第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4 5應(yīng)用二課時(shí)4已知模型解決實(shí)際問題

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過期第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）課時(shí)4 用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）能通過建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.（數(shù)學(xué)建模）了解擬合函數(shù)模型并解決實(shí)際問題.（數(shù)據(jù)分析）自主預(yù)習(xí)·悟新知合作探究·提素養(yǎng)隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)我們學(xué)過哪些函數(shù)模型？[答案]

一次函數(shù)模型，二次函數(shù)模型，反比例函數(shù)模型，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型，冪函數(shù)模型等.斜率<>m??/<>m

的取值是如何影響一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的？[答案]

當(dāng)<>m??

>

0/<>m

時(shí)，直線必經(jīng)過第一、三象限，

<>m??/<>m

隨<>m??/<>m

的增大而增大；當(dāng)<>m??

<

0/<>m

時(shí)，直線必經(jīng)過第二、四象限，

<>m??/<>m

隨<>m??/<>m

的增大而減小.3.在冪函數(shù)模型的解析式中，<>m??/<>m

的正負(fù)如何影響函數(shù)的單調(diào)性？[答案]

當(dāng)<>m

??

>

0

/<>m

，

<>m

??

>

0

/<>m

時(shí)，函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)是上升的，在<>m

0,

+∞

/<>m

上為增函數(shù)；當(dāng)<>m??

>

0/<>m

，

<>m??

<

0/<>m

時(shí)，函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)是下降的，在<>m

0,

+∞

/<>m

上為減函數(shù).1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）先有實(shí)際問題，后有數(shù)學(xué)模型.(

√

)一個(gè)好的函數(shù)模型，既能與現(xiàn)有數(shù)據(jù)高度符合，又能很好地推演和預(yù)測(cè).(

√

)當(dāng)自變量變化時(shí)，函數(shù)值的增長速度越來越快，那么該函數(shù)關(guān)系一定用指數(shù)函數(shù)模型來刻畫.(

×

)2.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量??

（單位：只）與時(shí)間??

（單位：年）的關(guān)系式為??

=

??log?

??

+

1

.若這種動(dòng)物第1年有100只，則到第7年它們發(fā)展到(

7@@

A

).A.

300

只

B.

400

只

C.

500

只[解析]

由題意可得??

=

100

.當(dāng)??

=

7

時(shí)，

??

=

100log?

7

+

1D.

600

只=

300

.3.已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量??

與月份??

滿足關(guān)系??=???0.5?

+??

，現(xiàn)已知該廠今年1月份、2月份分別生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬件、1.5

萬件，則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為

<>m1.75/<>m

萬件

.[解析]

由?1

=

??

?

0.5?

+??,1.5

=

??

?

0.5?

+

??,???

=

2,得

??

=

?2,

所以??

=

?2× 0.5

?

+

2

，所以3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量??=?2×0.5?

+2=1.75

（萬件）.探究1

指數(shù)函數(shù)模型2010年，考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的<>m55.2%/<>m

，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？碳14年代檢測(cè)是根據(jù)碳14的衰變程度計(jì)算出樣品的大概年代的一種檢測(cè)方法，這一原理通常用來檢測(cè)古生物化石的年代.當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.問題1：.應(yīng)選擇什么函數(shù)模型解答上述問題？<>m

m></

m><

m></

m><

m></

m><

m></

m><

m></[答案]

因?yàn)樗劳錾餀C(jī)體內(nèi)碳14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數(shù)衰減，所以應(yīng)選擇函數(shù)??

=

?????

（

??

∈

??

，且??

≠

0

；

??

>

0

，且??

≠

1

）建立數(shù)學(xué)模型.<>m

/<>m

m><

m></

m<>

m></

m><

m></

m><

m></

m><

m></

m><問題2：.設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14的初始含量為<>m??/<>m

，年度衰減率為<>m??

0<??<1

/<>m

，生物死亡的年數(shù)為<>m??/<>m

，死亡生物體內(nèi)碳14含量為<>m??/<>m

，則<>m??/<>m

與<>m??/<>m

間有何種對(duì)應(yīng)關(guān)系？[答案]

??

