高中數(shù)學(xué)直線和圓知識要點

第八章

直線和圓的方程8．1兩點間的距離與線段中點的坐標(biāo)動腦思考探索新知8．1兩點間的距離與線段中點的坐標(biāo)平面內(nèi)兩點間距離公式，則

鞏固知識典型例題8．1兩點間的距離與線段中點的坐標(biāo)例1

求A（?3，1）、B（2，?5）兩點間的距離．

解A、B兩點間的距離為

第1題圖平面內(nèi)兩點間距離公式運用知識強化練習(xí)8．1兩點間的距離與線段中點的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，描出點、．并計算兩點之間的距離．

平面內(nèi)兩點間距離公式動腦思考探索新知3.2檢驗一般地，設(shè)、為平面內(nèi)任意兩點，則線段中點的坐標(biāo)為

線段中點坐標(biāo)公式鞏固知識典型例題8．1兩點間的距離與線段中點的坐標(biāo)線段中點坐標(biāo)公式例2已知點S（0，2）、點T（?6，?1），現(xiàn)將線段ST四等分，試求出各分點的坐標(biāo)．

圖8－2首先求出線段ST的中點Q的坐標(biāo)，然后再求SQ的中點P及QT的中點R的坐標(biāo)．

解設(shè)線段ST的中點Q的坐標(biāo)為則由S（0，2）、T（?6，?1）得

即同理，求出線段SQ的中點P，線段QT的中點故所求的分點分別為P鞏固知識典型例題8．1兩點間的距離與線段中點的坐標(biāo)線段中點坐標(biāo)公式例3

已知的三個頂點為，試求BC邊上的中線AD的長度．

解設(shè)BC的中點D坐標(biāo)為，則由得

故即BC邊上的中線AD的長度為運用知識強化練習(xí)1．已知點和點，求線段AB中點的坐標(biāo)．

2．已知的三個頂點為求AB邊上的中線CD的長度．

8．1兩點間的距離與線段中點的坐標(biāo)8．1兩點間的距離與線段中點的坐標(biāo)理論升華整體建構(gòu)平面內(nèi)兩點間的距離公式

1

線段的中點坐標(biāo)公式

2自我反思目標(biāo)檢測學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法

8．1兩點間的距離與線段中點的坐標(biāo)自我反思目標(biāo)檢測8．1兩點間的距離與線段中點的坐標(biāo)已知點求線段MN的長度，并寫出線段MN的中點P的坐標(biāo)．

第八章

直線和圓的方程8．2直線的方程創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．2直線的方程如圖所示，直線雖然都經(jīng)過點P，但是它們對x軸的傾斜程度是不同的．

為了確定直線對x軸的傾斜程度，我們引入直線的傾角的概念．

動腦思考探索新知直線的傾角8．2直線的方程設(shè)直線l與x軸相交于點P，A是x軸上位于點P右方的一點，直線l對x軸的傾斜角．簡稱為l的傾角．若直線l平行于x軸，B是位于上半平面的l上的一點(如圖8－4)，則叫做規(guī)定傾角為零，這樣，對任意的直線，其傾角均有≤OABPxyPABOxy圖8－4動腦思考探索新知如何根據(jù)直線上的任意兩個點的坐標(biāo)來確定傾角的大?。?/p>

設(shè)為直線l上的任意兩點，可以得到

8．2直線的方程當(dāng)時，時，，的值不存在，此時直線l與x軸垂直.當(dāng)動腦思考探索新知8．2直線的方程傾角的正切值叫做直線的斜率，用小寫字母k表示，即

設(shè)點為直線l上的任意兩點，則直線l的斜率為

．

當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)相同時，斜率是否存在？傾角是多少？直線的斜率鞏固知識典型例題8．2直線的方程例1

根據(jù)下面各直線滿足的條件，分別求出直線的斜率：

（1）傾斜角為（2）直線過點與點解（1）由于傾斜角，故直線的斜率為

（2）由點，由公式得直線的斜率為

運用知識強化練習(xí)8．2直線的方程1．判斷滿足下列條件的直線的斜率是否存在，若存在，求出結(jié)果．

（1）直線的傾斜角為；

（2）直線過點與點；

（3）直線平行于y軸；

（4）點，在直線上．

理論升華整體建構(gòu)直線傾角的取值范圍1

已知直線上兩點坐標(biāo)求斜率28．2直線的方程自我反思目標(biāo)檢測學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法

