矩形菱形正方形 全國(guó)一等獎(jiǎng)

第五章四邊形第五章四邊形

第24講矩形、菱形、正方形1.(2020·鹽城)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，H為BC的中點(diǎn)，AC＝6，BD＝8.則線段OH的長(zhǎng)為()A.

B.C.3D.5B2.(2020·天津)如圖，四邊形OBCD是正方形，O，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，0)，(0，6)，點(diǎn)C在第一象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A.(6，3)B.(3，6)C.(0，6)D.(6，6)D3.(2020·畢節(jié))如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點(diǎn)，連接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm，則EF的長(zhǎng)是()A.2.2

cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cmD4.(2020·襄陽(yáng))已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.OA＝OC，OB＝ODB.當(dāng)AB＝CD時(shí)，四邊形ABCD是菱形C.當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，四邊形ABCD是矩形D.當(dāng)AC＝BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形B5.(2020·菏澤)如果順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，那么原來(lái)四邊形的對(duì)角線一定滿足的條件是()A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分C6.(2020·湖州)四邊形具有不穩(wěn)定性，對(duì)于四條邊長(zhǎng)確定的四邊形.當(dāng)內(nèi)角度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其形狀也會(huì)隨之改變.如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC′D′.若∠D′AB＝30°，則菱形ABC′D′的面積與正方形ABCD的面積之比是()A.1B.C.

D.B7.(2020·嘉興)如圖，□ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：

_________________________，使□ABCD是菱形.AD＝DC(答案不唯一)8.(2020·營(yíng)口)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，其中OA＝1，OB＝2，則菱形ABCD的面積為_(kāi)____.49.(2020·蘇州)數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書(shū)中闡述了坐標(biāo)幾何的思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東西，互相以長(zhǎng)補(bǔ)短.在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使得邊AB在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________.10.如圖，在矩形ABCD中，AB∶BC＝3∶5，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與邊AD交于點(diǎn)E，則的值為_(kāi)________.411.(2020·常州)如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝2BC，分別以AC，BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE，BCFG，連接EC，EG，則tan∠CEG＝________.12.(2020·湘西)如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連接BE，CE.(1)求證：△BAE≌△CDE；證明：∵△ADE為等邊三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°.在△BAE和△CDE中，AE＝DE，(∠EAB＝∴△BAE≌△CDE(SAS)．(2)求∠AEB的度數(shù).解：∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∵∠EAB＝150°，∴∠ABE＝2(1)×(180°－150°)＝15°.13.(2020·連云港)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線BD的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點(diǎn)M，N.(1)求證：四邊形BNDM是菱形；證明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.∵M(jìn)N是對(duì)角線BD的垂直平分線，∴OB＝OD，MN⊥BD.在△MOD和△NOB中，OD＝OB，(∠MOD＝∴△MOD≌△NOB(AAS)，∴OM＝ON.∵OB＝OD，∴四邊形BNDM是平行四邊形．∵M(jìn)N⊥BD，∴四邊形BNDM是菱形．(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周長(zhǎng).解：∵四邊形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝2(1)BD＝12，OM＝2(1)MN＝5.在Rt△BOM中，由勾股定理，得BM＝∴菱形BNDM的周長(zhǎng)＝4BM＝4×13＝52.14.(2020·寧夏)如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13，對(duì)角線AC＝24，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，則EG的長(zhǎng)為()A.13B.10C.12D.5B15.(2020·泰安)如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)N，連接FN，EM.則下列結(jié)論：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④當(dāng)AO＝AD時(shí)，四邊形DEBF是菱形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)D16.(2020·菏澤)如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，且BP＝BA，連接AP并延長(zhǎng)，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接BQ，則BQ的長(zhǎng)為_(kāi)________.17.(2019·青島)如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，將正方形紙片折疊，點(diǎn)B落在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF.若AD＝4

cm，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)_____________cm.18.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB，AC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)G，連接AG，交邊BC于點(diǎn)E，則△AEC的面積為_(kāi)_________.1519.如圖，已知AB＝2a，P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP，PB為邊，在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE.點(diǎn)P，C，E在一條直線上，∠DAP＝60°，M，N分別是對(duì)角線AC，BE的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M，N之間的距離最短為_(kāi)_______.20.(2019·天門(mén))如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CB，DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE＝CF.過(guò)點(diǎn)E作EG∥BF，交正方形外角的平分線CG于點(diǎn)G，連接GF.求證：(1)AE⊥BF；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF.∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG.∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CEG＋∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴AE⊥BF.(2)四邊形BEGF是平行四邊形.證明：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P，使BP＝BE.連接EP，則AP＝CE，∠P＝45°.∵CG為正方形ABCD外角的平分線，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG.由(1)得∠BAE＝∠CEG.在△APE和△ECG中，∴△APE≌ECG(ASA)，∴AE＝EG.∵AE＝BF，∴EG＝BF.∵EG∥BF，∴四邊形BEGF是平行四邊形．21.(2020·黑龍江)以Rt△ABC的兩邊AB，AC為邊，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MA交EG于點(diǎn)N.(1)如圖1，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易證：EN＝GN；(2)如圖2，∠BAC＝90°；如圖3，∠BAC≠90°，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，選擇一個(gè)圖形進(jìn)行證明；若不成立，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.解：(1)中的結(jié)論成立．選擇圖2證明如下：過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AN交AN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥AM于點(diǎn)Q.∵四邊形ABDE是正方形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠EAP＋∠BAM＝180°－90°＝90°.∵