2021-2022學(xué)年天津華明中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學(xué)年天津華明中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解

析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.已知一元二次不等式/（加0的解集為（極嚴(yán)記3）,則“）〉o的解集

為（）

A{中一貼2t觸>崩3}B（x|b2<x<b3）

、

c（xjx<!n3]DIn2<x<ln3}

參考答案：

D

略

2.已知某幾何體的三視圖如，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可得這個(gè)幾何體的體

積是（）

_43_83

A.3CmB.3cmc.2cm3D.4cm"

參考答案:

B

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.

專題：空間位置關(guān)系與距離.

分析：由題目給出的幾何體的三視圖，還原得到原幾何體，然后直接利用三棱錐的體積公

式求解.

解答：解：由三視圖可知，該幾何體為底面是正方形，且邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm的四棱

錐，

如圖，

故詩X22x2=1"

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的體積，考查了空間幾何體的三視圖，能夠由三視圖還原得到原幾

何體是解答該題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

3.從某高中隨機(jī)選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：

身高x(cm)160165170175180

體重y(kg)6366707274

根據(jù)上表可得回歸直線方程丁=0據(jù)此模型預(yù)報(bào)身高為172cm的高三男生的

體重為（）

A.70.09kgB.70.12kgC.70.55kgD.

71.05kg

參考答案:

B

略

4.在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2,BC=1,M為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一

點(diǎn)，取到的點(diǎn)到M的距離大于1的概率為

力T

B.8

參考答案:

5.已知函數(shù),"%:當(dāng)時(shí)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(C)。，田)

(O.-j)

參考答案:

B

略

6.已知函數(shù)A力的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)對(duì)任意xeR,有依刈《用同，則稱

人力為嚴(yán)函數(shù).給出下列函數(shù)：①/16)=0；②③/(x)=smr+8"；

④""=/+X+l；⑤/(K)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)弓，。均有

其中是尸函數(shù)的序號(hào)為()

A.①②④B.②③④C.①④⑤

D.①②⑤

參考答案:

C

|Ax)|W??X|=x?。時(shí)/(0)=Q,X?。時(shí)^-卜［即過原點(diǎn)的弦斜率有界.

①700=0顯然滿足上面性質(zhì)；

②了(力?戶/(0)=0但x*0時(shí)IX卜M無界;

③/(x)=snx+8$r,/(0)*0.

④/⑶=77771,7（。）=。且xwO時(shí)卜-卜島771%；

⑤如右圖所示，式噂是奇函數(shù)則穴0)?0；又1/仁)-月、)1近21r「引恒成立，所以所有的

戶2k2

弦斜率絕對(duì)值有界2,自然2也是過原點(diǎn)的弦的界，所以IXI(也可以直接?。?0

得到).

2

7.定積分」f。(2x+l)dx的值為()

A.6B.5C.4D.3

參考答案:

A

考點(diǎn)：定積分.

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

分析：求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再計(jì)算定積分的值.

解答：解：定積分，I(2x+l)dx=(x2+x)|表6.

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分的幾何意義，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

/=2C?]—xl>0)

8.已知函數(shù)I?)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示，其中P,Q分別是

這段圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，M,N是圖像與x軸的交點(diǎn)，且〃&=好，則A的值為

()

A.2B.1C.冉D.

參考答案：

C

3旬

9.已知/(”二""是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面中復(fù)數(shù)3+)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).

第四象限

參考答案：

A.

試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)所以爐，化簡(jiǎn)得/。+。=次

V_2(3r)_2+&_1+為_1十3]

所以3+i3+i(3+i)(3-x)1055.根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知，

J3

3+J所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為5勺,，所以其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故應(yīng)選A.

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其兒何意義.

io,函數(shù)『二】川，+1)的定義域是

A.(-1，。B.(Q+?)C.

(-L+C0)D.R

參考答案:

c

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)榱?，若其值域也為力，則稱區(qū)間/為/(X)的保值區(qū)

間.若〃x)=x+用-hx的保值區(qū)間是歸母)，則用的值為.

參考答案：

1

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x+M-1nX的保值區(qū)間為k,+<n),則/(x)=x+掰-InX的值域也是

。他)，因?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0,田)，所以由得x>l,即

函數(shù)/(x)=x+加_)nx的遞增區(qū)間為(L*o),因?yàn)?(x)=>+加-inx的保值區(qū)間是

回y3，，所以函數(shù)在k,楨)上是單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(x)=x+附-Mx的值域也是

[e.-wn),所以/?)=&,即/(e)+加一上即泄=ln,=1。

12.經(jīng)過點(diǎn)尸(-2D且與原點(diǎn)的距離為2的直線方程為******。

參考答案：

入=2或3]-4>+10=0

13.觀察以下等式：

Cj+4=2J?2.C；+C；+C=2'+25

由此推測(cè)：4,+匕'*4|,3"+。黑：《?.