8．2直線的方程自我反思目標(biāo)檢測求過點的直線的傾角和斜率？

8．2直線的方程第八章

直線和圓的方程8．2直線的方程創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．2直線的方程方程的圖像是一條直線．那么方程的解與直線上的點之間存在著怎樣的關(guān)系呢

，并且經(jīng)過點已知直線的傾斜角為，由此可以為直線l上不與點重合的任確定一條直線l．設(shè)點意一點．則即

這說明直線上任意一點的坐標(biāo)都是方程的解．

設(shè)點的坐標(biāo)為方程，則

的解，即已知直線的傾斜角為，并且經(jīng)過點，只可以確定一條直線l

這說明點在經(jīng)過點且傾斜角為的直線上．

動腦思考探索新知8．2直線的方程一般地，如果直線（或曲線）L與方程滿足下列關(guān)系：

(1)直線（或曲線）L上的點的坐標(biāo)都是二元方程的解；

(2)以方程的解為坐標(biāo)的點都在直線（或曲線）L上．

那么，直線（或曲線）L叫做二元方程的直線（或曲叫做直線（或曲線）L的方程.記作曲線L：線），方程或者曲線動腦思考探索新知8．2直線的方程下面求經(jīng)過點，且斜率為k的直線l的方程．在直線l上任取點（不同于點），由斜率公式可得

即顯然，點的坐標(biāo)也滿足上面的方程．

方程

叫做直線的點斜式方程．其為直線為直線上的點，k中點的斜率．直線的點斜式方程當(dāng)直線經(jīng)過點且斜率不存在時，直線的因此其方程為傾角為90°，此時直線與x軸垂直，直線上所有的點橫坐標(biāo)都是鞏固知識典型例題8．2直線的方程例2

在下列各條件下，分別求出直線的方程：

（1）直線經(jīng)過點，傾角為（2）直線經(jīng)過點解（1）由于，故斜率

又因為直線經(jīng)過點，所以直線方程為

即（2）直線過點，由斜率公式得

故直線的方程為

即動腦思考探索新知8．2直線的方程如圖所示，設(shè)直線l與x軸交于點，與y軸交于點．則a叫做直線l在x軸上的截距（或橫截距）；b叫做直線l在y軸上的截距（或縱截距）．想一想直線在x軸及y軸上的截距有可能是負數(shù)嗎？

動腦思考探索新知8．2直線的方程設(shè)直線在y軸上的截距是b，即直線經(jīng)過點，且斜率為k．則這條直線的方程為

即

方程

叫做直線的斜截式方程．其中k為直線的斜率，b為直線在y軸上的截距．

直線的斜截式方程鞏固知識典型例題8．2直線的方程例3

設(shè)直線l的傾斜角為60°，并且經(jīng)過點P（2，3）．

（1）寫出直線l的方程；

（2）求直線l在y軸上的截距．

解（1）由于直線l的傾角為60°，故其斜率為

又直線經(jīng)過點P（2，3），由公式得直線的方程為

（2）將上面的方程整理為

這是直線的斜截式方程，由公式知直線l的在y軸上的截距為運用知識強化練習(xí)8．2直線的方程分別求出直線在x軸及y軸上的截距．

創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．2直線的方程直線的點斜式方程與斜截式方程都可化為二元一次方程的一般形式想一想能不能說，一般形式的二元一次方程就是直線的方程呢？

動腦思考探索新知8．2直線的方程（2）當(dāng)時，方程為，表示經(jīng)過點且平行于x軸的直線（如下左圖）．

（1）當(dāng)時，二元一次方程可化為．表示斜率為，縱截距的直線．

（3）當(dāng)時，方程為，表示經(jīng)過點且平行于y軸的直線（如下右圖）．

所以，二元一次方程（其中A、B不全為零）表示一條直線．

方程

（其中A、B不全為零）叫做直線的一般式方程．

鞏固知識典型例題8．2直線的方程例4

將方程化為直線的一般式方程，并分別求出該直線在x軸與y軸上的截距．

解

由得

這就是直線的一般式方程．在方程中令，則故直線在x軸上的截距為令，則，故直線在y軸上的截距為3．

運用知識強化練習(xí)8．2直線的方程求直線在x軸、y軸上的截距及斜率．

理論升華整體建構(gòu)直線的點斜式方程1直線的斜截式方程28．2直線的方程直線的一般式方程3自我反思目標(biāo)檢測學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法

