2021屆新高考地區(qū)專用數(shù)學(xué)二輪必刷題37概率統(tǒng)計綜合問題（解析版）

專題37概率統(tǒng)計綜合問題

1.某單位為患病員工集體篩查新型流感病毒，需要去某醫(yī)院檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有k(依N*,k》2)

份血液樣本，有以下兩種檢驗方案，方案一：逐份檢驗，則需要檢驗k次；方案二：混合檢驗，將6份血液

樣本分別取樣混合在一起檢驗一次，若檢驗結(jié)果為陰性，則k份血液樣本均為陰性，若檢驗結(jié)果為陽性，

為了確定左份血液中的陽性血液樣本，則對k份血液樣本再逐一檢驗.逐份檢驗和混合檢驗中的每一次檢驗

費用都是4(〃>0)元，且k份血液樣本混合檢驗一次需要額外收9a元的材料費和服務(wù)費.假設(shè)在接受檢

4

驗的血液樣本中，每份樣本是否為陽性是相互獨立的，且據(jù)統(tǒng)計每份血液樣本是陽性的概率為p(O<p<l).

(1)若k(依N*,AN2)份血液樣本采用混合檢驗方案，需要檢驗的總次數(shù)為X,求X分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)①若&=5,0<p<l-V045,以檢驗總費用為決策依據(jù)，試說明該單位選擇方案二的合理性：

②若p=l-七，采用方案二總費用的數(shù)學(xué)期望低于方案一，求上的最大值.

參考數(shù)據(jù)：加2=0.7,歷3=1.1,歷7=1.9,血10=2.3,加11=2.4

【解析】解：(1)X的可能值為1和火+1,P(X=l)=(I-p)\P(X=H1)=1-(1-p)*

所以隨機變量X的分布列為：

X1k+1

P(1-p)k1-(1-p)及

所以E(X)=1X(1-p)k+(Hl)X[1-(1-p)k]=k+\-kCl-pyk.

(2)①設(shè)方案總費用為匕方案一總費用為Z,

則丫=。乂+*￡1,所以方案二總費用的數(shù)學(xué)期望為：E(K)=aE(X)+=a[fc+1-/c(l-p)fc]+1a,

C9Q

又k=5,所以E(y)=a[6-5(1-p)5]+*=-5a(l-p)5+孑a,

又方案一的總費用為Z=5a,

所以Z—E(Y)=a-[5(1-p)s-電，

當(dāng)0<pVl-V^時，<(1-p)5<l-0<5(l-V?，又40,

所以z>E(y),所以該單位選擇方案二合理.

②由①知方案二總費用的數(shù)學(xué)期望E(y)=a￡(X)+|a=a[fc+l-fc(l-p)k]+1a,

當(dāng)p=1一七時，E(Y)=a[k+l-fc(7^)k]fc+1a=a(fc+1-/ce-7),

又方案一的總費用為Z=以，

ak

令E(Y)<Z得：a(k+X-ke-7)Vak,

Qkkq

所以a(k+*-ke-7)Vak,即Ae'〉*

knbq

即仇(Zee7)?彳，所以仇k—,一仇4>0,

YQ

設(shè)f(%)=伍》—y—Zn^x6[2,+co),

117—y

所以f-y=-7^-，工€[2，4-00),

令f(x)>0得2WxV7,f(x)VO得x>7,

所以/(x)在區(qū)間[2,7)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(7,+8)上單調(diào)遞減，

OO

/(x)w^=/(7)=/n7-1-2Un3-ln2)=0.1>0,f(8)=3伍2--2(仇3-仇2)=5"2—2"3—，二

1.3-8y>0,f(9)=2ln3一9尹2(伍3-/2)=2ln2-9^=1.4-9y>0,/(10)=InlO一10號一2(仇3—ln2)=

1.5-￥>0,

1111,1212

/(11)=/nil——2(仇3—Zn2)=1.6—y〉0,f(12)=/nl2—7—2(/n3—/2)=4/n2—Zn3—可二

12

1.7y-V0,

所以火的最大值為11.

2.冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征

CSARS)等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒CnCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀

病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴

重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.

某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有〃(neN*)份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗〃次.

方式二：混合檢驗，將其中k(依N*且k22)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，

這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k

份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這A份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為什1.

