2020-2021學(xué)年上海市靜安區(qū)建青中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(附答案詳解)

2020-2021學(xué)年上海市靜安區(qū)建青中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共4小題，共12.0分）

1.已知。=：兀，則角a的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.函數(shù)y=2的（2》+》是（）

A.周期為兀的偶函數(shù)B.周期為2元的偶函數(shù)

C.周期為兀的奇函數(shù)D.周期為2兀的奇函數(shù).

3.若集合力={0,7n2},B={1,2],則=1”是“4UB={0,1,2}”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

4.在AABC中，已知a-b=ccosB-ccosA,則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰或直角三角形

二、單空題（本大題共12小題，共36.0分）

5.與-2014。終邊相同的最小正角是.

6.一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)為4R,則這個(gè)扇形所含弓形的面積為.

7.已知sina=€（巴,兀）.

⑴求cosa及tcma；

求2cos（6+a）+cosga）

''sin（~a）+3sin（7r+a）*

8.求值：s加870。=.

9.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一3,4）,貝!!siriQ+cosa=.

10.已知上三=3則上陋=____.

sina-l2cosa

11.已知sina=I，且a是第一象限角，則tan（a+》=.

12.15.84BC中，角5、3、C所對(duì)的邊分別為a、5、C，下列命題正確的是（寫出正確

命題的編號(hào)）.

①若2L4BC最小內(nèi)角為&,則cosa之；；

②若工sin3>Bsin<，則

③存在某鈍角&4BC，有tanR+tanB+tanC>0；

_______7r

④若2a能+50+c9=6>則山4BC的最小角小于1；

0

⑤若以《彷(0<￡工1),則

13.若sin(g—a)=白貝ijcos(g+a)=

o133

TT

14.△ABC中，AB=5,AC=8,A=-,貝ijBC=.

15.銳角三角形ABC中，sin(2+B)=:,sin(X-B)=1,設(shè)4B=3,則4B邊上的高為.

16.已知函數(shù)/⑴=獷竺弁)若方程/(%)=m有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由小到大依次為卬

(1%LjfX>3

X29x3,x4f則4%1+%2+%3+%4的取值范圍是.

三、解答題(本大題共5小題，共52.0分)

17.(1)計(jì)算：恒22+句205+05；

⑵件第.一sin(7r+a)+sin(—a)—tan(2zr+a)

()3?tan(a+7r)+cos(-a)+cos(7T-a)'

18.已知函數(shù)/(I)=\/3sini4；xco6(4；x4-sin2u；x--(u；I)I.

(1)若/(%)圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于今求3的取值范圍；

⑵若/(x)的最小正周期為“，皤)=|，求坦—a)的值.

19.已知s譏a=|,cosp=-l，a€?,〃)，0是第三象限角.

(1)求cos2a的值；

(2)求cos(a+/?)的值.

20.如圖，相距版海里修為正常數(shù)巾的/、B兩地分別有救援4船和B船.在接到求救信息后，A、

B都能立即出發(fā)，其中4、B兩船的航速分別是如海里/小時(shí)、1海里/小時(shí).

⑴求在同時(shí)收到求救信息后，4、B兩船能同時(shí)到達(dá)的點(diǎn)的軌跡C所圍成的區(qū)域的面積；

據(jù)

(2)若在4地北偏東哪方向，距4地營(yíng)貿(mào)海里處的遍點(diǎn)有一艘遇險(xiǎn)船正以tl白海里/小時(shí)的速度

*f,V

向正北方向漂移.

①應(yīng)派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多長(zhǎng)時(shí)間才能與遇險(xiǎn)船相遇？

21.函數(shù)/'(x)=照是定義在(—3,3)上的奇函數(shù)，且/(1)=:

(1)求/(X)的解析式；

(2)判斷并證明f(x)的單調(diào)性；

(3)解不等式f(t-1)+r(t)<0.

