《垂直于弦的直徑》

垂直于弦的直徑問題：把圓形紙片沿著任意一條直徑對折，然后觀察折疊后的兩個半圓有何關系？最后得出什么結(jié)論？結(jié)論：圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線就是它的對稱軸.問題：已知：在⊙O中，AB是弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E，圖1是軸對稱圖形嗎？在圖1中，你能找到哪些線段相等？圓弧呢？證明你的結(jié)論.

圖1垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂直于弦的直徑分析：在Rt△AOE和Rt△BOE中，利用HL定理證明兩三角形全等可得AE=BE.利用軸對稱可知.問題：1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（弧的中點到弦的距離，也叫拱形高）為7.2米，求橋拱的半徑.（精確到0.1米）垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑解：連結(jié)OA，過O作OE⊥AB，垂足為E，則OE=3cm，AE=BE【例1】已知在⊙O中，弦AB的長8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.

AB=8cm，∴AE=4cm.在Rt

AOE中，有OA===5（cm）.∴⊙O的半徑為5cm.【解析】此題可用三角形全等來證明，構造△AOC與△BOD即可；但是若利用垂徑定理來證明會更簡單.【例2】已知：如圖1，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于CD兩點.求證：AC=BD.

圖1證明：過O作OE⊥AB，垂足E，則AE=BE，CE=DE.∴AE-CE=BE-DE.即AC=BD.垂直于弦的直徑解：過O作OC⊥AB于點D，交⊙O于點C,則CD為拱高，【例3】如圖2，若⊙O的半徑為5，弦AB長為8，求拱高.

圖2則AD=AB=4，在Rt△AOD中，d=∴CD=2.垂直于弦的直徑1.圓既是軸對稱圖形,又是_________對稱圖形,它的對稱軸是________________________,對稱中心是__________.2.已知⊙O的半徑為R,弦AB的長也是R,則∠AOB的度數(shù)是_______.3.圓的一條弦把圓分為5:1兩部分,如果圓的半徑是2cm,則這條弦的長是_____cm.4.已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,則⊙O的半徑長等于________.垂直于弦的直徑中心圓心過圓心的任一條直線60°253≤OP≤510相等垂直于弦的直徑5.如圖1,⊙O的直徑為10,弦AB=8,P是弦AB上的一個動點,那么OP長的取值范圍____________________.6.已知:如圖2,有一圓弧形拱橋,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半徑__________m.7.如圖3,D、E分別是⊙O的半徑OA、OB上的點,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,則與的大小關系是_______________.

圖1

圖2

圖38．圓中兩弦CD與AB互相垂直,垂足為E,若DE=3厘米,EC=7厘米,則圓心到AB的距離OF是_______厘米．9.P為⊙O內(nèi)一點,PO=3cm,過P的最短弦為8cm,則過P的最長弦的長等于_______．10.AB⊥CD,垂足為E，CD為⊙O直徑,且AB=20,CE=4,那么⊙O的半徑是_____．210cm14.5垂直于弦的直徑11.如圖4,A是半徑為5的⊙O內(nèi)一點,且OA=3,過點A且長小于8的弦有()A.0條B.1條C.2條D.4條12.如圖5,AB是⊙O的弦(非直徑),C、D是AB上兩點,并且AC=BD.試判斷OC與OD的數(shù)量關系并說明理由.13.如圖6,⊙O表示一圓形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA=1:4,求工件半徑的長.

圖5

圖4

圖6