假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果

的概率為p(0<pVl).現(xiàn)取其中％(髭N*且％22)份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總

次數(shù)為日，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為

(1)若E(耳)=￡(七)，試求p關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式p=/(&);

(2)若p與干擾素計量X”相關(guān)，其中xi，xi,—,xn,—(〃，2)是不同的正實數(shù)，滿足制=1且V"6N*

,11112_2

都有x?2(——+——+...------)=e3rn2r5成立

X

X1X2X2X3^21

(i)求證：數(shù)列｛b｝為等比數(shù)列；

(ii)當(dāng)p=l-2時采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期

望值更少，求k的最大值.

【解析】解：(1)解：當(dāng)進行逐份檢驗時，a的取值只有匕所以E(H)=匕

當(dāng)進行混合檢驗時，區(qū)的取值有1，2+1,

其中&=1對應(yīng)的情況為“A份血液混合之后檢驗結(jié)果為陰性”，此時P(匕=1)=(1-p)

區(qū)=&+1對應(yīng)的情況為“k份血液混合之后檢驗結(jié)果為陽性，隨后對&份血液進行逐份檢驗”，

此時P(匕=-1)=1-(1-p)&,

所以E(交)=(1-p)k+(Ar+l)[1-(1-/?)k]=k+l-k(\-p)k,

令E(a)=E&),即—l-k(l-p)k,所以(1-p)k=p即p=l-(/,(kGN*且42).

11

22-

(2)(i)證明：Vxn+1—xn=(e3—e3)xt1xn+\,

y2V*211Y1d

.An+1人？i--―?xn+lxn-

??-------------------------=e3-e3,..------------------=e3——,

xnxn+lxnxn+lxnxn+l

.\-n+-=后或血+乙=-e-3(舍)，

xnxn

1

是以1為首項，以e3為公比的等比數(shù)列.

1

(")解：???{X"}是以1為首項，以e$為公比的等比數(shù)列.

1――1*

：.xn=(e3)n-i=e~,(nGN),

?，?%4=e,?，?p=l-

由題意知E(a)>E(登)，則有Q/+1-*(1-p)k,

整理得加l一累>0,

構(gòu)造p(x)=lnx—(x>0),則p'(x)-

當(dāng)(0,3)時，p'(x)>0,當(dāng)xW(3,+8)時，p'(x)<0,

：.p(x)在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3,+8)上單調(diào)遞減，

而p(4)>0,p(5)<0,

.,/的最大值為4.

3.據(jù)相關(guān)部門統(tǒng)計，隨著電商網(wǎng)購的快速普及，快遞包裝業(yè)近年來實現(xiàn)了超過50%的高速年均增長.針對

這種大好形式，某化工廠引進了一條年產(chǎn)量為1000萬個包裝膠帶的生產(chǎn)線.已知該包裝膠帶的質(zhì)量以某項

指標值志為衡量標準.為估算其經(jīng)濟效益，該化工廠先進行了試生產(chǎn)，并從中隨機抽取了1000個包裝膠帶，

統(tǒng)計了每個包裝膠帶的質(zhì)量指標值4,并分成以下5組：[50,60),[60,70),[90,100],其統(tǒng)計結(jié)果

及產(chǎn)品等級劃分如表所示：

質(zhì)量指標值k[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

產(chǎn)品等級A級B級C級。級廢品

頻數(shù)16030040010040

試利用該樣本的頻率分布估計總體的概率分布，并解決下列問題(注：每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值):

（1）由頻數(shù)分布表可認為，該包裝膠帶的質(zhì)量指標值k近似地服從正態(tài)分布N（p,。2）,其中卜1近似為樣

本平均數(shù)正。近似為樣本的標準差s,并已求得SP10.03.記X表示某天從生產(chǎn)線上隨機抽取的30個包裝

膠帶中質(zhì)量指標值上在區(qū)間（50.54,80.63］之外的包裝膠帶個數(shù)，求P（X=1）及X的數(shù)學(xué)期望；（精確到

0.001）

（2）已知每個包裝膠帶的質(zhì)量指標值上與利潤y（單位：元）的關(guān)系如表所示：（花（1,4））

質(zhì)量指標值左[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

利潤y5t3t21t-5e

假定該化工廠所生產(chǎn)的包裝膠帶都能銷售出去，且這一年的總投資為5000萬元（含引進生產(chǎn)線、興建廠房

等等一切費用在內(nèi)），問：該化工廠能否在一年之內(nèi)通過生產(chǎn)包裝膠帶收回投資？試說明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量Z?N（p,。2）,則P（|j-o<ZWp+。）=0.6827,P（p-2。<ZWp+2。）=0.9545,

尸（R-3。<ZW“+3。）=0.9973,0.818629=?0.0030,

【解析】解：（1）由題意知：

中間值5565758595

概率0.160.30.40.10.04

/.樣本平均數(shù)為元=55X0.16+65X0.3+75X0.4+85X0.1+95X0.04=70.6.