參考答案及解析

1.答案：C

解析：解：由于a=9兀=2兀一?，則角a的終邊所在的象限與一9的終邊相同，而一?的終邊在第

OOOO

三象限，

故角a的終邊所在的象限是第三象限，

故選：C.

由于a=：兀=2n一?，則角a的終邊所在的象限與―?的終邊相同，而一?的終邊在第三象限，從

OOOO

而得出結(jié)論.

本題主要考查終邊相同的角的定義和表示方法，象限角的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：解：函數(shù)的周期7=半=7T,

y=2cos(2x+])=-2sin2x,為奇函數(shù)，

故選：C.

根據(jù)三角函數(shù)的周期公式即可得到結(jié)論.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比較基礎(chǔ).

3.答案：B

解析：

本題主要考查的是并集及其運(yùn)算，考查充分條件和必要條件，是基礎(chǔ)題.

由集合的運(yùn)算分別判斷充分性和必要性是否成立，即可得解.

解：當(dāng)巾=1時(shí)，/I={0,1},B={1,2},

所以4UB={0,1,2},

即巾=1能推出力UB={0,l,2},充分性成立；

反之當(dāng)4UB={0,1,2}時(shí)，

m2=1或m2=2,

所以m=±1或±

所以4UB={0,1,2}成立，推不出m=1,必要性不成立，

故“m=1”是"AUB={0,1,2}”的充分不必要條件，

故選艮

4.答案：D

解析：解：將cosA=?+/-?,cosB=M+cZ-/代入已知等式得:

2bc2ac

,a2+c2-b2b2+c2-a2

a—b=c---------------c--------------,

2ac2bc

整理得：貯1匕4=貯1匕，

ab

當(dāng)口2+人2一?2=o,即a2+b2=c2時(shí)，△ABC為直角三角形；

當(dāng)a2+b2-c2*0時(shí)，得到a=b,△4BC為等腰三角形，

則4ABC為等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

利用余弦定理表示出cos/1與cosB,代入已知等式，整理后即可確定出三角形形狀.

此題考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬

于中檔題.

5.答案：146°

解析：

本題考查終邊相同的角的概念，終邊相同的兩個(gè)角相差360。的整數(shù)倍.

先化簡(jiǎn)一2014。為360。的整數(shù)倍加上一個(gè)［0。,360。)的角，再說(shuō)明在［0。,360。)上，只有146。與-2014。終

邊相同.

解：v-2014°=-6x360°+146°,

二146。與-2014。終邊相同，又終邊相同的兩個(gè)角相差360。的整數(shù)倍，

.?.在［0°,360。)上，只有146。與一2014。終邊相同，

.?.與-2014。終邊相同的最小正角是146。，

故答案為146。.

6.答案：(l-|sin2)/?2

解析：解：一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)為4R,所以弧長(zhǎng)是：2R,圓心角是：2；扇形的面積是:

2

|x2/?x/?=R2三角形的面積是：|x/??Rsin2=1/?sin2；

所以這個(gè)扇形所含弓形的面積為：(l-|sin2)/?2.

故答案為：（1一］譏2）產(chǎn)

通過(guò)扇形的周長(zhǎng)，求出扇形的弧長(zhǎng)以及圓心角，然后求出扇形的面積，三角形的面積，即可得到這

個(gè)扇形所含弓形的面積.

本題是基礎(chǔ)題，考查扇形面積的求法，弓形面積的求法，考查計(jì)算能力，計(jì)算量比較小，送分題.

7.答案：解：（1）?.?sina=卓，a€

???cosa=—V1—sin2a=—tana——2；

（2）vtana=-2,

.原式_-2sina-cosa_-2tana-l_4-1_3

、cosa-3sina1-3tana1+67*

解析：（1）由sina的值及a的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosa的值，進(jìn)而求出tana的

值；

（2）原式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，把tana的值代入計(jì)算即可求出

值.

此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

8.答案：!

解析：解：sin870°=sin（720°+150°）=sinl50°=sin30°=

故答案為：

直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

9.答案：I

解析：解：???角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一3,4）,

?*-x=-3,y=4,V=yjx24-y2=5

.43

:.sina=g,cosa=--

431

???sina+cosa=---=-

故答案為：!

