湖北高考數(shù)理科試卷(帶詳解)

2012湖北高考理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．方程的一個(gè)根是（）A． B． C． D．【測量目標(biāo)】復(fù)數(shù)的一元二次方程求根.【考查方式】給出一元二次方程，由求根公式求出它的根.【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】根據(jù)復(fù)數(shù)求根公式：，所以方程的一個(gè)根為，答案為A.2．命題“”的否定是（）A． B．C． D．【測量目標(biāo)】常用邏輯用語，含有一個(gè)量詞的命題的否定.【考查方式】給出了存在性命題，根據(jù)邏輯用語寫出命題的否定.【難易程度】容易【參考答案】D【試題解析】根據(jù)對命題的否定知，是把謂詞取否定，然后把結(jié)論否定因此選D.3．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為（）第4題圖A． B.C． D．【測量目標(biāo)】定積分的幾何意義.【考查方式】給出了二次函數(shù)的圖象，求出函數(shù)解析式，由定積分的幾何意義可求得面積.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】根據(jù)圖像可得：，再由定積分的幾何意義，可求得面積為.4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．C．D．第4題圖【測量目標(biāo)】由三視圖求幾何體的體積.【考查方式】給出了幾何體的的三視圖，確定其為圓柱，根據(jù)體積公式求出體積.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】顯然有三視圖我們易知原幾何體為一個(gè)圓柱體的一部分，并且有正視圖知是一個(gè)1/2的圓柱體，底面圓的半徑為1，圓柱體的高為6，則知所求幾何體體積為原體積的一半為.選B.5．設(shè)，且，若能被13整除，則（）A．0B．1C．11D．12【測量目標(biāo)】二項(xiàng)式定理.【考查方式】給出二項(xiàng)式，根據(jù)其展開式的系數(shù)求解.【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】由于51=521，又由于13|52,所以只需13|1+a，0a＜13,所以a=12選D.6．設(shè)是正數(shù)，且，，，則（）A．B．C． D．【測量目標(biāo)】不等式的基本性質(zhì).【考查方式】給出含未知量的3個(gè)方程，根據(jù)柯西不等式的使用及其去等條件可得出答案.【試題解析】程序在運(yùn)行過程中各變量的值如下表示：第一圈循環(huán)：當(dāng)n=1時(shí)，得s=1，a=3.（步驟1）第二圈循環(huán):當(dāng)n=2時(shí)，得s=4，a=5（步驟2）第三圈循環(huán)：當(dāng)n=3時(shí)，得s=9，a=7（步驟3）此時(shí)n=3，不再循環(huán)，所以解s=9.（步驟4）．（Ⅰ）（Ⅱ）【試題解析】（Ⅰ）4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（1~9）種情況，第二位有10（0~9）種情況，所以4位回文數(shù)有種，答案：90.（Ⅱ）法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù).2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，所以個(gè)數(shù)為.法二、可以看出2位數(shù)有9個(gè)回文數(shù)，3位數(shù)90個(gè)回文數(shù).計(jì)算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“00,11,22,……99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個(gè),按此規(guī)律推導(dǎo),而當(dāng)奇數(shù)位時(shí)，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加0~9這十個(gè)數(shù)，因,則.14．如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為虛軸兩端點(diǎn)為兩焦點(diǎn)為.若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為.則第14題圖（Ⅰ）雙曲線的離心率；（Ⅱ）菱形的面積與矩形的面積的比值.【測量目標(biāo)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義、離心率，以及一般平面幾何圖形的面積計(jì)算.【考查方式】給出了雙曲線和平面幾何圖形的位置關(guān)系求出離心率，根據(jù)面積公式求出面積比.【難易程度】較難【參考答案】（I），（II）【試題解析】（Ⅰ）由于以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，因此點(diǎn)到直線的距離為，又由于虛軸兩端點(diǎn)為，因此的長為，那么在中，由三角形的面積公式知，（步驟1），又由雙曲線中存在關(guān)系聯(lián)立可得出，根據(jù)解出.（步驟2）（II）菱形的面積，設(shè)矩形，，∴（步驟3），∵，∴(步驟4)∴面積，∴（步驟5）∵∴（步驟6）.（二）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑.如果全選，則按第15題作答結(jié)果計(jì)分.）15．（選修4-1：幾何證明選講）如圖，點(diǎn)D在的弦AB上移動，，連接OD，過點(diǎn)D作的垂線交于點(diǎn)C，則CD的最大值為.第15題圖【測量目標(biāo)】直線與圓的位置關(guān)系.【考查方式】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，判斷點(diǎn)D的位置從而求出線段最大值.【難易程度】容易【參考答案】2【試題解析】（由于,因此,線段OC長為定值，即需求解線段OD長度的最小值，根據(jù)弦中點(diǎn)到圓心的距離最短，此時(shí)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，因此16．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知射線與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.【測量目標(biāo)】平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系下的曲線方程交點(diǎn).【考查方式】給出了兩曲線的極坐標(biāo)方程，將它們化為一般方程并求出交點(diǎn).【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】在直角坐標(biāo)系下的一般方程為，將參數(shù)方程（t為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程為表示一條拋物線（步驟1），聯(lián)立上面兩個(gè)方程消去有，設(shè)兩點(diǎn)及其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為（步驟2），則有韋達(dá)定理,又由于點(diǎn)點(diǎn)在直線上，因此的中點(diǎn).（步驟3）三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分12分）已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其中，為常數(shù)，且.（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.【測量目標(biāo)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的變換及化簡.【考查方式】求出函數(shù)解析式，根據(jù)三角變換求得最小正周期和在特定區(qū)間類函數(shù)的取值范圍.【難易程度】容易【試題解析】（I）因?yàn)椋ú襟E1）.