(u-2。，n+o]=(70.6-20.06,70.6+10.03]=(50.54,80.63],

11

而P(〃—2a<k<n+o')=2P("一<^+<r)+2PQi-2a<k4〃+2。)=0.8186.

從而質(zhì)量指標值k在區(qū)間(50.54,80.63]之外的概率為0.1814.

29

因此P(X=1)=C^o(0.8186)x0.1814?3OXO.OO3OXO.1814=0.016326^0.016.

X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=30X0.1814=5.442.

(2)由題意可知，該包裝膠帶的質(zhì)量指標值%與對應(yīng)概率如下表所示：(l<f<4)

質(zhì)量指標值k150,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

利潤y5t3t2tt-5e

P0.160.30.40.10.04

故每個包裝膠帶的利潤），=5/X0,l6+3/X0.3+2fX0.4+/X0.1-0.2/=-0.2e+2.6z.

貝!Jy'=-0.2e'+2.6=-0.2（e-13）,

令y'=0,得

故當(dāng)士（1,In13）時，y'>0,當(dāng)花（In13,4）時，/<0,

所以當(dāng)13-2.6時，y取得最大值，-O.2e='"+2.6X1”13--2.6+2.6X.2.6=4.16（元），

由己知，該生產(chǎn)線的年產(chǎn)量為100（）萬個，故該生產(chǎn)線的年盈利的最大值為4.16X1000=4160（萬元），

而4160萬元<5000萬元，故該化工廠不能在一年之內(nèi)通過銷售包裝膠帶收回投資.

4.政府機構(gòu)改革是深化管理體制改革的重要組成部分，按照精簡、統(tǒng)一、效能的原則和決策權(quán)、執(zhí)行權(quán)、

監(jiān)督權(quán)既相互制約又相互協(xié)調(diào)的要求，著力優(yōu)化組織結(jié)構(gòu)、規(guī)范機構(gòu)設(shè)置、完善運行機制.為調(diào)研某地社

保中心的改革情況，現(xiàn)特地對某市醫(yī)保報銷流程的簡化過程以及老百姓報銷所花費的時間是否有所減少作

了調(diào)查統(tǒng)計.假設(shè)報銷時所需攜帶的資料已經(jīng)搜集齊全的情況下，來統(tǒng)計將各種所需資料帶齊到當(dāng)?shù)厣绫?/p>

中心相關(guān)部門申請辦理，經(jīng)審核等各流程辦理通過所花費的時間，為此，在該市社保中心的60名報銷人員

中進行隨機抽樣，共抽取10人進行調(diào)查反饋，所選報銷人員情況如表所示：

組別|辦理時間《位：而加)|人數(shù)

-[0,10)1

二[10,20)5

三[20,30)3

四[30,40J1

(1)估計這60名報銷人員中辦理時間大于等于10分鐘且小于30分鐘的人數(shù)；

(2)現(xiàn)從這10人中隨機抽取2人，求這2人全部不來自于第二組的概率；

(3)現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人進行問卷調(diào)查，設(shè)這3個人共來自X個組，求隨機變量X的分布列及數(shù)

學(xué)期望.

【解析】解：(1)在所抽取的10人進行調(diào)查的樣本中，

5+34

辦理時間大于等于10分鐘且小于30分鐘的頻率是一7=

105

...估計這60名報銷人員中辦理時間大于等于10分鐘且小于30分鐘的人數(shù)為：60x|=48.