利用三角函數(shù)的定義，求出sina、cosa,即可得到結(jié)論.

本題考查三角函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案:W

解析：解「?黑T.

：?2cosa=sina—1,

兩邊平方，得4cos2戊=sin2a-2sina+1,

HP4（1—sin2a）=sin2a—2sina+1,

整理，得5sin2a_2sina-3=0,

o

解得si7ia=-『sina=1（舍去）；

vsina-1<0,

???cosa<0,

4

???cosa=-

.l+sintr_1+（-1）_1

?,=4=一二.

cosa--2

故答案為：一

由*7=?以及同角的平方關(guān)系，求出sina、cosa的值，計(jì)算上四上即可.

sma-l2cosa

本題考查了同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

11.答案：7

解析：解：因?yàn)閟ina=g,且a是第一象限角，

所以tana=p

4

tana+tan--+1

所以tan(a+$4-4=7.

1-tanatan4^一口4

故答案為：7.

先由三角函數(shù)的定義得出tana=：,再利用兩角和的正切公式，得解.

4

本題考查兩角和的正切公式，三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：①④⑤.

解析：

解；①若cosa"貝ljo〈a玄經(jīng)，若△ABC為直角三角形，則必有一內(nèi)角在(0,若為銳角△ABC,則必

等于女，若為鈍角三角形ABC，則必有一個(gè)內(nèi)角小于詈，故總存在某內(nèi)角a,使cosa三專；故①正確；

②設(shè)函數(shù)f(x)='散(0<x<x),則導(dǎo)致f'(x)=xcosx-sinx；若手工乂<n，則f'(x)<0,又Asii

s^B〉si?A今BVA，若0<x<4，則由于tanx>x,故f'(x)<0,即有BVA,故②不正確；

BA2

③在斜三角形中，由tan(A+B)=1anAttang二一七領(lǐng)口得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,由于■tanA+tanB+tanC：

1-tanAtanB

tanAtanBtanOO,即A,B,C均為銳角，故③不正確；

④若2a靛+b^+c彘=j，即2a(瞪-AB)-b就+c彘=&即(2a-b)正二(2a-c)還，由于迷彘不共線，故2

2a=b=c,由余弦定理得，cosA二b2戈-a2=二率,故最小角小于白，故⑷正確；

2bc8^26

⑤若aVtb(OVtWl),則由正弦定理得，sinA<tsinB,令f(x)=tsinx-sin(tx)?則f'(x)=tcosx_tcos(

<x<兀，貝Ijcos(tx)>cosx,即f'(x)<0,tsinx<sin(tx)即tsinB<sin(tB)，故有sinAVsin(tB),

sinA-tB<0,故有AVtB,故⑤正確.

故答案為：①④⑤

13.答案：得

解析：解：喂-a+g+a=T，

OOZ

.,?COS?+a)=sin(,-a)=^-

故答案為：得.

直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.

本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

14.答案：7

解析：解：△ABC中，AB=5,AC=8,4=或

利用余弦定理Bf?2=AC2+AB2-2AC-AB-cosA,

整理得B(72=25+64-2?5?8?：=49,

解得BC=7.

故答案為：7

直接利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查了余弦定理，是基礎(chǔ)題.

15.答案:2+V6

解析：解：銳角△ABC中，sin(4+B)=g,sin(4—B)=g,

???sinAcosB+cosAsinB=g…①

sinAcosB—cosAsinB=：…②，

21

:.sinAcosB=cosAsinB=

tanA=2tanB.

?J5V4+BVTi,sin(7l+B)——????cos(/4+B)———,tan(71+B)———,

即九),將“幾4=代入上式并整理得2儻*8-4tanB-1=0,

1—tanAtanB

解得的昨竽

.?.B為銳角,

???tanB=——,AtanA—2tanB=2+V6.

