【解析】人教A版（2023） 必修一 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式

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人教A版（2023）必修一第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

一、單選題

1．（2023高二下·杭州月考）已知正數(shù)x，y滿足：，則x＋y的最小值為()

A．B．C．6D．

【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由題可知，

（當且僅當時取等號）

所以x＋y的最小值為

故答案為：B

【分析】將所求表示轉(zhuǎn)化為，由于乘以1不變，故原式可化為，將其整理化簡后由基本不等式求得最小值即可.

2．（2023高一下·元氏期中）兩個正實數(shù)滿足，則滿足，恒成立的m取值范圍（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由，，可得，當且僅當上式取得等號，若恒成立，則有，解得.

故答案為：B

【分析】由基本不等式和“1”的代換，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范圍。

3．（2023高一上·東方月考）若，，則的大小關(guān)系是（）

A．B．

C．D．的大小由的取值確定

【答案】A

【知識點】不等式比較大小

【解析】【解答】因為,>0,

所以，

故答案為：A.

【分析】利用作差法進行大小比較.

4．（2023高三上·長春月考）若，則下列不等式中恒成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】不等關(guān)系與不等式

【解析】【解答】解:∵,∴,∴B符合題意,A不符合題意;

取,,則,CD不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù),利用不等式的性質(zhì)和取特殊值可得正確選項.

5．（2023高一下·湖州期末）不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】由，

可得，，

所以，，

故答案為：A

【分析】解一元二次不等式，對原式因式分解可得，利用二次函數(shù)的圖形性質(zhì)，可得結(jié)果.

6．（2023高一下·大慶期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，若函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A．函數(shù)有最小值2B．函數(shù)有最小值

C．函數(shù)有最大值-2D．函數(shù)有最大值

【答案】C

【知識點】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由題得，的解集為，則，函數(shù)，又，則，故，當且僅當，即時，取得等號，函數(shù)有最大值.

故答案為：C

【分析】不等式可因式分解得，由解集為，可知，，代入函數(shù)，利用基本不等式，計算即得.

7．（2023高二上·咸陽月考）定義在R上的運算：.若不等式對任意實數(shù)x都成立，則（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】一元二次不等式的解法；一元二次不等式與一元二次方程

【解析】【解答】不等式可化為，即對任意實數(shù)都成立，

，解得.

故答案為：B.

【分析】由題意得出對任意實數(shù)x都成立，由判別式小于0求解即可.

8．（2023高一上·溫州期中）若不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】一元二次不等式的實際應(yīng)用

【解析】【解答】①時，恒成立；

②，△，解得

綜上，，

故答案為：．

【分析】分類討論與0的關(guān)系，時恒成立，時，只需二次函數(shù)圖象開口向下且與軸無交點，進而求解.

二、多選題

9．（2023·淄博模擬）設(shè)表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，則滿足關(guān)于x的不等式的解可以為（）

A．B．3C．-4.5D．-5

【答案】B,C

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】因為不等式，

所以，

所以，

又因為表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，

所以不等式的解可以為3，-4.5.

故答案為：BC

【分析】先利用一元二次不等式的解法，得到，再根據(jù)表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)求解.

10．（2023高一上·?？谠驴迹┫铝嘘P(guān)于基本不等式的說法，正確的是（）

A．若，，則成立

B．對任意的，，成立

C．若，，則不一定成立

D．若，則成立

E．若，則成立

【答案】A,B,E

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】A就是均值不等式，正確；由知B符合題意；由A知C不符合題意；當時，，但，D不符合題意；由A知E正確。

故答案為：ABE。

【分析】由基本不等式的條件分析。

三、填空題

11．定義運算“”：.當時，的最小值是.

【答案】

【知識點】基本不等式；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】又新定義運算知，，

因為，

所以，==，但且僅當?shù)淖钚≈凳?/p>

【分析】本題考查了基本不等式及新定義運算的理解能力，解答本題的關(guān)鍵，首先是理解新定義運算，準確地得到不等式，然后根據(jù)其特征，想到應(yīng)用基本不等式求解.

12．（2023高二上·榆林期中）若不等式的解集是，則不等式的解集為．

【答案】

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】的解集為（-1，2），則，且對應(yīng)方程的為-1和2，

∴，

，且，

不等式可化為，

即，

解得或．

故答案為：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

【分析】根據(jù)的解集求出的關(guān)系，再化簡不等式，求出它的解集即可．

13．（2023高一下·南昌期中）若不等式對于一切恒成立，則a的最大值為.

【答案】2

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】不等式對于一切恒成立，即在上恒成立.

又，當且僅當時取等號.故，即的最大值為2.

故答案為：2

【分析】參變分離可得，再根據(jù)基本不等式求在上的最小值即可.

14．（2023高一下·南昌期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為.

【答案】5

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由題得，

因為，

所以.

當且僅當時取最小值.