(2)記“從這10人中隨機抽取2人，這2人全部不來自于第二組”為事件，

???這10人中，來自第二組的有5人，不是來自第二組的有5人，

,從這10人中隨機抽取2人，

基本事件總數(shù)n=Cf0=45,

這2人全部不來自于第二組包含的基本事件個數(shù)m=Cl=10,

.?.這2人全部不來自于第二組的概率P=曰=,=系

(3)由題意，X的所有可能取值為1,2,3,

QQ

P(x=l)-C5+C3_11

p)-「3-i2(r

c10

p(Yf-c\cl+clcl+clcl+clcl+c\cl+c{cl_71

F(X—2)----------------73-----------------120-

c10

P(X—3)-Z3—120,

L10

的分布列為：

X123

p117138

120120120

￡（X）=1xj2o+2x120+3x120=40'

5.十九大提出：堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，做到精準扶貧.某縣積極引導(dǎo)農(nóng)民種植一種名貴中藥材，從而大大

提升了該縣村民的經(jīng)濟收入.2019年年底，該機構(gòu)從該縣種植的這種名貴藥材的農(nóng)戶中隨機抽取了100戶，

統(tǒng)計了他們2019年因種植，中藥材所獲純利潤（單位：萬元）的情況（假定農(nóng)戶因種植中藥材這一項一年

最多獲利11萬元），統(tǒng)計結(jié)果如表所示：

分組[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,H]

頻數(shù)1015452010

（1）由表可以認為，該縣農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤Z（單位：萬元）近似地服從正態(tài)分布N",。2）,

其中H近似為樣本平均數(shù)元（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值），。2近似為樣本方差$2七2.J.若該縣有1萬戶農(nóng)

戶種植了該中藥材，試估算所獲純利潤Z在區(qū)間（1.9,8.2）的戶數(shù)；

（2）為答謝廣大農(nóng)戶的積極參與，該調(diào)查機構(gòu)針對參與調(diào)查的農(nóng)戶舉行了抽獎活動，抽獎規(guī)則如下：在一

箱子中放置5個除顏色外完全相同的小球，其中紅球1個，黑球4個.讓農(nóng)戶從箱子中隨機取出一個小球，

若取到紅球，則抽獎結(jié)束；若取到黑球，則將黑球放回箱中，讓他繼續(xù)取球，直到取到紅球為止（取球次

數(shù)不超過10次）.若農(nóng)戶取到紅球，則視為中獎，獲得2000元的獎勵，若一直未取到紅球，則視為不中獎.現(xiàn)

農(nóng)戶張明參加了抽獎活動，記他中獎時取球的次數(shù)為隨機變量X,他取球的次數(shù)為隨機變量K

（i）證明：｛尸（X=〃）｝（〃€N*,1W〃W1O）為等比數(shù)列；

5）求y的數(shù)學(xué)期望.（精確到o.ooi）

參考數(shù)據(jù)：0.8940.1342,0/°七0.1074.若隨機變量Z?N（p,o2）,則P（四-。<ZWp+。）=0.6827,

P（H-2a<Z<H+2O）=0.9545.

【解析】解：（1）由題意知：

中間值246810

概率0.10.150.450.20.1

所以樣本平均數(shù)為元=2x0.1+4x0.15+6x0.45+8x0.2+10x0,1=6.1(萬元),

所以Z?N(6.1,2.12),

所以(廠2。，)=(1.9,8.2),

而P(〃—2a<Z+。)=>-°<z+。)+/(4-2a<Z+2a)=0.8186.

故1萬戶農(nóng)戶中，Z落在區(qū)間(1.9,8.2)的戶數(shù)約為10000X0.8186=8186.

1

(2)(/)每次取球都恰有g(shù)的概率取到紅球.

則有P(x=n)=(l-H@….若翳=與7=?

故｛P(X=〃))(nGN*,1W〃W1O)為等比數(shù)列.

(〃)由(/)可知，當(dāng)"W9時，P(X=〃)=P(y=”)，P(Y=10)=(1)9.

故y的數(shù)學(xué)期望為:

141414

4V)89z9

I--X---X-X+(-X

55555v510

1444

89

口+x+z\

=X—XX

--91\(-7

555y510

44

設(shè)8

s=1+--X%

55

.44424n

則gS=-X1+(-)2X2+???+(式X9,

14

兩式作差得gS=5-14x(-)9,

1電44

9rA9x\95

-=5X-+oX-!=9

514v5Jt574X4)Z5—4x0.1342?4.463.