2

設(shè)48上的高為CO,則4B=4D+DB=同，由4B=3得CD=2+乃，

tanA

故48邊上的高為2+n.

故答案為：2+V6.

把角放在銳角三角形中，使一些運(yùn)算簡(jiǎn)單起來(lái)，本題主要考查兩角和與差的正弦公式，根據(jù)分解后

的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，解方程組，做比得到結(jié)論，同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，換元解方程在直角三角形中，

用定義求的結(jié)果

以銳角三角形為載體，應(yīng)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，應(yīng)用兩角和與差的正弦公式，求解過(guò)程中應(yīng)

用代數(shù)方法解題，構(gòu)造直角三角形用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題，這種問(wèn)題做起來(lái)有一定難度.

16.答案：［12,13)

解析：解：作函數(shù)/(%)=嚴(yán)竺黑的圖象如下，

24

由題意知，

%!%2=1，%3+%4=8；

4%i+x2>2V4=4,

(當(dāng)且僅當(dāng)4與=%2?即4/=&=2時(shí),等號(hào)成立)；

故4%1+%2+%3+%4N12,

且4rl+上+%3+%4V13;

故答案為：[12,13).

作函數(shù)“X)=雪!3翼:3的圖象，從而可得22=1，X3+肛=8；從而由基本不等式確定

的取值范圍.

本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.答案:解：(l)lg22+Ig2lg5+lg5=Ig2(lg2+IgS)4-lg5=lg2+lg5=1；

(2)”式_sina-sina-tana_tana_1

')'、tana+cosa-cosatana

解析：(1)由lg2+IgS=IglO=1即可化簡(jiǎn)求值.

(2)由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后即可求值.

本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，誘導(dǎo)公式在化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.答案：解：/(%)=yl3sina)xcosa>x+sin2a)x—|=^-sin2a)x—|cos2o)x=sin(2a)x—^).

(1)由題意知3=卷2[3W1，又3>0,二0<3W1;

(2)?；7=￡=兀，[3=1,

故/(x)=sin(2x-?,

O

f(g=sin(a

COS(2a-^)=1-2sin2(a-

/(7-?)=sin年-2a)=sin碎-(2a-1)]=看

解析：利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，

(1)求出函數(shù)的周期的范圍，即可求解3的取值范圍.

(2)f(x)的最小正周期為兀，求出3,通過(guò)/G)=3推出sin(a—￡)=g化簡(jiǎn)一a)然后利用二倍

N5o5N

角公式求出所求表達(dá)式的值.

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是中檔題.

19.答案：解：(l)cos2a=1-2sin2a=1-2xga

(2)vsina=cos夕=aG(p?r),口是第三象限角，

:.cosa=-V1—sin2cr=一爭(zhēng)sin。=-^/l-cos2^=-=，

:.cos(a+0)=cosacosfi-sinasin^=(—y)x(一,)一|x(一，)=.

解析：(1)由二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)后代入已知即可求值.

(2)由同角三角函數(shù)關(guān)系先求得cosa,sin/?的值，由兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后即可求值.

本題主要考查了二倍角的余弦公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.答案:(1)Q奪海=等"；

,飛鋤

(2)①應(yīng)派4船前往救援；

②聰同屆小時(shí)。

解析：(1)以4B的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，48所在的直線為墀軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，

:#翩=微￥,二顓|-徵演*,邈蝴加,

設(shè)所求軌跡c上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為,睇%:趙，則手■=!-,即也d忱=城*這，

^部黎

化簡(jiǎn)整理得.軌跡C所圍成的區(qū)域的面積為目尊道跺,=李十；

(2)①由已知可求得蒯gg黑喀疑，顯然點(diǎn)糜在軌跡C的外面，同時(shí)當(dāng)瓢f點(diǎn)向正北方向漂移

時(shí)，這條射線上的點(diǎn)也始終在軌跡C的外面，設(shè)黜!叫擬為其射線上的任意一點(diǎn)，

則吟寫蠟*/>1浮域，也就是叵正正丘更2,即鬻唱等，

裝用黎