與??

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為??

=

??

1?

??

?

（

??

∈

??

，且??

≠

0

；

0

<

??

<

1

；

??

≥0m></

）.問題3：.利用模型m><??=???

??????/<>m

如何推斷此水壩大概是什么年代建成的？[答案]

由已知檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的m><55.2%/><m

，得<>m55.2%??

=

???

??????/<>m

，即m><55.2%=?

??????????

??/><m

m<>

m><//<>m

，解得m><??

=

log 0.552

，由計(jì)算工具得??

≈

4912

.因?yàn)?010年之前的4912年是公元前2902年，所以推斷此水壩大概是公元前2902年建成的.新知生成 指數(shù)函數(shù)模型：??=?????

+??

（

??

，??，??

為常數(shù)，??≠0

，??>0

且??≠1

）.m><

/<>m <>m

/<>m <>m

/<>m <>m

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題解決已給出函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是考慮該題考查的是哪種函數(shù)，并要注意定義域，然后結(jié)合所給模型，列出函數(shù)關(guān)系式，最后結(jié)合其實(shí)際意義作出解答.解決此類型函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：第一步，閱讀理解，審清題意.讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景.在此基礎(chǔ)上，分析出已知是什么，所求是什么，并從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.第二步，根據(jù)所給模型，列出函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)問題的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)問題.第三步，利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果.第四步，再將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.新知運(yùn)用<>m

m></

m><

m></

m><

m></

m><例1

目前某縣有100萬人，經(jīng)過<>m??/<>m

年后為<>m??/<>m

萬人.如果年平均增長率是<>m1.2%/<>m

，請(qǐng)回答下列問題.（參考數(shù)據(jù)：

1.012??

≈

1.1267

，

1.012??

≈

1.1402

，

lg

1.2

≈

0.079

，

lg

1.012

≈0.005/<>m

）（1）寫出<>m??/<>m

關(guān)于<>m??/<>m

的函數(shù)解析式；計(jì)算10年后該縣的人口總數(shù)（精確到<>m0.1/<>m

萬人）；計(jì)算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬（精確到1年）.[解析]

（1）當(dāng)??

=

1

時(shí)，

??

=

100

+100

×1.2%

=

100

1

+1.2%

；當(dāng)??

=

2

時(shí)，

??

=

100

1

+1.2% +

100

1

+1.2% ×

1.2%

=

100

1+

1.2%

?

；當(dāng)??=3

時(shí)，??=100

1+1.2%

?

+100

1+1.2%

?

×1.2%=100

1+1.2%

?

；….故??

關(guān)于??

的函數(shù)解析式為??

=

100

1

+

1.2%

?

??

∈

???

.（2）當(dāng)??

=

10

時(shí)，

??

=

100

× 1

+

1.2%

??

=

100

×

1.012??

≈

112.7

.故10年后該縣約有112.7

萬人.（3）設(shè)??

年后該縣的人口總數(shù)為120萬，即100

× 1

+

1.2%

?

=

120

，解得??=log?.???

???

≈16

.???故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬.方法總結(jié) 在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長率問題常?？梢杂弥笖?shù)型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸??=??

1+??

?

（其中??

為基礎(chǔ)數(shù)，??

為增長m><

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m率，

??m>< m></

為時(shí)間）的形式.一種放射性元素，最初的質(zhì)量為<>m500

g/<>m

，按每年<>m10%/<>m

衰減.求<>m??/<>m

年后，這種放射性元素質(zhì)量<>m??/<>m

（單位：<>mg/<>m

）的表達(dá)式；由（1）中的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期（剩留量為原來的一半所需的時(shí)間叫作半衰期）.（精確到0.1年，已知<>mlg

2≈0.3010/<>m

，<>mlg

3≈0.4771/<>m

）[解析]

（1）最初的質(zhì)量為500g

.經(jīng)過1年后，

??

=

500

× 1

?10% =

500

×

0.9?

