專題25平面幾何的最值問題

專題25平面幾何的最值問題專題25平面幾何的最值問題幾何中的最值問題是指在一定條件下，求平面幾何圖形中某個確定量（如線段長度、角度大小、圖形面積等）的最大值或最小值。求解幾何最值問題的基本方法有：1.特殊位置與極端位置法：先考慮特殊位置或極端位置，確定最值的具體數(shù)據(jù)，再進行一般情形下的推證。2.幾何定理（公理）法：應(yīng)用幾何中的不等量性質(zhì)、定理。3.數(shù)形結(jié)合法等：揭示問題中變動元素的代數(shù)關(guān)系，構(gòu)造一元二次方程、二次函數(shù)等。例1：在直角三角形ABC中，CB=3，CA=4，M為斜邊AB上一動點。過點M作MD⊥AC于點D，過M作ME⊥CB于點E，則線段DE的最小值為多少？（四川省競賽試題）解題思路：四邊形CDME為矩形，連接CM，則DE=CM，將問題轉(zhuǎn)化為求CM的最小值。例2：如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm。若在AC，AB上各取一點M，N，使BM+MN的值最小，求這個最小值。（北京市競賽試題）解題思路：作點B關(guān)于AC的對稱點B′，連接B′M，B′A，則BM=B′M，從而BM+MN=B′M+MN。要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，當(dāng)B′，M，N三點共線且B′N⊥AB時，B′M+MN的值最小。例3：如圖，已知矩形ABCD，AB=a，BC=b（a>b），P為AB邊上的一動點，直線DP交CB的延長線于Q。求AP+BQ的最小值。（永州市競賽試題）解題思路：設(shè)AP=x，把AP，BQ分別用x的代數(shù)式表示，運用不等式以a+b≥2ab或a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號）來求最小值。例4：閱讀下列材料：問題如圖1，一圓柱的底面半徑為5dm，高AB為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的最短路線。小明設(shè)計了兩條路線：路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC。如圖2所示。設(shè)路線l的長度為l1，則l1^2=AC^2=AB^2+BC^2=25+(5π)^2=25+25π^2。路線2：高線AB十底面直徑BC。如圖1所示。設(shè)路線l的長度為l2，則l2^2=(BC+AB)^2=(5+10)^2=225。因為l1^2–l2^2=25+25π^2－225=25π^2－200=25(π^2－8)，所以l1^2＞l2^2，因此l2是最短路線。1.根據(jù)條件計算，路線1：l1^2=AC^2=26，路線2：l2^2=(AB+BC)^2=36，因為l1^2<l2^2，所以應(yīng)選擇路線1較短。2.在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為r，高為h時，選擇路線1：l1^2=(2πrh-h^2)^2+r^2=4π^2r^2h^2-4πr^3h+h^4+r^2和路線2：l2^2=(2πrh)^2+r^2=4π^2r^2h^2+r^2進行比較，因為l1^2<l2^2，所以應(yīng)選擇路線1較短。3.已知正方形鋼板，AF=2，BF=1，要在五邊形EABCD內(nèi)截取一個矩形塊MDNP，使點P在AB上，且面積最大。設(shè)DN=x，PN=y，則S=xy。建立矩形MDNP的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求S的最大值，進而求鋼板的最大利用率。4.在四邊形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC，AD的延長線交于P，求AB·S△PAB的最小值。設(shè)PD=x(x>1)，根據(jù)勾股定理求出PC，證明Rt△PCD∽Rt△PAB，得到AB/PC=PA/PD，根據(jù)三角形的面積公式求出AB·S△PAB，整理后得到AB·S△PAB≥4，即可求出答案。5.將兩張長為8、寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形。菱形周長的最大值是垂直時的周長，即16。6.D是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點，且OD=3cm，則過點O的所有弦中，最短的弦AB=4cm。7.一個長方體，長BC=4，寬AB=3，高BB1=5。一只小蟲由A處出發(fā)，沿長方體表面爬行到C1，這時小蟲爬行的最短路徑的長度是10。4.如圖，在三角形ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CB，CA分別相交于點E，F(xiàn)，則線段EF長度的最小值是多少？5.如圖，圓錐的母線長OA=6，底面圓的半徑為2。一只小蟲在圓錐底面的點A處繞圓錐側(cè)面一周又回到點A，則小蟲所走的最短距離是多少？6.如圖，已知∠MON=40°，P是∠MON內(nèi)的一定點，點A，B分別在射線OM，ON上移動，當(dāng)△PAB周長最小時，∠APB的值為多少？7.如圖，ADP為AD上任意一點。若AC=5，則四邊形ACBP周長的最大值是多少？8.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊上一點（點E與點A，D不重合），BE的垂直平分線交AB于M，交DC于N。(1)設(shè)AE=x，四邊形ADNM的面積為S，寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。(2)當(dāng)AE為何值時，四邊形ADNM的面積最大？最大值是多少？9.如圖，六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為r的圓O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA。(1)當(dāng)∠BAD=75°時，求BC的長。(2)證明：BC∥AD∥FE。(3)設(shè)AB=x，求六邊形ABCDEF的周長l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x為何值時，l取得最大值。10.如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D）。Q是BC邊上任意一點。連結(jié)AQ，DQ，過P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F。(1)證明：△APE∽△ADQ。(2)設(shè)AP的長為x，求△PEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)P在何處時，S取得最大值？最大值為多少？(3)當(dāng)Q在何處時，△ADQ的周長最??？（須給出確定Q在何處的過程或方法，不必證明）11.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6。動點M、N分別在兩腰AB、AC上（M不與A、B重合，N不與A、C重合），且MN∥BC。將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應(yīng)點為P。(1)當(dāng)MN為多少時，點P恰好落在BC上？(2)設(shè)MN=x，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)x為多少時，y的值最大，最大值是多少？（寧夏省中考試題）1.已知凸四邊形ABCD中，AB+AC+CD=16，且四邊形ABCD的面積為32。那么當(dāng)AC=，BD=時，四邊形ABCD面積最大，最大值是多少？（“華杯賽”試題）2.如圖，已知△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，∠A=60°，BC=23，則r的取值范圍是多少？（江蘇省競賽試題）在圖中，點O為△ABC的內(nèi)切圓心，點F為圓心到BC邊的垂足。3.如圖，⊙O的半徑為2，⊙O內(nèi)的一點P到圓心的距離為1，過點P的弦與劣弧AB組成一個弓形。則此弓形面積的最小值為多少？4.如圖，△ABC的面積為1，點D、G、E和F分別在邊AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，則梯形DEFG面積的最大可能值為多少？（上海市競賽試題）5.已知邊長為a的正三角形ABC，兩頂點A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連結(jié)OC，則OC的最大值是多少？（濰坊市中考試題）6.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當(dāng)PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為多少？（鄂州市中考試題）在圖中，點Q為△APD中邊PD上的高的垂足。7.如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B、C重合的任意一點，連結(jié)AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q。設(shè)BP的長為xcm，CQ的長為ycm。(1)求點P在BC上