由直線是圖象的一條對稱軸，可，所以，即又所以k=1，故，所以的最小正周期為.（步驟2）（II）由的圖象過點(diǎn)，得，（步驟3）即即.故（步驟4）由有所以，得故函數(shù)在上的取值范圍為.（步驟5）18．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為.（Ⅰ）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【測量目標(biāo)】等差數(shù)列的通項(xiàng)，前n項(xiàng)和.【考查方式】由等差數(shù)列的前三項(xiàng)和以及積的大小求出通項(xiàng)，由前三項(xiàng)成等比關(guān)系求出新數(shù)列的前n和.【難易程度】容易【試題解析】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，.有題意得解得或（步驟1）所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得或故或（步驟2）（II）當(dāng)時(shí)，分別為,不成等比數(shù)列.當(dāng)時(shí)，分別為成等比數(shù)列，滿足條件.故（步驟3）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n，=當(dāng)時(shí)，綜上，.（步驟4）19．（本小題滿分12分）如圖1，，，過動點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．（Ⅰ）當(dāng)?shù)拈L為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大?。畧D1圖2第19題圖【測量目標(biāo)】三棱錐的體積公式，均值不等式求最值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，空間直角坐標(biāo)系的建立，平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用.【考查方式】給出了空間幾何體的邊、角等，通過均值不等式或者導(dǎo)數(shù)求出體積的最大值，利用空間向量或者垂直與平行關(guān)系求得線面角的大小.【難易程度】中等【試題解析】（I）解法1：在如圖1所示的△ABC中，設(shè)BD=x，則.由知，△ADC為等腰直角三角形，所以AD=CD=3.（步驟1）由折起前平面BCD.又,所以于是當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)x=1時(shí)，等號成立，故當(dāng)x=1，即BD=1時(shí)，三棱錐的體積最大.（步驟2）解法2：同解法1，得（步驟1）令由，解得x=1.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)x=1，取1得最大值.故當(dāng)BD=1時(shí)，三棱錐的體積最大.（步驟2）(II)解法1：以D為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系.由（I）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，.于是可得且（步驟3）設(shè).因?yàn)榈葍r(jià)于,即，故（步驟4）所以當(dāng)DN=（即N是CD的靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，及得可取.（步驟5）即EN與平面BMN所成角的大小.（步驟6）第19題圖a解法2：由（I）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，（步驟3）如圖b,取CD的中點(diǎn)F，連接,EF,則AD.由（I）知平面BCD，所以MF平面BCD.（步驟4）如圖c，延長FE至P點(diǎn)使得FP=DB，連接BP,DP，則四邊形DBPF為正方形，所以取DF得中點(diǎn)N，連接EN，又E為FP的中點(diǎn)，則DP，所以因?yàn)槠矫鍮CD，又EN面BCD，所以.又因?yàn)槊鍮MF，所以ENBM..因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)N是唯一的.即當(dāng)(即N是CD的靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn))，.連接MN，ME，由計(jì)算得NB=NM=EB=EM=，所以△NMB與△EMB是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，（步驟5）如圖在平面EGN中，過點(diǎn)E作EH于H,則EH平面BMN.故是EN與平面BMN所成的角.在△EGN中，易得EG=GN=NE=，所以△EGN是正三角形，故即EN與平面BMN所成角的大小為.（步驟6）圖b圖c圖d第19題圖20．（本小題滿分12分）根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對工期的影響如下表：降水量X工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9.求：（Ⅰ）工期延誤天數(shù)的均值與方差；（Ⅱ）在降水量X至少是的條件下，工期延誤不超過6天的概率.【測量目標(biāo)】概率的加法公式與方差，條件概率.【考查方式】給出了降水量與工期延誤的關(guān)系，根據(jù)概率的加法公式以及方差公式求出延誤天數(shù)的均值與方差、條件概率.【難易程度】中等【試題解析】（I）由已知條件和概率的加法公式有:（步驟1）所以Y的分布列為：026100.30.40.20.1于是，故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差9.8.（步驟2）（II）由概率的加法公式，又.由條件概率，得.故在降水量X至少是300mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是.（步驟3）21．（本小題滿分13分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H.是否存在m，使得對任意的k＞0，都有？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由.【測量目標(biāo)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線中的定點(diǎn)問題.【考查方式】給出了圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系，從而判斷軌跡為何種曲線，根據(jù)直線與方程的聯(lián)立求出滿足條件的點(diǎn).【難易程度】較難【試題解析】（I）如圖1，設(shè)則由可得所以①因?yàn)锳點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動，所以②將①式代入②式即得所求曲線C的方程為，（步驟1）因?yàn)樗援?dāng)0＜m＜1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為；（步驟2）當(dāng)m＞1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為.（步驟3）（II）解法1：如圖2、3設(shè)則直線QN的方程為，將其代入橢圓C的方程并整理可得依題意可知此方程的兩根為于是由韋達(dá)定理可得，即（步驟4）因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以于是.而等價(jià)于=即，又m＞0，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.（步驟5）第21題圖1解法2：如圖2、3，，設(shè)則因?yàn)镻,H兩點(diǎn)在橢圓C上，所以，兩式相減可得（步驟3）依題意，由點(diǎn)P在第一象限可知，點(diǎn)H也在第一象限，且P,H不重合，故，于是由③式可得.（步驟4）又Q,N,H三點(diǎn)共線，所以，即于是由④式可得（步驟5）而等價(jià)于=,即=，又m＞0，得m=.故存在m=，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的k＞0，都有.（步驟6）圖2圖3（0＜m＜1）（m＞1）第21題圖22．（本