有關(guān)線性代數(shù)的矩陣方面的問(wèn)題

第三章矩陣

3.1矩陣及其運(yùn)算由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡(jiǎn)稱矩陣.記作簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.主對(duì)角線副對(duì)角線例如是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣.例如是一個(gè)3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.

全為1定義1矩陣的運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為說(shuō)明

只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如2、矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律定義2數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè)為矩陣，為數(shù)）cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aisbsj（即cij等于A的第i行與B的第j列對(duì)應(yīng)元素積之和）例1

計(jì)算下列乘法：1)2)3)=[5]一般，AB≠BA設(shè)A=[aij]m×s,B=[bij]s×n,定義：AB=[cij]m×n定義3注意

只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例如不存在.矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）;若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且注意

矩陣不滿足交換律，即：例

設(shè)則但也有例外，比如設(shè)則有例3

計(jì)算下列乘積：解解=(）解例4由此歸納出用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，顯然成立.假設(shè)時(shí)成立，則時(shí)，所以對(duì)于任意的都有定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例（1）轉(zhuǎn)置矩陣矩陣的其它運(yùn)算轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)例5已知解法1解法2（2）方陣的行列式定義

由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)定義1分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，3.2n元向量及其線性相關(guān)

n維向量的表示方法

維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示，如：

維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：注意

１．行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；

３．當(dāng)沒(méi)有明確說(shuō)明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量.定義2a,b為數(shù)域F上的n元向量，，將a，b的對(duì)應(yīng)分量相加所得的n元向量稱為a與b的和，記為a+b；將k乘a的每一個(gè)分量所得的n元向量，稱為k與a的數(shù)量乘積，記為ka.定義3線性組合

向量能由向量組線性表示．注意定義4則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)．定理向量組（當(dāng)

時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示．證明充分性

設(shè)中有一個(gè)向量（比如）能由其余向量線性表示.即有故因這個(gè)數(shù)不全為0，故線性相關(guān).必要性設(shè)線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使因中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線性表示.證畢.推論1兩個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是它們的對(duì)應(yīng)分量成正比（或稱這兩個(gè)向量成正比）推論2含零向量的向量組線性相關(guān)推論3線性無(wú)關(guān)向量組的不分組線性無(wú)關(guān)定理若線性無(wú)關(guān)而線性相關(guān)則可唯一表為的線性組合。證明及例題見(jiàn)書383.3向量組的秩向量組的等價(jià)具有以下性質(zhì)：1任意一組向量與它自身等價(jià)；2如果組（1）與組（2）等價(jià)，組（2）與組（3）等價(jià)，那么組（1）與組（3）等價(jià)。定義2最大線性無(wú)關(guān)向量組最大無(wú)關(guān)組定義3向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩有定義可得如下重要結(jié)論：1等價(jià)向量組等秩2向量組的秩是r，則向量組中任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組。3向量組線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它的秩等于它所含向量的個(gè)數(shù)定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:3.4矩陣的秩與初等變換定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,

且變換類型相同．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)矩陣的秩定義2矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩，分別稱為A的行秩和列秩。定理3.4.1矩陣的行（列）初等變換不改變矩陣的行（列）秩。定理3.4.2矩陣的行秩與列秩相等。例1解例2解例3解計(jì)算A的3階子式，另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡(jiǎn)單！問(wèn)題：經(jīng)過(guò)變換矩陣的秩變嗎？證矩陣秩的求法經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變．證畢初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4解由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知?jiǎng)t這個(gè)子式便是的一個(gè)最高階非零子式.例5解分析：用矩陣的初等行變換解方程組（1）：特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．

行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．例如，特點(diǎn)：所有與矩陣等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣.定義由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.3.5初等矩陣則矩陣稱為的可逆矩陣或逆陣.3.6可逆矩陣

一、概念的引入在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，有其中為的倒數(shù)，（或稱的逆）；在矩陣的運(yùn)算中，單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1，那么，對(duì)于矩陣，如果存在一個(gè)矩陣,使得二、逆矩陣的概念和性質(zhì)定義

對(duì)于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣

則說(shuō)矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.,使得例設(shè)說(shuō)明

若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.若設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的,即例設(shè)解設(shè)是

的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法又因?yàn)樗远ɡ?

矩陣可逆的充要條件是，且