電磁場(chǎng)電磁波第四章時(shí)變電磁場(chǎng)

電磁場(chǎng)電磁波第四章時(shí)變電磁場(chǎng)1第1頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.1波動(dòng)方程在無(wú)源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)，則有無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程波動(dòng)方程——二階矢量微分方程，揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性。

麥克斯韋方程——一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng)間的相互作用關(guān)系。

麥克斯韋方程組波動(dòng)方程。

問(wèn)題的提出電磁波動(dòng)方程2第2頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理可得

推證

問(wèn)題

若為有源空間，結(jié)果如何？

若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？3第3頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引入位函數(shù)來(lái)描述時(shí)變電磁場(chǎng)，使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。

引入位函數(shù)的意義

位函數(shù)的定義4第4頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

位函數(shù)的不確定性滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)和能描述同一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。即也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。

原因：未規(guī)定的散度。為任意可微函數(shù)5第5頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即

位函數(shù)的規(guī)范條件造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)有規(guī)定的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡(jiǎn)化。6第6頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

位函數(shù)的微分方程7第7頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同樣8第8頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月說(shuō)明應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)：①位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱的，且比較簡(jiǎn)單，易求解；②解的物理意義非常清楚，明確地反映出電磁場(chǎng)具有有限的傳遞速度；③矢量位只決定于J，標(biāo)量位只決定于ρ，這對(duì)求解方程特別有利。只需解出A，無(wú)需解出就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位的解也不相同，但最終得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。9第9頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度：磁場(chǎng)能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)。

電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量及守恒關(guān)系10第10頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中：——單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量?！?/p>

單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所做的功；在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率。——

通過(guò)曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率。表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：坡印廷定理微分形式：11第11頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有將以上兩式相減，得到由

推證12第12頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S所包圍的體積V上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過(guò)曲面S進(jìn)入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。13第13頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

定義：(W/m2

)

物理意義：

的方向——電磁能量傳輸?shù)姆较虻拇笮　ㄟ^(guò)垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）14第14頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.4惟一性定理

在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域V內(nèi)，如果給定t＝0時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的初始值，并且在t

0時(shí)，給定邊界面S上的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量，那么，在t>0時(shí)，區(qū)域V內(nèi)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。

惟一性定理的表述在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問(wèn)題。

惟一性問(wèn)題15第15頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

惟一性定理的證明

利用反證法對(duì)惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解、和、滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。則在區(qū)域V內(nèi)和的初始值為零；在邊界面S上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零，且和滿足麥克斯韋方程令16第16頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有所以由于場(chǎng)的初始值為零，將上式兩邊對(duì)t積分，可得根據(jù)和的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為17第17頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上式中兩項(xiàng)積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得積分為零，必有（證畢）即惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場(chǎng)問(wèn)題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的應(yīng)用。

18第18頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)

復(fù)矢量的麥克斯韋方程

時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示

復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)

亥姆霍茲方程

平均能流密度矢量19第19頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。

研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣播、電視和通信的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。

任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅里葉分析方法展開(kāi)為不同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。4.5.1時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示20第20頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題的分析得以簡(jiǎn)化。

設(shè)是一個(gè)以角頻率

隨時(shí)間t作正弦變化的場(chǎng)量，它可以是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成

其中時(shí)間因子空間相位因子利用三角公式式中的A0為振幅、為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實(shí)數(shù)表示法或瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示21第21頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng)。照此法，矢量場(chǎng)的各分量Ei（i表示x、y

或z）可表示成各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為

有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明復(fù)矢量真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式。由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫出來(lái)，只用與坐標(biāo)有關(guān)的部分就可表示復(fù)矢量。22第22頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4.5.1

將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以23第23頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）因?yàn)楣仕?4第24頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例4.5.2

已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量25第25頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以電場(chǎng)旋度方程為例，代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量，可得將、與交換次序，得上式對(duì)任意t均成立。令t＝0，得4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程令ωt＝π/2，得即26第26頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例題：已知正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為式中

解：（1）因?yàn)楣孰妶?chǎng)的復(fù)矢量為試求：（1）電場(chǎng)的復(fù)矢量;（2）磁場(chǎng)的復(fù)矢量和瞬時(shí)值。27第27頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)的場(chǎng)量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程

—略去“.”和下標(biāo)m28第28頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場(chǎng)的復(fù)矢量磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值29第29頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗：

導(dǎo)電媒質(zhì)——當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí)，存在歐姆損耗。

電介質(zhì)——受到極化時(shí)，存在電極化損耗。

磁介質(zhì)——受到磁化時(shí)，存在磁化損耗。損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時(shí)可以忽略，但在高頻時(shí)就不能忽略。4.5.3復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)其中

c=

－jσ/ω、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。

對(duì)于介電常數(shù)為

、電導(dǎo)率為

的導(dǎo)電媒質(zhì)，有30第30頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)同時(shí)存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率

對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有，稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。對(duì)于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為

對(duì)于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化