參考答案:

logjaxlog^

14.已知實(shí)數(shù)。力?滿足IJ，下列五個(gè)關(guān)系式：

①4>b>l(2)0<b<a<L③6〉a>L④0<b<1,⑤a=b,其中不可能成立的

關(guān)系式為0(填序號(hào))

參考答案：

①④

15.已知產(chǎn)(力=/(刀)+”是奇函數(shù)，且/。)=1,若g(x)=/(x)+2,則

?(-1)=.

參考答案：

一1

⑹已知函JX—+M⑺咱丁，若對(duì)

/(XI)2gS2),則實(shí)數(shù)rn的取值范圍是.

參考答案：

掰之』

8

略

17.已知集合A={x|[x-(a-1)]?[x-(2a+l)]<0},B={x:-l<x<3).

(I)若A={x11VxV5},求a的值；

(II)若2a%且A?B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案：

【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；一元二次不等式的解法.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

[a-1=1(a-1=5

【分析】(1)由集合相等知道，[2a+l=5或12a+l=l,解出a即可;

(2)由不等式.尸4可得a2-2,再由集合的基本關(guān)系求出a的范圍.

解:(1)由于集合八=儀|以-(a-1)]?[x-(2a+l)]<0}={x|l<x<5},

(a-1=11a-1=5

則12a+l=5或12a+l=l,解得a=2；

(2)由不等式2%，等價(jià)于2”22一2,解得a》-2,

所以集合A={x|[x-(a-1)]?[x-(2a+l)]<0}={x|a-l<x<2a+l},

fa-1>-1

又由A?B,B={x[-l<x<3},則12a+l43,解得OWaWl.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的包含、相等等基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，也是高考常會(huì)考的題

型.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.如圖，三棱柱ABC-ABG中，AB=AC=AAI=BCF2,NAAG=60°,平面ABC」平面

AAiC.C,A3與A￡相交于點(diǎn)D.

(1)求證：BD_L平面AACC；

(2)求二面角CI-AB-C的余弦值.

參考答案:

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定.

【分析】(1)由平行四邊形AACC中AC=AC,結(jié)合題意證出△AAC為等邊三角形，同理

得△ABG是等邊三角形，從而得到中線BD,AC,利用面面垂直判定定理即可證出BDL平

面AAiCiC.

(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC,DB分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分

別求出平面ABG與平面ABC的法向量，從而可算出二面角C,-AB-C的余弦值.

【解答】解：（1）?.?四邊形AACC為平行四邊形，...AC=AC,

,.,AC=AA.,.,.AAFA.CH

?；NAAC=60°,...△AAC為等邊三角形，

同理△ABC是等邊三角形，

?；D為AG的中點(diǎn)，.-.BD±AC）,

?平面ABG_L平面AACC,

平面AB3C平面AACC=AG,BD?平面ABG,

.?.BD_L平面AACC.

（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DB分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

平面AB3的一個(gè)法向量為林（0，1，°）,設(shè)平面ABC的法向量為左（X，V，z）,

ACTi=-x+Vsy=O

__<

由題意可得而:（T，愿，0），屈=（-1，0，M）,jiijlAB-n=-x+V3z=0,

所以平面ABC的一個(gè)法向量為7（V3,1,1）,

mF_]_遙

cos9=IinI*InIV55.

s

即二面角C（-AB-C的余弦值等于5.

【點(diǎn)評(píng)】本題在三棱柱中求證線面垂直，并求二面角的平面角大小.著重考查了面面垂直

的判定與性質(zhì)、棱柱的性質(zhì)、余弦定理、二面角的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題.

19.如圖所示，一種醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體.開始輸液時(shí)，滴管內(nèi)勻速滴下

球狀液體，其中球狀液體的半徑，=順毫米,滴管內(nèi)液體忽略不計(jì).