6.當(dāng)前，全球貿(mào)易格局發(fā)生重大變化，隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級，讓越來越多的中國科技企業(yè)開始意識

到自主創(chuàng)新的重要性，大大加強科技研發(fā)投入的力度，形成掌控高新尖端核心技術(shù)及其市場的能力.某企

業(yè)為確定下一年對某產(chǎn)品進行科技升級的研發(fā)費用，需了解該產(chǎn)品年研發(fā)費用x（單位：千萬元）對年銷售

量y（單位：千萬件）和年利潤z（單位：千萬元）的影響.根據(jù)市場調(diào)研與模擬，對收集的數(shù)據(jù)（為，9）

（i=l,2,3,…，10）進行初步處理，得到散點圖及一些統(tǒng)計量的值如下:

￡巴E昌黨鵡

30.5151546.5

表中Uj—lnxi，Vj—lnyi.

（1）根據(jù)散點圖判斷，與），=cx"哪一個更適合作為年銷售量y關(guān)于年研發(fā)費用x的回歸方程類型

（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立），關(guān)于x的回歸方程；

附：對于一組數(shù)據(jù)（，“，V,）（/=1,2,3,…，〃），其回歸直線》=￡“+a的斜率和截距的最小二乘估計分

別為,=垢（％一m）（巧一力=必必/一陞而

a—V—Pu.

'￡%（%一正產(chǎn)_睹1心一疝2'

（2）已知年利潤z與x,y的關(guān)系為z=^y-x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），要使企業(yè)下一年的年利潤最

大，預(yù)計下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費用？

（3）科技升級后，該產(chǎn)品的效率X大幅提高，經(jīng)試驗統(tǒng)計得X大致服從正態(tài)分布N（0.52,0.012）.企業(yè)

對科技升級團隊的獎勵方案如下：若X不超過50%,不予獎勵；若X超過50%,但不超過53%,每件產(chǎn)品

獎勵2元；若X超過53%,每件產(chǎn)品獎勵4元.記丫為每件產(chǎn)品獲得的獎勵，求E（Y）（精確到0.01）.

附：若隨機變量X?N（^,。2）（。>0）,貝UP（口-o<XW|i+。）=0.6827,P（|i-2o<X<p+2。）=

0.9545.

10

::????

4..,

2：

u24681012141618202224262830

【解析】解：（1）根據(jù)散點圖可判斷，y=c/適合作為年銷售量y關(guān)于年研發(fā)費用工的回歸方程類型.

對y=cx”兩邊取對數(shù)，得biy=lnc+d【nx,即v=lnc+duf

gi°iiRj—10uvmr_inxiciAi

由表中數(shù)據(jù)得：v=u=1.5,d=——----f1八乂1二=，，/nc=v-du=1.5-□x1.5=1,Ac

￡10虱.2_10五440.3-1UX1.3X1.0o3

i=l

1

所以y關(guān)于x的回歸方程為y=ex3；

12

(2)由題意可得z(x)=27x5—%,z(x)=9x?百一1,令z'(x)=0,得x=27.

當(dāng)(0,27)時，z'(x)>0,z(x)單調(diào)遞增；當(dāng)(27,+~)時，z'(x)<0,z(x)單調(diào)遞減,

故預(yù)計下一年投入x=27千萬元時，年利潤最大;

(3)因為廠2。=0.5,口+。=0.53,：.P(0.50VXW0.53)=P(廠2。<X^p+o)=P(廠2。<X^\i

-。）+尸（廠。VXW[1+。）

0.9545-0.6827=o.8186,P(X>0,53)=P(X>u+。)=一。產(chǎn)，

+06827

：.E（H=0+2X0.8186+4x1-0^827=2.2718=?2.27（元）.

7.某同學(xué)使用某品牌暖水瓶，其內(nèi)膽規(guī)格如圖所示.若水瓶內(nèi)膽壁厚不計，且內(nèi)膽如圖分為①②③④四

個部分，它們分別為一個半球、一個大圓柱、一個圓臺和一個小圓柱體若其中圓臺部分的體積為5211c帚，

且水瓶灌滿水后蓋上瓶寒時水溢出等c〃廣記蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為匕

（1）求V：

（2）該同學(xué)發(fā)現(xiàn)：該品牌暖水瓶盛不同體積的熱水時，保溫效果不同.為了研究保溫效果最好時曖水瓶的

盛水體積，做以下實驗：把盛有最大盛水量V的水的暖水瓶倒出不同體積的水，并記錄水瓶內(nèi)不同體積水

在不同時刻的水溫，發(fā)現(xiàn)水溫y（單位：。C）與時刻f滿足線性回歸方程y=cr+d,通過計算得到如表：

倒出體積XC77?0306090120

擬合結(jié)果y=c\t+dy=C2，+dy=C3t+dy=C4t+dy=C5t+d

倒出體積xcm150180210???450

擬合結(jié)果y=cet+dy=cjt+dy=c"+d???y=c\(,t+d

注：表中倒出體積x（單位：。/）是指從最大盛水量中倒出的那部分水的體積.其中:

ClCCC

23c45

-1.4-1.3-1.2-1-1.1-0.9-0.8

令w=|c|,|w,=Ci|,芍=30(i-1),i=l,2,16.對于數(shù)據(jù)(x,>g)(i=l,2,…，7),可求得回歸

直線為L：w=0x+a,對于數(shù)據(jù)(即,加(i=8,9,…，16),可求得回歸直線為反：w=0.0009x+0.7.

9

(i)指出|c|的實際意義，并求出回歸直線〃的方程(參考數(shù)據(jù)：—?0.0032；)

(ii)若匕與“的交點橫坐標即為最佳倒出體積，請問保溫瓶約盛多少體積水時(盛水體積保留整數(shù)，且

n取3.14)保溫效果最佳？

附：對于一組數(shù)據(jù)(“1，VI),(U2,V2)<…，(un)Vn),其回歸直線V=B“+a中的斜率和截距的最小二乘估

計分別為歸^…

【解析】解：(1)依題意得，半球的半徑為/?=5,加，

體積為匕=1xx1257T=7tcm3,

2

大圓柱體積V2=25irX20=500ncffl,

小圓柱體積V3=4irX2=8nc/n3,

蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為飛-7T+500n+8Tt+52n—學(xué)兀=640Ttc〃」.

(2)(i)|c|的實際意義為倒出Ka/體積水時，暖水瓶內(nèi)水的降溫速率|d越小,

降溫速率越小，保溫效果越好，

|c|越大，降溫速率越大，保溫效果越差,

?.”,=30(/-1),i=l,2,7,對于回歸直線4：3=0x+a,

_巧+犯+…+及3]+%+…+但7_

.人—1,11=90>0)=

77

(X,-x)(a)t-aj)=-81,Et=i出一元)=25200,

"，渭M=-嬴、-°0032*

a=co-px=\A+0.0032X90=1.388.

.,.回歸直線L\的方程為3=-0.0032%+1.388.

(n)聯(lián)立產(chǎn)=2：：588,得E67.8,

1川=0.0009%+0.7

...保溫瓶最佳倒出體積約為167.8C〃F.

保溫瓶盛水體積約為640TT-167.8-640X3.14-167.8=1841.8。/,

...保溫瓶盛水體積約為1841.8°〃3時保溫效果最佳.

8.隨著社會的發(fā)展進步，人類對能源的需求加大，近年來，世界各國都重視新能源的開發(fā)與利用.我國也

加大了對新能源的研發(fā).比如，國內(nèi)某汽車品牌研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對1000輛汽車進行了

單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能提供給車行駛的最遠里程）的測試.測

試數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：

（1）估計這1000輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值元（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）.

（2）根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)本款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N（H，。2）,經(jīng)計

算第（1）問中樣本標準差s的近似值為50.用樣本平均數(shù)元作為u的近似值，用樣本標準差s作為。的估

計值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在200千米到350千米之間的概率.

（3）某汽車經(jīng)銷商為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可通過轉(zhuǎn)

轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤為圓形，沿直徑一分為二，涂藍綠二色）的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車

1

停在“勝利大本營”，可獲得購車優(yōu)惠券.顯然轉(zhuǎn)到藍、綠的概率都是3,方格圖上標有第o格、第1格、

第2格、……、第2020格.遙控車開始在第0格，客戶每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，遙控車向前移動一次，若轉(zhuǎn)到藍色，

遙控車向前移動一格（從k到A+1）,若轉(zhuǎn)到綠色，遙控車向前移動兩格（從々到k+2）,直到遙控車移到第

2019格（失敗大本營）或第2020格（成功大本營）時，游戲結(jié)束，設(shè)遙控車移到第〃格的概率為P”（〃=

1,2,2020）,其中尸o=L試說明（〃=1,2,2019）是等比數(shù)列，并解釋此方案能否

成功吸引顧客購買該款新能源汽車.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量《服從正態(tài)分布N（山。2）,則：P（“-。V《Wn+。）弋0.6827；「（內(nèi)2。＜《

Wu+2。）七0.9545；P（口-3。＜WW（i+3。）~0.9973.

