2022-2023學年海南省屯昌中學高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合，，則()

A.B.C.D.

2.是()

A.B.C.D.

3.已知向量，，若，則實數(shù)()

A.B.C.D.

4.命題：“”，命題：“”，則是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.已知，則()

A.B.C.D.

6.如圖所示，中，點是線段的中點，是線段的靠近的三等分點，則()

A.

B.

C.

D.

7.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是()

A.B.C.D.

8.湖北省第十六屆運動會將于年月在宜昌舉行，為了方便宜昌市民觀看，夷陵廣場大屏幕屆時會滾動直播賽事，已知大屏幕下端離地面米，大屏幕高米，若某位觀眾眼睛離地面米，則這位觀眾在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知，則下列計算正確的有()

A.B.C.D.

10.下列與平面向量相關(guān)的結(jié)論正確的是()

A.在四邊形中，若，則該四邊形為平行四邊形

B.對任意一個等邊，都成立

C.對于非零向量，，成立的充要條件是，方向相同

D.對于非零向量，，成立的充要條件是，方向相同

11.下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是()

A.函數(shù)的圖象是通過把的圖象向右平移個單位長度得到的

B.函數(shù)的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為

C.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱

D.若函數(shù)為偶函數(shù)，則的絕對值最小為

12.若，滿足，則()

A.B.C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.的值為______．

14.已知函數(shù)，則______．

15.設(shè)為單位向量，且，則______________．

16.在中，由以下各個條件分別能得出為等邊三角形的有：______．

已知且；

已知且；

已知且；

已知且．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知向量．

若，求．

若，且，求的坐標．

18.本小題分

如圖所示，已知在正方形中，，分別是邊，的中點，與交于點．

設(shè)，，用，表示，；

猜想與的位置關(guān)系，寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想．

19.本小題分

已知函數(shù)，其中，．

將化簡成的形式；

求使取得最大值的自變量的集合．

20.本小題分

在中，已知角，，．

求角；

求的面積．

21.本小題分

已知函數(shù)為奇函數(shù)．

求的定義域和的值；

證明：是的充要條件；

直接寫出的單調(diào)區(qū)間和值域．

22.本小題分

已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

求函數(shù)的解析式；

在中，為銳角且，，猜想的形狀并證明．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，

．

故選：．

進行交集的運算即可．

本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】

【分析】

利用誘導公式把要求的式子化為，從而求得結(jié)果．

本題主要考查應用誘導公式化簡三角函數(shù)式，要特別注意符號的選取，這是解題的易錯點，屬于基礎(chǔ)題．

【解答】

解：，

故選：．

3.【答案】

【解析】解：因為向量，，

若，則，

解得．

故選：．

由兩向量垂直，數(shù)量積為，求得的值．

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積的坐標運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：不等式，解得：，

因為，

所以是的充分不必要條件．

故選：．

首先求解不等式的解集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可判斷選項．

本題主要考查充分必要條件的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：．

故選：．

利用二倍角公式化簡，用表示，即可求解．

本題考查了二倍角公式化簡與計算問題，是基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：由題意可得：，，，，

，

故選：．

利用向量共線定理、三角形法則即可得出結(jié)論．

本題考查了向量三角形法則、向量共線定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：函數(shù)是連續(xù)單調(diào)減函數(shù)，

，，

．

在零點在內(nèi)，

故選：．

分別將，，代入函數(shù)的表達式，通過判斷其符號的正負，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

本題考查了函數(shù)零點的判定定理，是一道基礎(chǔ)題，注意指數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性的應用．

8.【答案】

【解析】解：如圖所示：

由題意知：，，

設(shè)，則，，

，

當且僅法，即時取等號，，

當時，可以獲得觀看的最佳視野．

故選：．

設(shè)，表示出，，利用兩角和差正切公式，結(jié)合基本不等式可確定當時，取得最大值，由此可得結(jié)論．

本題考查解三角形在實際生活中的應用，屬中檔題．

9.【答案】

【解析】解：因為，所以，故A正確；

則，且，所以，故B正確；

，故C正確；

，故D錯誤．

故選：．

根據(jù)指對互化，得，再根據(jù)指數(shù)運算判斷其他選項．

本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化及指數(shù)冪的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于，若，則且，所以四邊形為平行四邊形，故A正確；

對于，對任意一個等邊，三個向量的方向不相同，故不成立，B錯誤；

對于因為，所以，

若，則，則或，即，方向相同或相反，

反之，，方向相同，則，即，

所以應是充分不必要條件，故C錯誤；

對于對于非零向量，，若，則，方向相同，

反之，由向量的加法，若，方向相同，則有，

故成立的充要條件是，方向相同，故D正確．

故選：．

根據(jù)題意，根據(jù)向量相等的定義，以及向量數(shù)量積的公式，依次分析選項是否正確，綜合可得答案．

本題考查平面向量的性質(zhì)以及應用，涉及平面向量的相等和模等概念，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：對于，把的圖象向右平移個單位長度得到，錯誤；

