【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)測(cè)試卷

【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)測(cè)試卷本冊(cè)檢測(cè)本次考試時(shí)間為120分鐘，滿分為150分。一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合A={1,2}，B={2}，若B?A，則實(shí)數(shù)k的值為（D）解析：由于B是A的子集，所以B中的元素也在A中，即2∈A。又因?yàn)锳中只有1和2兩個(gè)元素，所以k只能取2。因此，選項(xiàng)D正確。2.關(guān)于命題“?x∈R，使得x^2+x+1<0”的否定說法正確的是（B）解析：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論。所以，該命題的否定為“?x∈R，均有x^2+x+1≥0”。因?yàn)閤^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0恒成立，所以原命題的否定是真命題。因此，選項(xiàng)B正確。3.sin1，cos1，tan1的大小關(guān)系為（A）解析：sin1=sin(π/2-1)>0，cos1=cos(π/2-1)<0，tan1=tan(π/4+1/2)>0。因此，tan1>sin1>cos1。選項(xiàng)A正確。4.lg2-lg(1/e)-(2^2+(-2)^2)的值為（A）解析：lg2-lg(1/e)-(2^2+(-2)^2)=lg2+lg5-2-2+2=lg10-2=1-2=-1。因此，選項(xiàng)A正確。5.設(shè)角α=-π/6，則2sin(π+α)cos(π-α)-(sin^2α+sin(π-α)-cos^2(π+α))/(1+sin^2α)的值為（D）解析：由于α=-π/6，所以sinα=-1/2，cosα=√3/2。代入式子得：2sin(π+α)cos(π-α)-(sin^2α+sin(π-α)-cos^2(π+α))/(1+sin^2α)=2sin(5π/6)cos(7π/6)-((-1/2)^2+sin(7π/6)-cos^2(5π/3))/(1+(-1/2)^2)=3。因此，選項(xiàng)D正確。經(jīng)過修改后，文章格式規(guī)范，段落清晰。B．g(x)的周期為3πC．g(x)的圖象關(guān)于x=3π對(duì)稱D．g(x)的零點(diǎn)為3π/4和9π/4解析：將函數(shù)y=sin(x-π/4)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍得到函數(shù)y=sin(3x-3π/4)，再向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)=sin(3x-7π/4)。因?yàn)閟in(-x)=-sin(x)，所以g(x)是奇函數(shù)。g(x)的周期為2π/3，即3π的1/3，不是3π，所以B選項(xiàng)不正確。g(x)的圖象關(guān)于x=3π/2對(duì)稱，不是x=3π，所以C選項(xiàng)不正確。g(x)的零點(diǎn)為3π/4和9π/4，所以D選項(xiàng)正確。綜上，選項(xiàng)ACD正確，選B錯(cuò)誤，得3分。周期為π，故“a＝”不是函數(shù)“y＝cos22ax－sin22ax的最小正周期為π”的充要條件；C錯(cuò)，當(dāng)a＝0時(shí)，命題p不成立，故a∈(－∞，0)∪(2，＋∞)；D正確，因?yàn)閠anα＝tanβ的充要條件為α－β＝kπ，k∈Z，即“α＝β”既不充分也不必要．故選CD．.命題①不正確，因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，A=B；②命題正確，因?yàn)?x+1的定義域?yàn)?-1/2,1)，而f(x)的定義域?yàn)?-1,1)，所以2x+1的取值范圍為(-1/2,1)，即f(2x+1)的定義域?yàn)?-1/2,0)；③命題不正確，因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，左邊為0，右邊為1；④命題正確，因?yàn)楫?dāng)a=b時(shí)，a-b=0，即左邊為0，右邊也為0。(1)首先可以得到OP的長(zhǎng)度為1，因?yàn)镻在單位圓上。接著根據(jù)P的坐標(biāo)可以得到，三角形OAP是一個(gè)$3:4:5$的直角三角形，因此sinα=3/5，cosα=4/5。代入原式得到：$$\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+1}{1+\tan\alpha}=\frac{(3/5)^2+(4/5)^2+1}{1+\frac{3}{4}}=\frac{25}{7}$$(2)根據(jù)cos(α-β)的公式，可以得到cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=1/2。代入β=α-π/4，可以得到：$$\cos(\alpha-\alpha+\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$因此，sin(α+β)可以表示為sin(2α-π/4)，代入sin(2x)的公式得到：$$\sin(2\alpha-\frac{\pi}{4})=2\sin\alpha\cos\alpha-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{24}{25}-\frac{1}{\sqrt{2}}$$已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x+2,&x\leq0,\\\log_ax,&x>0,\end{cases}$且點(diǎn)$(4,2)$在函數(shù)$f(x)$的圖像上。(1)求函數(shù)$f(x)$的解析式，并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)$f(x)$的圖像；(2)求不等式$f(x)<1$的解集；(3)若方程$f(x)-2m$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)$(4,2)$在函數(shù)$f(x)$的圖像上，所以$f(4)=\log_a4=2$，解得$a=2$。所以$f(x)=\begin{cases}x+2,&x\leq0,\\\log_2x,&x>0.\end{cases}$函數(shù)的圖像如下圖所示。(2)不等式$f(x)<1$等價(jià)于$x+2<1$或$\log_2x<1$，解得$0<x<2$或$x<-1$，所以原不等式的解集為$\{x|0<x<2\text{或}x<-1\}$。(3)因?yàn)榉匠?f(x)-2m$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)$y=2m$的圖像與函數(shù)$y=f(x)$的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。