5.4 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 -(選擇性必修第二、三冊)(教師版)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1極值的概念若在點x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0,則a稱為函數(shù)y=f(x)的極小值點，若在點x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則b稱為函數(shù)y=f(x)的極大值點，極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．PS：①把函數(shù)圖象看成一座“山脈”，極大值就是“山峰”，極小值就是“山谷”，如下圖；②極值是“函數(shù)值y”，極值點是“自變量x值”，如下圖有極大值f?1和f(1)，極小值f?2和f(2)，極大值點?1和1，極小值點?2和③對于極值還有特別強調(diào)一下Eg設(shè)x0是函數(shù)y=fA.必有f'x0C.f'x0=0或f解析：函數(shù)fxf'但x<0時，f'x>0故根據(jù)極值的定義，0不是函數(shù)fx又如函數(shù)gx當(dāng)x<0時，g'x=?1<0所以gx在x=0處取到極值，但在導(dǎo)數(shù)不存在；故選C總結(jié)①若fx可導(dǎo)，且x0是②若x0是f'x③定義很重要.2求函數(shù)的極值的方法解方程f'(x)=0，當(dāng)(1)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f(2)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)3函數(shù)y=f((1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．【題型一】極值的概念【典題1】【多選題】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，x0(xA．?x∈R,f(x)≤f(x0) B．C．?x0是?f(x)的極小值點 D．?x【解析】對于A，極大值并不一定是最大值，故錯誤；對于B，f(?x)是f(x)關(guān)于y軸對稱的圖象，?x0應(yīng)是f(?x)的極大值點對于C，－f(x)是f(x)關(guān)于x軸對稱的圖象，x0應(yīng)是－f(x)的極小值點，而x0對于D，?f(?x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于原點對稱的圖象，?x0是故選：ABC．【點撥】①熟悉函數(shù)圖象的變換：f(－x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于y軸的對稱圖象，－f(x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于x軸的對稱圖象，－f(－x)相當(dāng)于f(x)關(guān)于原點對稱的對稱圖象；②數(shù)形結(jié)合是個好方法.【典題2】如圖，已知直線y=kx+m與曲線y=f(x)相切于兩點，則Fx=fxA．1個極大值點，2個極小值點 B．2個零點 C．0個零點 D．2個極小值點，無極大值點【解析】由原圖可知，k<0,m>0，設(shè)原圖中的兩切點橫坐標(biāo)為a,b．再在同一坐標(biāo)系中做出y=f(x)與y=kx的圖象如圖：由圖可知，y=f(x)與y=kx沒有公共點，故函數(shù)F(x)沒有零點．直線x=n與y=f(x)、y=kx分別交于點A、B，則F(x)的函數(shù)值可以理解為線段AB長度；由圖可知：當(dāng)x∈(－∞,a)時，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a,c)，當(dāng)x∈(c,b)時，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(b,+∞)時，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增．故a,b是函數(shù)F(x)的極小值點，c是F(x)的極大值點．故選：AC．【點撥】①分析函數(shù)極值可先分析函數(shù)單調(diào)性.②F(x)【典題3】若函數(shù)f(x)=12x2?x+alnx【解析】因為f(x)=1所以f'(x)=x?1+ax=x2所以y=x2?x+a在(0,+∞)有所以△=1?4a>0a>0，解得【點撥】①對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)有n個極值，則導(dǎo)函數(shù)f'(x)有n個零點；②在求解過程中進行轉(zhuǎn)化一定要注意等價轉(zhuǎn)化，本題中不要若f(x)=12x2?x+alnx有兩個不同的極值點?y=x鞏固練習(xí)1(★)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，函數(shù)gA．f(x)在(?∞,?2),(1,2)上為減函數(shù)B．f(x)在(?2,1),(2,+∞)上為增函數(shù)C．f(x)的極小值為f(?2)，極大值為f(2)D．f(x)的極大值為f(?2)，【答案】D【解析】當(dāng)x∈(－∞,－2)時,x－1<0,由圖象可得g(x)=(x－1)f'(x)<0,則f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(－2,1)時,x－1<0,由圖象可得g(x)=(x－1)f'(x)>0,則f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(1,2)時,x－1>0,由圖象可得g(x)=(x－1)f'(x)<0,則f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(2,+∞)時,x－1>0,由圖象可得g(x)=(x－1)f'(x)>0,則f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),所以f(x)的極大值為f(－2),極小值為f(2),結(jié)合選項可知,只有選項D正確．故選：D．2(★)已知函數(shù)f(x)=lnxex的極值點為x=A．(0,12) B．(12,1)【答案】C【解析】f'(x)=令g(x)=1x?lnx,則g(x)單調(diào)遞減且g(1)=1>0,g由零點判定定理可得,x0∈(1,2)．故選：C．3(★★)若函數(shù)fx=x2?(a+2)x+alnx既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】a>0,且a≠2【解析】因為f(x)=x2－(a+2)x+alnx既有極大值又有極小值,且f'(x)=2x所以f′(x)=0有兩個不相等的正實數(shù)解,所以a2>0,且a2≠14(★★)若函數(shù)f(x)=x3?(a2+3)x2+2ax+3【答案】a<6,【解析】f(x)=x則f'(x)=3x由題意得：f'(2)=0,即12－2a－12+2a=0,f'(2)恒為0,∵f(2)是極小值,∴x<2時,函數(shù)單調(diào)遞減,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)f′(x)的對稱軸在x=2的左側(cè),即a+66<2,故a<6,又故a<6,5(★★★)若函數(shù)fx=x3?3ax2+12x(a>0)【答案】(－∞,16)【解析】因為函數(shù)f(x)=x3－3a所以f'(x)=3x2－6ax+12=3(則△=4a2－16>0且a>0,解得所以f(=(=2a(4=－4a令?(a)=－4a3+24a(a>2)即?(a)在(2,+∞)上單調(diào)遞減,所以?(a)<?(2)=16,所以f(x1)+f(【題型二】求函數(shù)極值【典題1】已知函數(shù)fx=xlnx+xA．0<x0<1C．f(x0)+2【解析】∵f'(x)=lnx+1+2x在(0,+∞)時單調(diào)遞增，∴f'(x)=lnx+1+2x至多有一個零點，又f'(1根據(jù)零點判定定理可知f'(x)=lnx+1+2x在(1∵x0是函數(shù)f∴l(xiāng)nx0+1+2x0=0，且而g∵y=gx0在(1∴f(x故選：D．【點撥】①x0是y=lnx+1+2x的零點，可用零點判定定理判斷x②x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點，則滿足f'x【典題2】討論f(x)=x【解析】函數(shù)的定義域為(0,+∞f'令f'(x)=0，得x=?①當(dāng)?m2>1在(0,1)和(?m2，+∞)上，f'(x)>0，在∴當(dāng)x=1時，f(x)取得極大值，當(dāng)x=?m2時，f(x)②當(dāng)?m2=1，即m=?2f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，無極值點；③當(dāng)0<?m2在(0,?m2)和(1,+∞)上，f'(x)>0∴當(dāng)x=?m2時，f(x)取得極大值；當(dāng)x=1時，f(x)④當(dāng)?m2≤0在(0,1)上，f'(x)<0，在(1,+∞)上，故x=1時，函數(shù)求得極小值，無極大值，f(x)只有一個極值點．綜上，當(dāng)m=?2時，f(x)極值點的個數(shù)為0；當(dāng)m≥0時，f(x)的極值點的個數(shù)為1；當(dāng)m<?2或?2<m<0時，f(x)的極值點的個數(shù)為2.