時(shí)變大，同時(shí)變??；電場(chǎng)的能量密度wE和磁場(chǎng)的能量密度wM相等；E

和H

關(guān)系確定，知道了E

也就知道了H

.

第36頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)9.4.3電磁場(chǎng)的動(dòng)量流矢量在此我們進(jìn)一步討論電磁場(chǎng)的物質(zhì)性.前面我們討論了電磁場(chǎng)具有能量，這能量可以離開電荷獨(dú)立存在，并且可以獨(dú)立傳播；我們進(jìn)一步指出，正象實(shí)物粒子一樣，電磁場(chǎng)也有動(dòng)量；我們?cè)谇懊嬖?jīng)指出，按照電磁場(chǎng)作為光子流的概念，在空間某區(qū)域的單色電磁場(chǎng)的能量密度和能流密度分別為w=nh

，S=wc=nh

c在相對(duì)論中我們已經(jīng)指出，光子的能量動(dòng)量關(guān)系為h

=cp能流密度和動(dòng)量流分別為S=cw=cnh

，G=nh

c很容易得到第37頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)這里我們是借助于光子流的動(dòng)量流矢量G與S共同描述電磁場(chǎng)，這是真正地直接地描述；(A

，V)和(E

，B)的描寫實(shí)際上是一些借用語言，即用單位正電荷在場(chǎng)中的行為、在場(chǎng)中的感受間接的描寫.從電磁場(chǎng)的理論上也可以嚴(yán)格的證明這一點(diǎn)，在此我們直接給出：電磁場(chǎng)的動(dòng)量流矢量為第38頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)§14.1位移電流電路如圖,安培環(huán)路定律:其中S為以L為邊界的任意曲面.

L

CS1S2電容兩極間電流中斷了嗎?

所以位移電流密度:

電流I不為零時(shí),電容充放電,兩極間電場(chǎng)就有變化.

由:和麥克斯韋提出:位移電流.

而位移電流:

如果電位移空間可變,則:

第39頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)即:關(guān)于位移電流:

(1)位移電流是變化的電場(chǎng),可以存在于一切物質(zhì)或真空中,

而傳導(dǎo)電流是導(dǎo)體中電荷的定向運(yùn)動(dòng).(2)位移電流在產(chǎn)生磁場(chǎng)方面與傳導(dǎo)電流相同.

(3)位移電流與傳導(dǎo)電流總稱全電流.

(4)全電流的環(huán)路定理:

(5)全電流的連續(xù)性方程:

第40頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)*位移電流與渦旋電場(chǎng)的假設(shè)導(dǎo)致麥克斯韋提出電磁波的預(yù)言,20年后赫茲用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的存在.

電磁波的能流密度--玻印廷矢量:

ExH0第41頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章電磁場(chǎng)電磁波譜:

第42頁，課件共48頁，創(chuàng)