全等三角形輔助線做法講義

.\全等三角形問題中常見的輔助線的作法巧添輔助線一——倍長中線【夯實(shí)基礎(chǔ)】例：ABC中，AD是BAC的平分線，且BD=CD，求證AB=ACA方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線ADBCD【方法精講】常用輔助線添加方法——倍長中線AA△ABC中AD是BC邊中線B CD

方式1：延長AD到E，BC使DE=AD，D連接BE方式2：間接倍長EA AFB D C

作CF⊥AD于F，M延長MD到N，作BE⊥AD的延長線于E使DN=MD，D連接BEBC連接CDEN【經(jīng)典例題】例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍A2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE精品文檔放心下載交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CEDBFCE例3：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長BE交AC于感謝閱讀F，求證：AF=EF A提示：倍長AD至G，連接BG，證明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形精品文檔放心下載

FEB D CA例4：已知：如圖，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且FDE=EC，過D作DF//BA交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分BACDECB第1題圖.\提示：方法1：倍長AE至G，連結(jié)DG方法2：倍長FE至H，連結(jié)CHA5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，感謝閱讀求證：∠C=∠BAEBEDC提示：倍長AE至F，連結(jié)DF證明ΔABE≌ΔFDE（SAS）進(jìn)而證明ΔADF≌ΔADC（SAS）【融會貫通】1、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論精品文檔放心下載提示：延長AE、DF交于G證明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FC

ADB E CF2、如圖，AD為ABC的中線，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F.求證：謝謝閱讀BECFEFAEFB CD第14題圖3、已知：如圖，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC精品文檔放心下載CM于D，交BC于T，過D作DE//AB交BC于E，求證：CT=BE.感謝閱讀提示：過T作TN⊥AB于NAM證明ΔBTN≌ΔECDDBETC截長補(bǔ)短法引輔助線思路：當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c有下列情況時： ，如直接證不出來，可采用截感謝閱讀長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等，這兩種方法放在一起叫截長補(bǔ)短法。感謝閱讀.\通過線段的截長補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來。例1.如圖，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。精品文檔放心下載求證：AB＝AC＋CD證法一：（補(bǔ)短法）延長AC至點(diǎn)F，使AF＝AB在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD（SAS）∴∠B＝∠F∵∠ACB＝2∠B∴∠ACB＝2∠F而∠ACB＝∠F＋∠FDC∴∠F＝∠FDC∴CD＝CFAF＝AC＋CF∴AF＝AC＋CD∴AB＝AC＋CD感謝閱讀

證法二： （截長法）在AB上截取 AE＝AC，連結(jié) DE在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD（SAS）例2.如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延長線于E，證明：BD＝2CE。感謝閱讀分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的2倍的問題，可構(gòu)造線段2CE，轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，分別延長BA，CE交于F，證△BEF≌△BEC，得謝謝閱讀，再證△ABD≌△ACF，得BD＝CF。1、如圖，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求證：精品文檔放心下載CD⊥ACA

ADCB2、如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點(diǎn)E，感謝閱讀

EDB C.\求證;AB＝AC+BD3、如圖，已知在VABC內(nèi)，BAC600，C400，P，Q分別在BC，CA上，并且AP， A感謝閱讀BQ分別是BAC，ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP感謝閱讀BQP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，A求證：AC1800DCB C5.已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,證明：AB=AC+CD.精品文檔放心下載6.已知：如圖，△ABC中，∠A=60°，∠B與∠C的平分線BE,CF交于點(diǎn)I，求證：BC=BF+CE.感謝閱讀A7.已知：如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，BF平分∠CBE交謝謝閱讀CD于F，求證：BE=CF+AE. B D C與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的離相等。感謝閱讀對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點(diǎn)兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知件。感謝閱讀

AFIEBC距AED向F截其BC條.\（1）截取構(gòu)全等如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明精品文檔放心下載線段、角相等創(chuàng)造了條件。AE A E DODCBCFF圖1-2圖1-1 B例1．如圖1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BC謝謝閱讀D，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用感謝閱讀到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可感謝閱讀以延長BE與CD的延長線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。謝謝閱讀例2．已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC謝謝閱讀分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取精品文檔放心下載線段相等。其它問題自已證明。

ACED圖1-3A例3．已知：如圖1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求感謝閱讀證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等感謝閱讀

EC三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的， B D謝謝閱讀圖1-4在長的線段上截取短的線段，來證明。練習(xí)1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC謝謝閱讀2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE感謝閱讀3． 已知：在△ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任感謝閱讀一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC4．已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。感謝閱讀

ADE FBC圖2-1.\（2）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。謝謝閱讀例1．如圖2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。謝謝閱讀求證：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。精品文檔放心下載

ADB CE圖2-2例2．如圖2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。精品文檔放心下載求證：BC=AB+AD分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段感謝閱讀的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。ANMDF例3．已知如圖2-3，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。BP圖2-3 C求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等精品文檔放心下載練習(xí)：1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，PD⊥OA，如果PC=4，B則PD=（）A4B3C2D1C2．已知在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.POA圖2-4D5.求AC。3．已知：如圖2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，A1AE=2（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BCEDBC上的點(diǎn)，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。圖2-5.\5．已知：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。精品文檔放心下載CAD

EFHEADBB圖2-6FC圖2-7（3）、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。謝謝閱讀例1．已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。A求證：DH=1（AB-AC）D2C分析：延長CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可證。EHB圖示3-1例2．已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠ABC的平分線，F(xiàn)CE⊥BE.求證：BD=2CE。A分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長DE此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。 BC圖3-2例3．已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BN垂直精品文檔放心下載AD,交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。感謝閱讀求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從謝謝閱讀

AMBD而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。CEF例4．已知：如圖3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長線于M。求證：AM=12（AB+AC）感謝閱讀分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對稱△AED，然后只需證DM=12EC，另外由求證的結(jié)果AM=12（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對稱△精品文檔放心下載

圖3-3AEFDnCB圖3-4.\FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1．已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是∠BAC的平分線，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。精品文檔放心下載2．已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=12BC謝謝閱讀（4）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1感謝閱讀和圖4-2所示。 C例4如圖，AB>AC,∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。A1D2AB例5如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，CBDA求證：∠A+∠C=180。HIDFECGBCA圖4-1B圖4-2例6DC如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。練習(xí)：

EA B1.已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。謝謝閱讀ABA12C.\2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥AC謝謝閱讀3．已知CE、AD是△ABC的角平分線，∠B=60°，求證：AC=AE+CD感謝閱讀

AEB D C4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平A分線，求證：BC=AB+ADDBC(5)、且垂直一線段，應(yīng)想到、角平分線等腰三角形的中線精品文檔放心下載例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC謝謝閱讀AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD