人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊7.2離散型隨機變量及分布列 同步訓(xùn)練（含答案）

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人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊

7.2離散型隨機變量及分布列同步訓(xùn)練（原卷版）

考法一隨機變量及離散型隨機變量

【例1】（1）（2023·河北滄州市一中高二月考）下列變量中，不是隨機變量的是（）

A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)

B．標準狀態(tài)下，水沸騰時的溫度

C．拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和

D．某電話總機在時間區(qū)間（0，T）內(nèi)收到的呼叫次數(shù)

（2）．（2023·全國高一課時練習(xí)）下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是（）

A．擲5次硬幣正面向上的次數(shù)M

B．從標有數(shù)字1至4的4個小球中任取2個小球，這2個小球上所標的數(shù)字之和Y

C．某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時間T

D．將一個骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點數(shù)之和X

【一隅三反】

1．（2023·南昌縣蓮塘）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機變量的是()

A．出現(xiàn)7點的次數(shù)B．出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)

C．出現(xiàn)2點的次數(shù)D．出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)

2．（2023·河北滄州市一中高二月考）拋擲兩枚骰子各一次,記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為ξ,則“ξ>4”表示試驗的結(jié)果為()

A．第一枚為5點,第二枚為1點

B．第一枚大于4點,第二枚也大于4點

C．第一枚為6點,第二枚為1點

D．第一枚為4點,第二枚為1點

3．（2023·全國高二課時練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得分，平局得分，輸了得分，共下三局.用表示甲的得分，則表示（）

A．甲贏三局

B．甲贏一局

C．甲、乙平局三次

D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次

4．（2023·湖北武漢市·高二期中）袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為離散型隨機變量的是（）

A．至少取到1個白球B．至多取到1個白球

C．取到白球的個數(shù)D．取到的球的個數(shù)

5（2023·全國高二）下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是__________（填序號）．

①某賓館每天入住的旅客數(shù)量是；

②某水文站觀測到一天中珠江的水位；

③西部影視城一日接待游客的數(shù)量；

④閱海大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)是.

考法二分布列

【例2-1】（2023·吉林油田第十一中學(xué)）若隨機變量X的分布列如下所示

X－1012

P0.2ab0.3

且E(X)＝0.8，則a、b的值分別是（）

A．0.4，0.1B．0.1，0.4

C．0.3，0.2D．0.2，0.3

【例2-2】．（2023·全國高二課時練習(xí)）某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應(yīng)優(yōu)惠，標準如下：

消費次第第1次第2次第3次第4次次

收費比率10.950.900.850.80

若該公司注冊的會員中沒有消費超過5次的，從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

消費次數(shù)12345

人數(shù)60201055

假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；

（2）以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為一位會員服務(wù)的平均利潤為元，求的分布列.

【一隅三反】

1．（多選）（2023·全國高二單元測試）已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))：

X01234

P0.10.20.40.2a

則下列計算結(jié)果正確的有（）

A．a(chǎn)＝0.1B．P(X≥2)＝0.7

C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.3

2．（2023·山東濟寧市·高二期末）在某校舉辦的“國學(xué)知識競賽”決賽中，甲、乙兩隊各派出3名同學(xué)參加比賽.規(guī)則是：每名同學(xué)回答一個問題，答對為本隊贏得1分，答錯得0分.假設(shè)甲隊中每名同學(xué)答對的概率均為，乙隊中3名同學(xué)答對的概率分別是，，，且每名同學(xué)答題正確與否互不影響.用表示乙隊的總得分.

（1）求隨機變量的分布列；

（2）設(shè)事件表示“甲隊得2分，乙隊得1分”，求.

3．（2023·農(nóng)安縣教師進修學(xué)校）甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為、、，三人各射擊一次，擊中目標的次數(shù)記為.

（1）求甲、乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率；

（2）求的分布列.

考法三兩點分布

【例3】（2023·永安市第三中學(xué)高二期中）設(shè)隨機變量服從兩點分布，若，則成功概率（）

A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8

【一隅三反】

1．（2023·全國高三專題練習(xí)）若某品種水稻雜交試驗成功率是失敗率的2倍，一次試驗只有成功與失敗兩種結(jié)果，用描述一次試驗的成功次數(shù)，則（）

A．0B．C．D．

2．（2023·全國）已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（）

A．B．C．D．

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊

7.2離散型隨機變量及分布列同步訓(xùn)練（解析版）

考法一隨機變量及離散型隨機變量

【例1】（1）（2023·河北滄州市一中高二月考）下列變量中，不是隨機變量的是（）

A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)

B．標準狀態(tài)下，水沸騰時的溫度

C．拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和

D．某電話總機在時間區(qū)間（0，T）內(nèi)收到的呼叫次數(shù)

（2）．（2023·全國高一課時練習(xí)）下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是（）

A．擲5次硬幣正面向上的次數(shù)M

B．從標有數(shù)字1至4的4個小球中任取2個小球，這2個小球上所標的數(shù)字之和Y

C．某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時間T

D．將一個骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點數(shù)之和X

【答案】（1）B（2）C

【解析】（1）因為標準狀態(tài)下，水沸騰時的溫度是一個常量，所以不是隨機變量.故選：B

（2）在A中，擲5次硬幣，正面向上的次數(shù)M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故M是離散型隨機變量

在B中，從標有數(shù)字1至4的4個小球中任取2個小球，這2個小球上所標的數(shù)字之和Y可能取的值，可以按一定次序一一列出，

故Y是離散型隨機變量

在C中，某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時間T可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法一一列出，

