二次函數(shù)圖像與系數(shù)關(guān)系(含答案)

二次函數(shù)圖像與系數(shù)關(guān)系(含答案)學(xué)習(xí)必備，歡迎下載。二次函數(shù)圖像與系數(shù)關(guān)系一、選擇題（共9小題）1.（2013·義烏市）如圖，拋物線$y=ax^2+bx+c$與$x$軸交于點(diǎn)$A(\-1,0)$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,n)$，與$y$軸的交點(diǎn)在$(0,2)$、$(0,3)$之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①當(dāng)$x>3$時(shí)，$y<0$；②$3a+b<0$；③$-1\leqa\leq0$；④$3\leqn\leq4$中，正確的是（）。A.①②③④B.①④①③C.②③④①D.①③考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系。分析：①由拋物線的對(duì)稱軸為直線$x=1$，一個(gè)交點(diǎn)$A(\-1,0)$，得到另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象即可對(duì)于選項(xiàng)①作出判斷；②根據(jù)拋物線開(kāi)口方向判定$a$的符號(hào)，由對(duì)稱軸方程求得$b$與$a$的關(guān)系是$b=\-2a$，將其代入$(3a+b)$，并判定其符號(hào)；③根據(jù)兩根之積$=\-3$，得到$a=\-1$，然后根據(jù)$c$的取值范圍利用不等式的性質(zhì)來(lái)求$a$的取值范圍；④把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到$n=a+b+c=c$，利用$c$的取值范圍可以求得$n$的取值范圍。解答：①因?yàn)閽佄锞€$y=ax^2+bx+c$與$x$軸交于點(diǎn)$A(\-1,0)$，對(duì)稱軸直線是$x=\-1$，所以該拋物線與$x$軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是$(3,0)$，根據(jù)圖示知，當(dāng)$x>3$時(shí)，$y<0$。故①正確；②根據(jù)圖示知，拋物線開(kāi)口方向向下，則$a<0$。因?yàn)閷?duì)稱軸$x=\-1$，所以$b=\-2a$，所以$3a+b=3a-\-2a=a>0$，即$3a+b>0$。故②錯(cuò)誤；③因?yàn)閽佄锞€與$x$軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是$(\-1,0)$，$(3,0)$，所以$\-1\times3=\-3$，所以$a=\-1$。因?yàn)閽佄锞€與$y$軸的交點(diǎn)在$(0,2)$、$(0,3)$之間（包含端點(diǎn)），所以$2\leqc\leq3$，所以$\-1\leqa\leq0$。故③正確；④根據(jù)題意知，$a=\-1$，$b=\-2a=2$，$n=a+b+c=c$。因?yàn)?2\leqc\leq3$，所以$2\leqn\leq4$，即$2\leqn\leq4$。故④錯(cuò)誤。綜上所述，正確的說(shuō)法有①③。故選D。點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系。二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、拋物線與$y$軸的交點(diǎn)拋物線與$x$軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定。學(xué)習(xí)必備，歡迎下載。由拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，可以判斷a、b異號(hào)，即ab＜，故①正確；由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得到b2﹣4ac＞0，又拋物線過(guò)點(diǎn)（，1），得出c=1，由此判斷b2＞4a，故②正確；由拋物線過(guò)點(diǎn)（﹣1，），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜得出b＜1；由a＜，及ab＜，得出b＞0，即0＜b＜1，故④正確；由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0，又因?yàn)閍＜0，c=1，所以a+b+c＜a+1+1＜2，故③正確；由圖象可知，當(dāng)自變量x的取值范圍在一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根之間時(shí)，函數(shù)值y最小，即當(dāng)x＜﹣1或x＞1時(shí)，y＞1，故⑤錯(cuò)誤；故選B．①因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，所以對(duì)稱軸的方程為$x=-\frac{2a}$，即$b<0$，所以$ab<0$，正確。②因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以$b^2-4ac>0$，代入$c=1$，得$b^2-4a>0$，即$b^2>4a$，正確。③由$a-b+c=0$，可得$a+c=b$，又因?yàn)?b<1$，$c=1$，所以$a<0$，所以$a+b+c=a+b+1<b+2<0+2=2$，即$0<a+b+c<2$，正確。④因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下，所以$a<0$，又因?yàn)?ab<0$，所以$b>0$，又因?yàn)?a-b+c=0$，$c=1$，所以$a=b-1$，代入$a<0$，得$b-1<0$，即$b<1$，所以$0<b<1$，正確。⑤拋物線與x軸的交點(diǎn)為$(-1,a+b+c)$和$(x,0)$，因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下，所以$a<0$，所以$-1<a+b+c<0$，而當(dāng)$x>0$時(shí)，$0<a(x)^2+b(x)+c=a(x-x)(x+1)+a+b+c\leqa+b+c<-1$，所以錯(cuò)誤。綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④，故選B。為x=-1和x=1時(shí)的函數(shù)值，可以得到2c＞3b；最后，根據(jù)給定條件，可以推導(dǎo)出a＞1，即a+b＞m(am+b)，因此①和⑤正確，其他結(jié)論錯(cuò)誤，答案為A．解析：本題考查二次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系，需要根據(jù)圖象的特征來(lái)判斷系數(shù)的符號(hào)，例如開(kāi)口方向、對(duì)稱軸位置、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等．同時(shí)，還需要利用對(duì)稱性和函數(shù)值的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出一些結(jié)論，例如③和④．最后，需要根據(jù)給定的條件來(lái)判斷是否成立，例如⑤．綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)，可以解答出本題．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，則m+n＜-2；④3|a|+|c|＜2|b|。其中正確的所有結(jié)論序號(hào)是①③④。解析：首先確定二次函數(shù)的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸位置，得到a和b的符號(hào)。由于圖象與y軸交于負(fù)半軸，因此c的符號(hào)為負(fù)。根據(jù)特殊值法，分別取x=0，x=1，x=2得到三個(gè)方程，解得b和c，進(jìn)而得到二次函數(shù)的解析式。然后根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)的條件，帶入解析式，驗(yàn)證其是否成立即可。①2a+b＞0：由于二次函數(shù)開(kāi)口向下，所以a＜0，因此2a＜0。又因?yàn)閷?duì)稱軸位置為x=-b/2a，即b/2a＜0，所以b＜0。因此2a+b＞0，選項(xiàng)①正確。②b＞a＞c：根據(jù)解析式，b=1-2a，c=-a。因此b＞a，即1-2a＞a，解得a＜1/3。又因?yàn)閳D象與y軸交于負(fù)半軸，所以c＜0，即-a＞0，解得a＞0。因此，a＜1/3＜-a，即a＞c。綜上，b＞a＞c，選項(xiàng)②錯(cuò)誤。③若-1＜m＜n＜1，則m+n＜-2：根據(jù)對(duì)稱軸的位置，得到對(duì)稱軸方程為x=-b/2a，即b/2a＞1。又因?yàn)?1＜m＜n＜1，所以-2＜m+n＜2。因此，將m+n代入對(duì)稱軸方程，得到m+n＜-2，選項(xiàng)③正確。④3|a|+|c|＜2|b|：由于二次函數(shù)開(kāi)口向下，所以a＜0。因此|a|=-a。又因?yàn)閏＜0，所以|c|