；經(jīng)過2年后，

??

=

500

×0.9

× 1

?10% =

500

×

0.9?

；由此推知，??

年后，??=500×0.9?

.（2）解方程500×0.9?

=250

，則0.9?

=0.5

，所以??

=

??

?.?

= ???

???

?.?

???

???≈6.6

（年），即這種放射性元素的半衰期約為6.6

年.探究2

對(duì)數(shù)函數(shù)模型盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解.例如，地震時(shí)釋放出的能量<>m??/<>m

（單位：焦耳）與地震級(jí)數(shù)<>m??/<>m

之間的關(guān)系式為<>mlg

??=4.8+1.5??/<>m

.問題1：.根據(jù)上述情景，2020年12月29日19時(shí)19分在克羅地亞發(fā)生6.5級(jí)地震，它所釋放出來的能量大約是2020年12月30日8時(shí)35分在日本本州東海岸發(fā)生5.1級(jí)地震的多少倍？????[答案]

由題意得m><lg

???

?

lg

???

= 4.8+

1.5

×

6.5

? 4.8

+1.5

×5.1 =

2.1m></

，從而得m><

=10?.?

?.?/<>m

，即<>m10

/<>m

倍.問題2：.已知對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題的方法是什么？[答案]

已知對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題，往往給出的函數(shù)解析式含有參數(shù)，需要利用待定系數(shù)法求出模型中的參數(shù)，再利用模型解決實(shí)際問題.新知生成對(duì)數(shù)函數(shù)模型：<>m??=??log?

??+??/><m

（

<>m??/<>m

，<>m??/<>m

，<>m??/><m

為常數(shù)，<>m??≠0/<>m

，<>m??>0/><m

且<>m??≠1/<>m

）.新知運(yùn)用例2

我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕<>m

m></

m><??/<>m<>m

/<>m子的飛行速度（單位：m/s

）可以表示為函數(shù)??=5log?

?

，其中??

表示燕子的耗氧量.當(dāng)燕子靜止時(shí)，它的耗氧量是多少個(gè)單位？當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？[解析]

（1）由題意知，當(dāng)燕子靜止時(shí)，它的速度??

=

0

，代入題中公式，可得0

=??5log?

?

，解得??=10

.??（2）將耗氧量??

=

80

代入題中公式，得??

=

5log?

??

=

5log?8

=

15

m/s .方法總結(jié) 有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)關(guān)系式，要求根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入關(guān)系式求值，然后根據(jù)值回答其實(shí)際意義.??“學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度，假設(shè)函數(shù)??

=

?144lg 1

?

?

中，

??

表示達(dá)到某一英文打字水平所需的學(xué)習(xí)時(shí)間，??

表示每分鐘打出的字?jǐn)?shù),則當(dāng)??=40

時(shí)，??=

<>m36.72/><m

.（參考數(shù)據(jù):lg

5≈0.699

，lg3≈0.477

）[解析]

當(dāng)??

=

40

時(shí)，

??

=

?144lg 1???

=

?144lg

?

=

?144

lg5

?

2lg

3 ≈

36.72

.??

?1.國內(nèi)郵寄<>m1000

g/<>m

以內(nèi)的包裹的郵資標(biāo)準(zhǔn)如下表：運(yùn)送距離??

km0

<

??

≤

500500

<

??

≤

10001000

<

??

≤

15001500

<

??

≤

2000…郵資??

（元）5.006.007.008.00…如果某人在西安要郵寄800g

的包裹到距西安1200

km

的某地，那么他應(yīng)付的郵資是(

@@12

C

).A.5.00元

B.6.00元

C.7.00元

D.8.00元[解析]

由表格易知C正確.2.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數(shù)量

??

（只）與時(shí)間??

（年）近似滿足關(guān)系??

=

??log?

??

+2 ，觀測(cè)發(fā)現(xiàn)2013年冬（作為第1年）有越冬白鶴3000只，估計(jì)到2019).B.

5000

只

C.

6000

只

D.

7000

只年冬有越冬白鶴(