（1）如果瓶?jī)?nèi)的藥液恰好156分鐘滴完，問每分鐘應(yīng)滴下多少滴？

（2）在條件（1）下，設(shè)輸液開始后X（單位：分鐘），瓶?jī)?nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為為（單

位：厘米），已知當(dāng)x=0時(shí):為=13.試將為表示為x的函數(shù).（注匕/=1000w??）

參考答案:

【解】（1）設(shè)每分鐘滴下（左€"'）滴，............1分

則瓶?jī)?nèi)液體的體積4="甲9+丁2,3=156”c??..............3分

,4,.40k*kn

%=為一天10-wn=-上

上滴球狀液體的體積3375czM3..............5分

156兀=旦X156

所以75,解得尢=75,故每分鐘應(yīng)滴下75滴。...........6分

（2）由（1）知，每分鐘滴下開cm,藥液............7分

,-.A=13--

當(dāng)4M/iW13時(shí)，xn-nA（13-A）,即]6,此時(shí)0MxW144......io分

ac-a.h"40——

當(dāng)1少<4時(shí)，M=汗49+/r2（4-A），即4,此時(shí)

144<x<156......13分

r

13_-L(OSXS144

16

A(x)=<

40--.144vxS156

綜上可得414分

略

20.本小題滿分14分)

如圖4,四棱錐尸-38中，41底面，5c。，45CD是直角梯形，E為BC的

中點(diǎn)，^BAD=ZADC=90°,AB=3,CZ)=1,PA=AD-2.

⑴求證：JL平面E4C；

⑵求E4與平面尸DE所成角的正弦值.

參考答案：

證明與求解：⑴因?yàn)槿。?58,DEuABCD,所以E4_LZ)E……1分，

取4D的中點(diǎn)F,連接E尸，則E尸是梯形幺8CD的中位線，所以EFaM

EF=M+S=2

且2...3分，在及AADC和皮AD即中，

EF_AD_2

N￡FD=")C=90°,DF=~DC=,所以&EFDsMDC……5分，

ZFED=ZDAC,所以ACIDE

……6分，因?yàn)?4nHe=工，所以平面H4C……7分.

⑵(方法一)由⑴知平面?。芯JL平面尸2C……8分，

設(shè)連接EG,在mAA4G中作芯/JLPG,垂足為月,則

4月1平面尸……10分，所以/月戶打是物與平面尸?！晁傻慕恰?1分，

CD1

ctanZCL4D=—=-

由⑴知，在出AADG中，4D=2,AD2,所以

AG^ADxcosZ.CAD=-4i=PG=*6

6……12分，因?yàn)橐?458,所以V5……13

4(72

smZXP//=sinZ>1PG=—=-八…

分,PG3,即為月4與平面PQ&所成角的正弦值……14

分.

(方法二)依題意，以工為原點(diǎn)，AD.AB,月產(chǎn)所在直線分別為x軸、y

軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系……8分，則直線24的方向向量為

/尸=(0.0.D……9分,

依題意，代0，0,2)、￡)(2,0,0)5。3,0)、C(2,1,0)、5Q,2.0)......10

分，從而加=Q2.。,2),麗=(7.2,0)……1I分，設(shè)平面尸/組的一個(gè)法向量

nDP=-2a+2c=0

(??

為…(a.b.c),貝”NDE…+22?！薹?，所以4=，=26,可選取平

面如E的一個(gè)法向量為力=（2,1.2）……13分，所以尸力與平面尸。E所成角的正

I.%FM2

弦值為14分.

略

21.（本題滿分12分）

已知拋物線C：丁'=4》的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)9引直線/交C于5、B兩點(diǎn)，。是坐

標(biāo)原點(diǎn).

（1）求與?礪的值；

（2）若蘇=45+4西且用+用=§求，直線，的方程.

參考答案：

解（1）由已知得尸點(diǎn)坐標(biāo)為（LQ）

當(dāng)？的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為了=取?1點(diǎn)=S

=>//-（汨+4）r+H=0

由"?總-D①.....2分

設(shè)依-機(jī)發(fā)小3”）,則.演?。'+1兀。-/（4+4）+/②

2一+4

由①得，工也小代入②得以.。?—?……5分

當(dāng)，的斜率不存在時(shí)，同樣有.。月--3

綜上可知。4?。?--3......6分

（注：本題也可設(shè)直線的方程為3桁+1,而不用討論斜率是否存在的情況）

（2）由F、/、B三點(diǎn)共線知4+&=1，又'+'=心解得

pH

hd或………8分

當(dāng)，的斜率不存在時(shí)，不符題意；.....9分

當(dāng),的斜率存在時(shí)，若I"?,由①及。九4)+4。后知

-

七十均P

■；

辦上」組.2四.2

,消去與，'得/2或1

%’+42川+45

當(dāng)下一"時(shí)無解，當(dāng)N=3,解得爐=8nt=±2Q；

1/1?-L

若I3,同樣可得4=±2?..........11分

故直線?的方程為了=±2a("1)...........12分

略

22.2017年5月14日,第一屆“一帶一路”國際高峰論壇在北京舉行，為了解不同年齡的人對(duì)

“一帶一路''關(guān)注程度，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15