【點撥】①討論含參函數(shù)的極值問題，可轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的單調(diào)性問題，導(dǎo)函數(shù)是“二次函數(shù)”型，要注意導(dǎo)函數(shù)有幾個零點，若有兩個零點?m2、1則比較大小，還要注意零點?②分析出導(dǎo)函數(shù)圖象，進而得到原函數(shù)的趨勢圖，便可很容易得到極值個數(shù).【典題3】討論函數(shù)f(x)=xlnx?【解析】fx的定義域是0,+∞，f令gx=lnx?x+a，則g'x當(dāng)x∈(0,1)時，g'x>0當(dāng)x∈(1,+∞)時，g'x<0，gx所以當(dāng)x=1時，f'(x)有極大值(確定f'(x)的最大值a?1，想下函數(shù)圖象a①當(dāng)a?1≤0，即a≤1時，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，此時f(x)無極值，②當(dāng)a>1時，f'f'易證x>1時，ex所以a>1，f'故存在x1,x2滿足當(dāng)x∈(0,x1)時，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(當(dāng)x∈(x2,+∞)所以f(x)在x=x1處有極小值，在綜上所述，當(dāng)a≤1時，f(x)沒有極值點；當(dāng)a>1時，f(x)有2個極值點．【點撥】①求出導(dǎo)函數(shù)f'②當(dāng)a>1時，導(dǎo)函數(shù)f'x=lnx?x+a誤區(qū)1：y=f'x最大值在x軸上方且是“先增后減”，想當(dāng)然說它有兩個零點誤區(qū)2：當(dāng)x→0時，顯然f'x→?∞，當(dāng)x→+∞時，顯然f而因f'1ea+1<0，f'(③那“取點”1ea+1、ea是怎么想到的呢？這需要些技巧，導(dǎo)函數(shù)f'x=lnx?x+a中有參數(shù)a>1，x取常數(shù)是不行的；【典題4】若f(x)=ln(x+1)+a(x(1)求a的取值范圍；(2)證明f(x)的極小值小于?2ln2+1【解析】(1)∵f(x)的定義域為(?1,+∞)，∴f'(x)=1令g(x)=2ax2+3ax+a+1，(y=gg(x)的對稱軸x=?34①當(dāng)△≤0時，即0<a≤8，g(x)≥0，故∴f(x)在(?1,+∞)上單調(diào)遞增，此時f(x)無極值．②當(dāng)△>0時，即a>8，∵g(?1)=g(?12)=1>0∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(?1,?12)不妨設(shè)x1<x∴當(dāng)－1<x<x1時，∴f(x)在(?1,x當(dāng)x1<x<x2時，當(dāng)x>x2時，g(x)>0，∴當(dāng)f(x)有兩個極值點時，a的取值范圍為(8,+∞)．(2)由①可知，函數(shù)f(x)有唯一的極小值點為x2，且?又∵g(x∴fx2=lnx2+1+a=ln=ln(x令gxg'(x)=1x+1?∴g(x)在(?3∴g(x)<g(?34)=?2ln2+12【點撥】①函數(shù)極值問題都可先分析函數(shù)的單調(diào)性得到原函數(shù)的趨勢圖；②第二問是“隱零點問題”，x2的值求不出，用零點判定定理確定范圍?34鞏固練習(xí)1(★★)函數(shù)f(x)=x2(A．f(x)在R上只有一個極值點 B．f(x)在R上沒有極值點 C．f(x)在x=0處取得極值點 D．f(x)在x=?1處取得極值點【答案】C【解析】f'(x)=2x(e令g(x)=2eg'(x)=2e所以當(dāng)x∈(－∞,－3)時,g'(x)<0,當(dāng)x∈(－3,+∞)時,g'(x)>0,所以gx由于g(0)=2e－2>0,所以g(0)g(－3)<0,所以g(x)在(－3,0)上存在一個零點為x0所以f'(x)=0的解為x=0和2e所以函數(shù)f(x)至少存在x=0和x=x0,兩個極值點,故A,B錯誤,因為g－1所以x=－1處沒有取得極值點,故D錯誤．故選：C．2(★★)若x=1是函數(shù)f(x)=x2+ax?1ex的極值點，則【答案】5e－2【解析】f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax－1)ex=[x2+(a+2)x+a－1]ex,由題意可得,f′(1)=2(a+1)e=0,則a=－1,f′(x)=[x2+(a+2)x+a－1]ex=(x+2)(x－1)ex,令f′(x)>0,解得x>1或x<－2,令f′(x)<0,解得－2<x<1,所以函數(shù)f(x)在(－∞,－2),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(－2,1)上單調(diào)遞減,故當(dāng)x=－2時,函數(shù)取得極大值f(－2)=5e－2．故答案為：5e－2．