故答案為：5.

【分析】由題得，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值得解.

15．（2023·肥東模擬）已知集合，從集合A中取出m個不同元素，其和記為S；從集合中取出個不同元素，其和記為T．若，則的最大值為．

【答案】44

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】欲使m,n更大，則所取元素盡可能小，所以從最小開始取，S=即令2n-1=t,則m+2n=t+m+1,t為奇數(shù),m為整數(shù)，則，由基本不等式當且僅當m=t=22時取等，∵t為奇數(shù)，∴的最大值在t=22附近取到，則t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）;t=23,m=20,成立；故m+t的最大值為43，所以的最大值為44

故答案為44

【分析】欲使m,n更大，則所取元素盡可能小，所以從最小開始取S由得到令2n-1=t,則m+2n=t+m+1,t為奇數(shù),m為整數(shù)，則，由基本不等式得取等條件不成立，則檢驗t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，則問題得解.

四、解答題

16．設(shè)函數(shù)，

（1）若不等式的解集．求的值；

（2）若求的最小值.

【答案】（1）【解答】解：因為不等式f(x)>0的解集(-1,3)，所以-1和3是方程f(x)=0的二實根，從而有：即解得：.

（2）【解答】解：由f(1)=2,a>0,b>0得到a+b=1,

所以,

當且僅當,即時“=”成立;所以的最小值為9．

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【分析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是（1）二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個”二次，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點值符合四個方面分析；（2）二次函數(shù)的綜合問題應(yīng)用多涉及單調(diào)性與最值或二次方程根的分布問題，解決的主要思路是等價轉(zhuǎn)化，多用到數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想,（3）利用基本不等式求最值必須滿足一正，二定，三相等三個條件，并且和為定值時，積有最大值，積為定值時，和有最小值

17．圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x（單位：m）,(1)將y表示為x的函數(shù)(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用

（1）將y表示為x的函數(shù)：

（2）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

【答案】（1）解：設(shè)矩形的另一邊長為am，則y=45x+180（x﹣2）+1802a=225x+360a﹣360．

由已知ax=360，得，

所以

（2）解：因為x＞0，所以，所以，當且僅當時，等號成立．

即當x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元．

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】分析：（1）設(shè)矩形的另一邊長為am，則根據(jù)圍建的矩形場地的面積為360m2，易得，此時再根據(jù)舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費用y表示成x的函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中所得函數(shù)的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場地圍墻的總費用最小值，及相應(yīng)的x值．

18．（2023高二上·集寧月考）解關(guān)于的不等式.

【答案】解：原不等式可化為，即，

①當時，原不等式化為，解得，

②當時，原不等式化為，

解得或，

③當時，原不等式化為.

當，即時，解得；

當，即時，解得滿足題意；

當，即時，解得.

綜上所述，當時，不等式的解集為；

當時，不等式的解集為或；

當時，不等式的解集為；

當時，不等式的解集為；

當時，不等式的解集為.

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【分析】將原不等式因式分解化為，對參數(shù)分5種情況討論：，，，，，分別解不等式．

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人教A版（2023）必修一第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

一、單選題

1．（2023高二下·杭州月考）已知正數(shù)x，y滿足：，則x＋y的最小值為()

A．B．C．6D．

2．（2023高一下·元氏期中）兩個正實數(shù)滿足，則滿足，恒成立的m取值范圍（）

A．B．C．D．

3．（2023高一上·東方月考）若，，則的大小關(guān)系是（）

A．B．

C．D．的大小由的取值確定

4．（2023高三上·長春月考）若，則下列不等式中恒成立的是（）

A．B．C．D．

5．（2023高一下·湖州期末）不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

6．（2023高一下·大慶期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，若函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A．函數(shù)有最小值2B．函數(shù)有最小值

C．函數(shù)有最大值-2D．函數(shù)有最大值

7．（2023高二上·咸陽月考）定義在R上的運算：.若不等式對任意實數(shù)x都成立，則（）

A．B．C．D．

8．（2023高一上·溫州期中）若不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍為（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．（2023·淄博模擬）設(shè)表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，則滿足關(guān)于x的不等式的解可以為（）

A．B．3C．-4.5D．-5

10．（2023高一上·?？谠驴迹┫铝嘘P(guān)于基本不等式的說法，正確的是（）

A．若，，則成立

B．對任意的，，成立

C．若，，則不一定成立

D．若，則成立

E．若，則成立

三、填空題

11．定義運算“”：.當時，的最小值是.

12．（2023高二上·榆林期中）若不等式的解集是，則不等式的解集為．

13．（2023高一下·南昌期中）若不等式對于一切恒成立，則a的最大值為.

14．（2023高一下·南昌期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為.

15．（2023·肥東模擬）已知集合，從集合A中取出m個不同元素，其和記為S；從集合中取出個不同元素，其和記為T．若，則的最大值為．

四、解答題

16．設(shè)函數(shù)，

（1）若不等式的解集．求的值；

（2）若求的最小值.