結(jié)合圖像可得$2m\leq2$，解得$m\leq1$。所以實(shí)數(shù)$m$的取值范圍為$(-\infty,1]$。已知函數(shù)$f(x)=3\sin(2018\pi-x)\cdot\sin(\frac{\pi}{2}+x)-\cos2x+1$。(1)求函數(shù)$f(x)$的對(duì)稱中心；(2)若對(duì)于任意的$x\in[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，都有$|f(x)-m|\leq1$恒成立，求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。解析：(1)將函數(shù)$f(x)$化簡(jiǎn)得$f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{2})+\frac{3}{2}\cos2x+1$。令$2x-\frac{\pi}{2}=k\pi,k\inZ$，解得$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\inZ$，所以函數(shù)$f(x)$的對(duì)稱中心為$(\frac{5\pi}{4}+k\pi,1)$，$k\inZ$。(2)因?yàn)?x\in[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，所以$2x-\frac{\pi}{2}\in[-\pi,\pi]$。所以$\sin(2x-\frac{\pi}{2})\in[-1,1]$，$\frac{3}{2}\cos2x\in[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}]$，$f(x)\in[-\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$。因?yàn)?|f(x)-m|\leq1$恒成立，所以$-1\leqf(x)-m\leq1$，即$-1+f(x)\leqm\leq1+f(x)$。所以$m$的取值范圍為$[\max\{-\frac{1}{2},-1+f(x)\},\min\{\frac{5}{2},1+f(x)\}]$，即$[\frac{1}{2},\frac{7}{2}]$。(1)根據(jù)表格可列出方程組：$$\begin{cases}A\sin(\frac{\pi}{6}\omega+\varphi)+B=-1\\A\sin(\frac{3\pi}{6}\omega+\varphi)+B=1\\A\sin(\frac{5\pi}{6}\omega+\varphi)+B=3\\A\sin(\frac{7\pi}{6}\omega+\varphi)+B=1\\A\sin(\frac{11\pi}{6}\omega+\varphi)+B=-1\\\end{cases}$$解得：$A=2,B=1,\omega=1,\varphi=-\frac{\pi}{6}$，因此$f(x)=2\sin(x-\frac{\pi}{6})+1$。(2)根據(jù)題意，可列出方程$f(kx)=m$，即$2\sin(kx-\frac{\pi}{6})+1=m$。因?yàn)?\sin(kx-\frac{\pi}{6})$的最小正周期為$\frac{2\pi}{k}$，所以當(dāng)$\frac{2\pi}{k}=2\pi$時(shí)，即$k=1$時(shí)，$f(x)$的周期為$2\pi$。當(dāng)$x\in[0,\frac{2\pi}{k}]$時(shí)，$f(kx)$的取值范圍為$[m_{\min},m_{\max}]$。因?yàn)?\sin(kx-\frac{\pi}{6})$的取值范圍為$[-1,1]$，所以當(dāng)$m\notin[m_{\min},m_{\max}]$時(shí)，方程$f(kx)=m$無(wú)解。當(dāng)$m\in[m_{\min},m_{\max}]$時(shí)，方程$f(kx)=m$有兩個(gè)不同的解，即$\sin(kx-\frac{\pi}{6})=\frac{m-1}{2}$有兩個(gè)不同的解。因?yàn)?\sin(kx-\frac{\pi}{6})$的周期為$\frac{2\pi}{k}$，所以$\frac{m-1}{2}$的周期也為$\frac{2\pi}{k}$。因此，$\frac{m-1}{2}$的取值范圍為$[-1,1]$中，所有滿足$\frac{2\pi}{k}$為周期的區(qū)間。即$\frac{2\pi}{k}\in[2\pi,6\pi]$，解得$k\in[\frac{1}{3},1]$。因此，實(shí)數(shù)$m$的取值范圍為$[m_{\min},m_{\max}]=[0,3]$。已知函數(shù)$g(x)=ax^2-2ax+1+b(a\neq0,b<1)$在區(qū)間$[2,3]$上有最大值$4$，最小值$1$，設(shè)$f(x)=\frac{g(x)}{x}$。(1)求$a$，$b$的值。當(dāng)$a>0$時(shí)，$g(x)$在$[2,3]$上為增函數(shù)，所以$$\begin{cases}g(2)=1\\g(3)=4\end{cases}$$解得$a=1$，$b=0$。當(dāng)$a<0$時(shí)，$g(x)$在$[2,3]$上為減函數(shù)，所以$$\begin{cases}g(2)=4\\g(3)=1\end{cases}$$解得$a=-1$，$b=3$。綜上所述，$a=1$，$b=0$。(2)若不等式$f(2x)-k\cdot2x\geq0$在$x\in[-1,1]$時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)$k$的取值范圍。由(1)知，$g(x)=x^2-2x+1$，$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x}=x-2$。不等式$f(2x)-k\cdot2x\geq0$可化為$2x+\frac{1}{x}-2\geqk\cdot2x$，即$$1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\geqk$$令$t=\frac{1}{x}$，則$t\in[1,+\infty)$，原不等式轉(zhuǎn)化為$$t^2-2t+1\geqkt$$即$t^2-(2-k)t+1\geq0$。當(dāng)$k<0$時(shí)，$t\in[1,+\infty)$，不等式恒成立。當(dāng)$k\geq0$時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得$t\in\left[\frac{2-k-\sqrt{k^2-4}},\frac{2-k+\sqrt{k^2-4}}{2}\right]$，根據(jù)$t=\frac{1}{x}$，可得$x\in\left[\frac{1}{\frac{2-k+\sqrt{k^2-4}}{2}},\frac{1}{\frac{2-k-\sqrt{k^2-4}}{2}}\right]$。又因?yàn)?x