3(★★)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(sinx－cosx)(0≤x≤2021π)，則【答案】e【解析】∵函數(shù)f(x)=ex(sinx－cosx),∴f′(x)=(ex)′(sinx－cosx)+ex(sinx+cosx)′=2exsinx,∴x∈(2kπ,2kπ+π)時f(x)函數(shù)遞增,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)時,函數(shù)f(x)遞減,故當(dāng)x=2kπ+π時,f(x)取極大值,其極大值為f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)－cos(2kπ+π)]=e2kπ+π,又0≤x≤2021π,且x=2021π處不能取極值,∴函數(shù)f(x)的各極大值之和為S=4(★★★)已知函數(shù)f(x)=exx+k(lnx?x)，若x=1是函數(shù)f(x)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是【答案】(－∞,e]【解析】∵函數(shù)f(x)=ex∴x=1是函數(shù)f(x)的唯一一個極值點,∴x=1是導(dǎo)函數(shù)f'(x)=0∴ex－kx=0令g(x)=ex－kx①k≤0時,g'(x)>0恒成立,g(x)在(0,+∞)時單調(diào)遞增,g(x)的最小值為g(0)=1,g(x)=0無解,②k>0時,g'(x)=0有解,為：x=lnk,0<x<lnk時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,lnk<x時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴g(x)的最小值為g(lnk)=k－klnk∴k－klnk>0,畫出函數(shù)y=ex和由y=ex和y=ex圖象,它們切于綜上所述k≤e,故答案為：(－∞,e]．5(★★★)討論f(x)=x?12【答案】當(dāng)a≤0時，f(x)在x=1處取得極小值，極值點只有1個，當(dāng)0<a<2時，f(x)有兩個極值點．【解析】函數(shù)的定義域為(0，+∞)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2(x－1)+a(1∵a<2，∴a①若a2≤0，即a≤0時，則由f'(x)>0由f'(x)<0得a2即當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)取得極小值，此時無極大值，即極值點有1個，②若a2>0，即0<a<2時，則由f'(x)>0由f'(x)<0得即當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)取得極小值，當(dāng)x=a2時，函數(shù)f(x)取得極大值，即極值點有綜上當(dāng)a≤0時，f(x)在x=1處取得極小值，極值點只有1個，當(dāng)0<a<2時，f(x)有兩個極值點．6(★★★★)已知函數(shù)f(x)=e(Ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍；(Ⅱ)當(dāng)a>0時，設(shè)f(x)有兩個不同的極值點x1,x2，且x【答案】(1)a>－1(2)λ≤【解析】(Ⅰ)由題可知f′(x)=ex(x2－a)+ex?2x,令f′(x)=0,其有兩個不相等的實數(shù)根,即x2+2x－a=0有兩個不相等的實數(shù)根,則△=22+4a>0,解得a>－1．(Ⅱ)設(shè)x1,x2是方程x2+2x－a=0的兩個根,且x1<x2,則x1－x2<0,又a>0,所以x1+x2=－2,x1x2=－a<0,x2=－2－x1>0,x1<－2,ex2+λx即ex2+λ(－2－x2)>0恒成立,即ex2>又2+x2>0,所以λ<令函數(shù)g(x2)=ex22+x2,當(dāng)x2>0時,g′(x2)>0,所以函數(shù)g(x2)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(0)=12,所以【題型三】求函數(shù)最值【典題1】下列不等式中恒成立的有()A．lnx+1≥xx+1C．ex≥x+1 【解析】以下運用“構(gòu)造函數(shù)求最值”的方法判斷選項A，設(shè)f(x)=ln(x+1)?xx+1當(dāng)?1<x<0時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時，∴fxmin=f(0)=0，即f(x)≥0∴l(xiāng)n(x+1)≥xx+1(x>?1)選項B，設(shè)gx=lnx?x+1(x>0)，令∴g(x)在0,1上遞增，在(1,+∞)上遞減，∴gx≤g1=0，即選項C，設(shè)?x=e令?'(x)=0，解得x=0，當(dāng)x<0時，?'(x)<0，當(dāng)x>0時，?'(x)>0，?