對于，函數(shù)的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為，正確；

對于，令得，所以函數(shù)的對稱中心為，

當時，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，正確；

對于，，若函數(shù)為偶函數(shù)，

則，所以，當時，，

當時，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，則的絕對值最小為，正確．

故選：．

根據(jù)平移變換法則判斷，根據(jù)函數(shù)的周期判斷，根據(jù)對稱中心結(jié)論判斷，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)判斷．

本題主要考查函數(shù)的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：因為，由可變形為，

，解得，當且僅當時，，

當且僅當時，，故A正確，B錯誤；

因為變形可得，

設(shè)，所以，

因此

，所以當時，即時，

此時，，取到最大值，故C錯誤．

由可變形為，解得，

當且僅當時取等號，故D正確．

故選：．

根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假，其中選項，利用三角換元及三角恒等變換進行求解．

本題主要考查了基本不等式及三角函數(shù)的性質(zhì)在最值求解中的應用，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：

．

故答案為：．

利用兩角差的正弦公式化簡即可求解．

本題主要考查了兩角差的正弦公式在三角函數(shù)求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)，

則，

所以．

故答案為：．

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式先求出，進而計算可得答案．

本題考查函數(shù)值的計算，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查向量的模的求法，數(shù)量積的應用，考查計算能力，屬于較易題．

直接利用向量的模的平方，結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化求解即可．

【解答】

解：，為單位向量，且，

，

可得，

，

所以，

則．

故答案為：．

16.【答案】

【解析】解：對于，因為，且，所以，

由余弦定理得，，

又，所以，

整理得，即，

所以，

故為等邊三角形；

對于，因為，，所以或，

當時，由，知，所以為等邊三角形；

當時，由，知為等腰三角形，

綜上，條件不能推出為等邊三角形；

對于，因為且，

所以，

整理得，即，

又，所以，

故為等邊三角形；

對于，由正弦定理及，得，

所以，

所以或，即或，

當時，由，知，所以為等邊三角形；

當時，由，知，，所以為直角三角形，

綜上，條件不能推出為等邊三角形．

故答案為：．

先由三角形內(nèi)角和定理求得角，再根據(jù)余弦定理，推出，得解；利用正弦值求角，再分兩種情況討論，得解；利用邊的關(guān)系及完全平方式，化簡運算可得解；利用正弦定理化邊為角，再由二倍角公式，可得或，分類討論，得解．

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：因為向量，，

所以；

設(shè)，

因為，且，

所以，

所以或，

所以或．

【解析】直接利用向量的線性坐標運算計算即可；

設(shè)出向量的坐標，利用模的坐標公式及共線的坐標公式列方程計算即可．

本題主要考查了平面向量的坐標運算，考查了共線向量的坐標關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：由題和平面向量的線性運算可得：，

；

，證明如下：

由知，，

所以，

設(shè)，

則，

所以，所以，得證．

所以與的位置關(guān)系為：．

【解析】利用向量的線性運算求解即可；

用基底表示兩個向量，利用數(shù)量積的運算證明即可．

本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積，屬于中檔題．

19.【答案】解：

．

由知，，則當時，

即時，取得最大值，

所以使取得最大值的自變量的集合為．

【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標運算及三角恒等變換化簡即可．

結(jié)合正弦函數(shù)取得最大值的結(jié)論，換元法即可求得．

本題考查三角函數(shù)的恒等變換，輔助角公式，最大值，屬于中檔題．

20.【答案】解：根據(jù)正弦定理，，，，，

所以，

又，

所以，

所以角；

因為，

所以．

【解析】根據(jù)正弦定理求得角，結(jié)合角即可求角；

根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合三角恒等變換，即可求解．

本題考查了正弦定理，三角形的面積公式以及三角函數(shù)恒等變換的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

21.【答案】解：由題意，，所以，故的定義域為，

又為奇函數(shù)，所以恒成立，而，

故恒成立，所以恒成立，所以，所以；

由知，，

充分性：當時，，所以，所以；

必要性：若，則，所以，

所以，即，解得，

綜上，是的充要條件．

，則在和上單調(diào)遞減，

證明如下：任取，且，，

則，

由于，，所以，，

所以在上單調(diào)遞減，同理可證在上單調(diào)遞減．

因為，所以，，因為，所以或，

所以函數(shù)的值域為．

【解析】先由分母不為求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求的值．

從充分性和必要性兩方面結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域證明即可；

先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用定義法證明，利用求解函數(shù)的值域．

本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性定義的應用，函考查了函數(shù)的單調(diào)性在