單次奴人續(xù)航里片/T米

【解析】解：（1）%=0.1x205+0.2x255+0.45x305+0.2x355+0.05X405=300；

682709545

（2）P（2OOWXW35O）=P（300-2X50WXW300+50）=P（p-2。WX＜u+。）=0-+=0.8186；

（3）由題設(shè)：遙控車移到第〃（2W〃W2019）格有下列兩種情況：

①先移到第2格，又轉(zhuǎn)到綠色，其概率為[2人2；

②先移到第格，又轉(zhuǎn)到藍色，其概率為：尸”1，

111

.?.匕=*Pn_2+*Pn-l（2W〃W2019）,得=_*（Pn-]_Pn-2）-

又Pl-Po=-熱，｛P"-*｝是以Pl-Po=—奶首項，一奶公比的等比數(shù)列.

得力-Pn-1=(-5)n.累加得分-P=二￥"即&='+W.(-》”?

J1一(一力0°°L匕

?C_21、，1n_1n1_1,1?1

,.尸2019=3-3X22019,，2°20=2七018=20+WX22018)=3+3X22019,

???々。2。<巳。19,即此方案不能吸引顧客購買該款新能源汽車.

9.一只螞蟻在如圖所示的棱長為1米的正四面體的棱上爬行，每次當(dāng)它到達四面體頂點后，會在過此頂點

的三條棱中等可能的選擇一條棱繼續(xù)爬行(包含來時的棱)，已知螞蟻每分鐘爬行1米，f=0時螞蟻位于點

A處.

(1)2分鐘末螞蟻位于哪點的概率最大；

(2)記第"分鐘末螞蟻位于點A,B,C,。的概率分別為P”(A),Pn(B),Pn(C),P,,(￡>).

①求證：Pn(B)=P“(C)=P“(￡>)；

②辰辰同學(xué)認為，一段時間后螞蟻位于點A、B、C、。的概率應(yīng)該相差無幾，請你通過計算10分鐘末螞蟻

位于各點的概率.解釋辰辰同學(xué)觀點的合理性.

附：&)9a5x10-5,(1)1017x10-5；(｝9al.9X10-9,($1029.8X10-4.

111

【解析】解：(1)解：由題可知，在1鐘末螞蟻位于A、B、C、。點的概率分別為0,-，-

333

故2分鐘末位于A點的概率2(4)=i.1+r5+5,5=r

位于8的概率等于P(B)H+犯=|

同理，位于C、O的概率也等于:，

2分鐘末螞蟻位于A點的概率最大.

(2)①證明：記第"分鐘末螞蟻位于A、B、C、。點的概率分別為尸〃(A)、P“(B)、P?(C)、Pn(D),

11

則8n+i=式乙+C"+on)=3(1-%),

同理：Cn+】=](1-Cn),相減得Bn+i-g+i=V(Bn-Cn)Bn-Cn=(8i-G),(V)nT,

又=Bn-Cn=O,&=Cn，同理可得Cn=?！倍慨a(chǎn)中?！?/p>

故P”(B)=Pn(C)=Pn(D).

②解：?.4+1=女1—An）,.Mn+l-寺=一打“一》，

二數(shù)列出-J是公比為一翔等比數(shù)列，

4討=14一/=（一》（一扔A（=*+（-3（一扔一

「?Ao=1+（—》（—3%同理Bi。=1+（卷）（_3、

1111111

?"10-反。=6+（一分（_.9）_G+（金）（_$9）=（一護X1.7X10-5,

又晶=3=。"，，1。分鐘末螞蟻位于A、B、C、。點的概率相差無幾，

第〃（n>10）分鐘末螞蟻位于A、B、C、。點的概率之差將會更小，所以辰辰的話合理.