(x)單調(diào)遞增．∴?xmin=?(0)=0∴ex≥x+1選項D，設(shè)tx=cosx?1+1令mx則m'x=?cosx+1≥0恒成立，即m(x)在R∴當(dāng)x<0時，m(x)<0，當(dāng)x>0時，m(x)>0，∴txmin=t(0)=0,即t(x)≥0∴cosx≥1?12x故選：ACD．【點撥】①通過構(gòu)造函數(shù)證明不等式，選項D中運用了二次求導(dǎo)；②研究函數(shù)的最值，其實最終還是回歸到函數(shù)單調(diào)性的分析，注意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的“穿線圖”與原函數(shù)的“趨勢圖”進行分析函數(shù)最值；③熟記ex≥x+1，比如lnx≤x?1令x=【典題2】若函數(shù)fx=23x3?a【解析】函數(shù)fx=2令f'(x)=0，解得x=0或x=a(a<0)，∴x∈(a,0)時，f'(x)<0，fx遞減；x>0或x<a所以函數(shù)在x=a時取得極大值且極大值為f(a)=?a∵函數(shù)fx=23(由于x∈2a,a+1，a+1是不可能超過點M∴f(a+1)≤f(a)=?a即23(a+1)【點撥】①本題的“坑”就在函數(shù)的定義域2a，a+1是個開區(qū)間，②本題還可以令fx=fa=?a3【典題3】已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a>0時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值．(2)在條件(1)下，當(dāng)最小值為?2時，求a的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)fx=ax當(dāng)a>0時，f'(因為x∈[1,e]，所以y=f'(x)中的x>0,2x?1>0①當(dāng)0<1a≤1，即a≥1時，f'x所以f(x)在[1,e]上的最小值是f1②當(dāng)1<1a<e時，即1e<a<1時，f(x)f(x)在[1,e]上的最小值是f1③當(dāng)1a≥e時，即0<a≤1e時，f(x)在[1,e]上的最小值是fe綜上所述，當(dāng)a≥1時，最大值為?2當(dāng)1e<a<1時，最大值為當(dāng)0<a≤1e時，最大值為(3)由(2)a≥1時，f(x)在[1,e]上的最小值是f11e<a<1時，f(x)在[1,e]上的最小值是0<a≤1e時，f(x)在[1,e]上的最小值是綜上可知，a的取值范圍為[1,+∞)．【點撥】①求含參函數(shù)的最值，也需要先分析討論函數(shù)的單調(diào)性，得到導(dǎo)函數(shù)的“穿線圖”和原函數(shù)的“趨勢圖”就很容易確定最值；本題是屬于“一次函數(shù)”型的導(dǎo)函數(shù)分析，注意零點x=1a與定義域端點②在第三問中不要令f1a=?2，fe=?2求1,e之類的特殊值.鞏固練習(xí)1(★)【多選題】已知函數(shù)fx=13xA．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】BCD【解析】由f(x)=13x3+x2－2,得f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(在(－2,0)上是減函數(shù),作出其大致圖象如圖所示,令13x3+x2－2=－2,得x=0或x則結(jié)合圖象可知,?3≤a?2<0a+3>0,解得：a∴a可以?。?,0,1．故選：BCD．2(★★)【多選題】設(shè)f(x)=sinxxaA．當(dāng)a=?1時，M>32 B．當(dāng)a=1C．當(dāng)a=2時，M<3 D．當(dāng)a=3時【答案】AB【解析】對于A：當(dāng)a=－1時,f(x)=xsinx,f′(x)=sinx+xcosx>0,x∈[π6故f(x)在[π6故M=f(π3)=π3對于B：a=1時,f(x)=sinxx,f′(x)=xcosx?sinxx2,令h(x)=xcosx－sin則h′(x)=cosx－xsinx－cosx=－xsinx<0,h(x)在x∈[π6而h(π6)=π6×32?12<0,故f故M=f(π6)=對于C：a=2時,f(x)=則f′(x)=xcosx?2sinxx3,令h(x)=xcosx－2sinx,x則h′(x)=cosx－xsinx－2cosx=－cosx－xsinx<0,故h(x)在x∈[π6,π3]遞減,而h(π6)<0,h(x)在而h(π6)<0,即f′(x)<0,f(x)在x∈[π故M=f(π6)=對于D：a=3時,f(x)=則f′(x)=xcosx?3sinxx4,令h(x)=xcosx－3sinx,x則h′(x)=cosx－xsinx－3cosx=－2cosx－xsinx<0,故h(x)在x∈[π6,π3]遞減,而h(π6)<0,h(x)在而h(π6)<0,即f′(x)<0,f(x)在x∈[π故M=f(π6)=10