17．圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x（單位：m）,(1)將y表示為x的函數(shù)(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用

（1）將y表示為x的函數(shù)：

（2）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

18．（2023高二上·集寧月考）解關(guān)于的不等式.

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由題可知，

（當且僅當時取等號）

所以x＋y的最小值為

故答案為：B

【分析】將所求表示轉(zhuǎn)化為，由于乘以1不變，故原式可化為，將其整理化簡后由基本不等式求得最小值即可.

2．【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由，，可得，當且僅當上式取得等號，若恒成立，則有，解得.

故答案為：B

【分析】由基本不等式和“1”的代換，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范圍。

3．【答案】A

【知識點】不等式比較大小

【解析】【解答】因為,>0,

所以，

故答案為：A.

【分析】利用作差法進行大小比較.

4．【答案】B

【知識點】不等關(guān)系與不等式

【解析】【解答】解:∵,∴,∴B符合題意,A不符合題意;

取,,則,CD不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù),利用不等式的性質(zhì)和取特殊值可得正確選項.

5．【答案】A

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】由，

可得，，

所以，，

故答案為：A

【分析】解一元二次不等式，對原式因式分解可得，利用二次函數(shù)的圖形性質(zhì)，可得結(jié)果.

6．【答案】C

【知識點】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由題得，的解集為，則，函數(shù)，又，則，故，當且僅當，即時，取得等號，函數(shù)有最大值.

故答案為：C

【分析】不等式可因式分解得，由解集為，可知，，代入函數(shù)，利用基本不等式，計算即得.

7．【答案】B

【知識點】一元二次不等式的解法；一元二次不等式與一元二次方程

【解析】【解答】不等式可化為，即對任意實數(shù)都成立，

，解得.

故答案為：B.

【分析】由題意得出對任意實數(shù)x都成立，由判別式小于0求解即可.

8．【答案】B

【知識點】一元二次不等式的實際應(yīng)用

【解析】【解答】①時，恒成立；

②，△，解得

綜上，，

故答案為：．

【分析】分類討論與0的關(guān)系，時恒成立，時，只需二次函數(shù)圖象開口向下且與軸無交點，進而求解.

9．【答案】B,C

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】因為不等式，

所以，

所以，

又因為表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，

所以不等式的解可以為3，-4.5.

故答案為：BC

【分析】先利用一元二次不等式的解法，得到，再根據(jù)表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)求解.

10．【答案】A,B,E

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】A就是均值不等式，正確；由知B符合題意；由A知C不符合題意；當時，，但，D不符合題意；由A知E正確。

故答案為：ABE。

【分析】由基本不等式的條件分析。

11．【答案】

【知識點】基本不等式；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】又新定義運算知，，

因為，

所以，==，但且僅當?shù)淖钚≈凳?/p>

【分析】本題考查了基本不等式及新定義運算的理解能力，解答本題的關(guān)鍵，首先是理解新定義運算，準確地得到不等式，然后根據(jù)其特征，想到應(yīng)用基本不等式求解.

12．【答案】

【知識點】一元二次不等式的解法

【解析】【解答】的解集為（-1，2），則，且對應(yīng)方程的為-1和2，

∴，

，且，

不等式可化為，

即，

解得或．

故答案為：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

【分析】根據(jù)的解集求出的關(guān)系，再化簡不等式，求出它的解集即可．

13．【答案】2

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】不等式對于一切恒成立，即在上恒成立.

又，當且僅當時取等號.故，即的最大值為2.

故答案為：2

【分析】參變分離可得，再根據(jù)基本不等式求在上的最小值即可.

14．【答案】5

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由題得，

因為，

所以.

當且僅當時取最小值.

故答案為：5.

【分析】由題得，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值得解.

15．【答案】44

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】欲使m,n更大，則所取元素盡可能小，所以從最小開始取，S=即令2n-1=t,則m+2n=t+m+1,t為奇數(shù),m為整數(shù)，則，由基本不等式當且僅當m=t=22時取等，∵t為奇數(shù)，∴的最大值在t=22附近取到，則t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）;t=23,m=20,成立；故m+t的最大值為43，所以的最大值為44

故答案為44

【分析】欲使m,n更大，則所取元素盡可能小，所以從最小開始取S由得到令2n-1=t,則m+2n=t+m+1,t為奇數(shù),m為整數(shù)，則，由基本不等式得取等條件不成立，則檢驗t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，則問題得解.

16．【答案】（1）【解答】解：因為不等式f(x)>0的解集(-1,3)，所以-1和3是方程f(x)=0的二實根，從而有：即解得：.

（2）【解答】解：由f(1)=2,a>0,b>0得到a+b=1,

所以,

當且僅當,即時“=”成立;所以的最小值為9．

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用