10.“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本.”在中華民族幾千年綿延發(fā)

展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律.愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進行科

技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如

下：

X2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

當(dāng)0V%W17時，建立了y與x的兩個回歸模型，模型①：y=4.b+11.8；模型②：y=21.3%-14.4.當(dāng)x>

17時，y與x滿足的線性回歸方程為y=-0.7x+a.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<xW17時模型①和模型②的相關(guān)指數(shù)記,從而選擇擬合精度更高、

更

可靠的模型，并據(jù)此預(yù)測當(dāng)“東方紅”款高端汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益；

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1x+11.8y=21.3Vx—14.4

2匕(y.-yD2182.479.2

（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為

預(yù)測

依據(jù)，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大??；

（3）科技改造后，“東方紅”款高端汽車發(fā)動機的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N（0.52,0.012）,

公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發(fā)動機的熱效率不超過50%,則不予獎勵；若發(fā)動機的熱效率超

過50%但不超過53%,則每臺發(fā)動機獎勵2萬元;若發(fā)動機的熱效率超過53%,則每臺發(fā)動機獎勵5萬元.求

每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望.

附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)M=i—整出留，V17?4.l.用最小二乘法求線性回歸方程丫="+。的

4U-「刃

系數(shù)公式：b=型正必一"：2'=』四T）?二）;a=y-bx.隨機變量W服從正態(tài)分布N（山。2）,

￡%呼-nx說1（看一嗎

則P（|i-。<f<U+o）=0.6827,P（n-2o<^<p+2o）=0.9545.

1824792

【解析】解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>79.2,即不?~-一

22

ZF=i（yz-y）Zz=1Cvi-y）

所以模型①的儲小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好.

所以當(dāng)x=17億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值為：

y=21.3x<17-14.4=72.93(億元).

（2）由已知可得：M一20=1+2+；+4+5=3,

8.5+8+7.5+6+6

Ax=23,y-60==7.2,Ay=67.2,

5

Aa=y4-0.7%=67.2+0.7X23=83.3,

，當(dāng)x>17億元時，y與x滿足的線性回歸方程為：y=-0.7X+83.3,

/.當(dāng)x=20億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值y=-0.7X20+83.3=69.3,

當(dāng)x=20億元時，實際收益的預(yù)測值為69.3+10=79.3億元>72.93億元,

二技改造投入20億元時，公司的實際收益的更大.

(3)'：P(0.52-0.02<X<0.52+0.02)=0.9544,

1+095441—09544

P(X>0.50)==0.9772,P(XW0.5)==0.0228,

,：P(0.52-0.01<X<0.52+0.01)=0.6826,

1-0.6826

：.P(X>0.53)=0.1587,

2

：.P(0.50VXW0.53)=0.9772-0.1587=0.8185,

設(shè)每臺發(fā)動機獲得的獎勵為y（萬元），則y的分布列為：

Y025

P0.02280.81850.1587

,每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望為E（丫）=0X0.0228+2X0.8185+5X0.1587=2.4305（萬元）.

11.2020年春節(jié)期間，武漢市爆發(fā)了新型冠狀病毒肺炎疫情，在黨中央的堅強領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民團結(jié)一心，

眾志成城，共同抗擊疫情.某中學(xué)寒假開學(xué)后，為了普及傳染病知識，增強學(xué)生的防范意識，提高自身保

護能力，校委會在全校學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關(guān)知識有獎競賽（滿分100分），競賽

獎勵規(guī)則如下，得分在［70,80）內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在［80,90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在［90,100］

內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎.教務(wù)處為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取了100名學(xué)生

的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

（1）現(xiàn)從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率；

（2）若該校所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布N（山。2）,其中。r15,“為樣本平均數(shù)的估計值，

利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：

（i）若該校共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整

數(shù)）；

（n）若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機抽取3名學(xué)生進行座談，設(shè)其中競賽成績在64分

以上的學(xué)生數(shù)為講求隨機變量W的分布列和均值.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N（U，。2）,則P（廠。<XWn+。）g0.6827,P（四-2。<XW“+2。）

【解析】解：（1）由樣本頻率分布宜方圖得樣本中獲一等獎的6人，獲二等獎的8人，

獲三等獎的16人，共30人獲獎，70人沒有獲獎，

從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績，基本事件總數(shù)為〃=Cf00,

設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎”為事件4,

則事件A包含的基本事件的個數(shù)為m=GoCA，

???這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率"（A）=約匾=笠.

Goo

（2）由樣本頻率分布直方圖