故T不是離散型隨機變量

在D中，將一個骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點數(shù)之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是離散型隨機變量故選：C

【一隅三反】

1．（2023·南昌縣蓮塘）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機變量的是()

A．出現(xiàn)7點的次數(shù)B．出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)

C．出現(xiàn)2點的次數(shù)D．出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)

【答案】A

【解析】拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)點，出現(xiàn)點為不可能事件

出現(xiàn)點的次數(shù)不能作為隨機變量本題正確選項：

2．（2023·河北滄州市一中高二月考）拋擲兩枚骰子各一次,記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為ξ,則“ξ>4”表示試驗的結(jié)果為()

A．第一枚為5點,第二枚為1點

B．第一枚大于4點,第二枚也大于4點

C．第一枚為6點,第二枚為1點

D．第一枚為4點,第二枚為1點

【答案】C

【解析】由于表示“第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差”，差的最大值為，而只有一種情況，也即，此時第一枚為點,第二枚為點，故選C.

3．（2023·全國高二課時練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得分，平局得分，輸了得分，共下三局.用表示甲的得分，則表示（）

A．甲贏三局

B．甲贏一局

C．甲、乙平局三次

D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次

【答案】D

【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得分，平局得分，輸了得分，

故有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次，故選：D.

4．（2023·湖北武漢市·高二期中）袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為離散型隨機變量的是（）

A．至少取到1個白球B．至多取到1個白球

C．取到白球的個數(shù)D．取到的球的個數(shù)

【答案】C

【解析】根據(jù)離散型隨機變量的定義可得選項C是離散型隨機變量，其可以一一列出，

其中隨機變量的取值，故選C.

5（2023·全國高二）下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是__________（填序號）．

①某賓館每天入住的旅客數(shù)量是；

②某水文站觀測到一天中珠江的水位；

③西部影視城一日接待游客的數(shù)量；

④閱海大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)是.

【答案】②

【解析】①③④中的隨機變量的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；②中隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，但無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機變量．故答案為：②

考法二分布列

【例2-1】（2023·吉林油田第十一中學(xué)）若隨機變量X的分布列如下所示

X－1012

P0.2ab0.3

且E(X)＝0.8，則a、b的值分別是（）

A．0.4，0.1B．0.1，0.4

C．0.3，0.2D．0.2，0.3

【答案】B

【解析】由隨機變量X的分布列得：，所以，

又因為，解得，所以，故選：B

【例2-2】．（2023·全國高二課時練習(xí)）某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應(yīng)優(yōu)惠，標準如下：

消費次第第1次第2次第3次第4次次

收費比率10.950.900.850.80

若該公司注冊的會員中沒有消費超過5次的，從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

消費次數(shù)12345

人數(shù)60201055

假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；

（2）以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為一位會員服務(wù)的平均利潤為元，求的分布列.

【答案】（1）公司獲得的平均利潤為元；（2）分布列答案見解析.

【解析】（1）因為第一次消費時，公司獲得利潤為元，

第二次消費時，公司獲得利潤為元，

所以兩次消費中，公司獲得的平均利潤為元，

（2）因為公司成本為元，所以消費一次公司獲得的平均利潤為元，消費兩次公司獲得的平均利潤為元，消費三次公司獲得的平均利潤為元，消費四次公司獲得的平均利潤為元，

消費五次公司獲得的平均利潤為元，

的所有可能的取值為，

，

，

，

，

，

.故的分布列為

5045403530

0.60.20.10.050.05

【一隅三反】

1．（多選）（2023·全國高二單元測試）已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))：

X01234

P0.10.20.40.2a

則下列計算結(jié)果正確的有（）

A．a(chǎn)＝0.1B．P(X≥2)＝0.7

C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.3

【答案】ABD

【解析】因為，解得，故A正確；

由分布列知,，

，故BD正確，C錯誤.

故選：ABD

2．（2023·山東濟寧市·高二期末）在某校舉辦的“國學(xué)知識競賽”決賽中，甲、乙兩隊各派出3名同學(xué)參加比賽.規(guī)則是：每名同學(xué)回答一個問題，答對為本隊贏得1分，答錯得0分.假設(shè)甲隊中每名同學(xué)答對的概率均為，乙隊中3名同學(xué)答對的概率分別是，，，且每名同學(xué)答題正確與否互不影響.用表示乙隊的總得分.

（1）求隨機變量的分布列；

（2）設(shè)事件表示“甲隊得2分，乙隊得1分”，求.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）由題意知，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，

，

，

，

，

所以隨機變量的分布列為

X0123

P

（2）設(shè)甲隊得分為Y，則，

，

.

3．（2023·農(nóng)安縣教師進修學(xué)校）甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為、、，三人各射擊一次，擊中目標的次數(shù)記為.

（1）求甲、乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率；

（2）求的分布列.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】（1）記甲、乙兩人擊中丙沒有擊中為事件，則甲，乙兩人擊中，丙沒有擊中的概率為：；

（2）由題意可知，隨機變量的可能取值為、、、，

，，

，.

所以，隨機變量的分布列如下：

考法三兩點分布

【例3】（2023·永安市第三中學(xué)高二期中）設(shè)隨機變量服從兩點分布，若，則成功概率（）

A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8

【答案】C

【解析】隨機變量服從兩點分布，，

根據(jù)兩點分布概率性質(zhì)可知：，解得，故選：C.

【一隅三反】

1．（2023·全國高三專題練習(xí)）若某品種水稻