8．2直線的方程第八章

直線和圓的方程8．3兩條直線的關(guān)系創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．3兩條直線的關(guān)系我們知道，平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交、重合．并且知道，兩條直線都與第三條直線相交時，“同位角相等”是“這兩條直線平行”的充要條件．

兩條直線平行，它們的斜率之間存在什么聯(lián)系呢？

動腦思考探索新知8．3兩條直線的關(guān)系當(dāng)兩條直線的斜率都存在且都不為0時

如果直線平行于直線，那么這兩條直線與x軸，即直線的傾角相等，故相交的同位角相等兩條直線的斜率相等；反過來，如果直線的斜率相等，那么這兩條直線的傾角相等，即兩條直線與x軸相交的同位角相等，故兩直線平行．動腦思考探索新知8．3兩條直線的關(guān)系當(dāng)直線的斜率都是0時（如圖（2）），兩條直線都與x軸平行，所以都與x軸垂直，所以//．

與直線當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時（如圖（3）），直線的斜率都存在但不相等顯然，當(dāng)直線或一條直線的斜率存在而另一條直線的斜率不存在時，兩條直線相交．動腦思考探索新知8．3兩條直線的關(guān)系由上面的討論知，當(dāng)直線的斜率都存在時，設(shè)，則

重合平行相交兩條直線的位置關(guān)系兩個方程的系數(shù)關(guān)系當(dāng)兩條直線的斜率都存在時，就可以利用兩條直線的斜率及直線在y軸上的截距，來判斷兩直線的位置關(guān)系．

動腦思考探索新知判斷兩條直線平行的一般步驟是：(1)判斷兩條直線的斜率是否存在，若都不存在，則平行；若只有一個不存在，則相交．(2)若兩條直線的斜率都存在，將它們都化成斜截式方程，若斜率不相等，則相交；

(3)若斜率相等，比較兩條直線的縱截距，相等則重合，不相等則平行．

故直線的斜率為，在y軸上的截距為．

鞏固知識典型例題8．3兩條直線的關(guān)系例1

判斷下列各組直線的位置關(guān)系：

（1）（2）（3）解（1）由得

故直線的斜率為，在y軸上的截距為．

由得

因為，所以直線與相交．

鞏固知識典型例題8．3兩條直線的關(guān)系例1

判斷下列各組直線的位置關(guān)系：

（1）（2）（3）（2）由知，故直線的斜率為，在y軸上的截距為由得

的斜率為故直線，在y軸上的截距為因為，且所以直線與平行．

鞏固知識典型例題8．3兩條直線的關(guān)系例1

判斷下列各組直線的位置關(guān)系：

（1）（2）（3）由得

因為，且所以直線與重合．

（3）由得

故直線的斜率為，在y軸上的截距為．

故直線的斜率為，在y軸上的截距為．

如果求得兩條直線的斜率相等，那么，還需要比較它們在y軸的截距是否相等，才能確定兩條直線是否平行．

鞏固知識典型例題8．3兩條直線的關(guān)系例2

已知直線經(jīng)過點，且與直線平行，求直線的方程．

解

設(shè)的斜率為，則

設(shè)直線的斜率為k，由于兩條直線平行，故

又直線l經(jīng)過點，故其方程為

即運用知識強化練習(xí)判斷下列各組直線的位置關(guān)系：

8．3兩條直線的關(guān)系當(dāng)兩條直線的斜率都存在且都不為0時，如果直線斜率相等，那么當(dāng)直線的斜率都是0時，兩條直線都與x軸平行，所以與x軸垂直，所以//．

的斜率都不存在時直線都與直線當(dāng)兩條直線理論升華整體建構(gòu)兩條直線平行的條件

8．3兩條直線的關(guān)系自我反思目標(biāo)檢測學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法

8．3兩條直線的關(guān)系第八章

直線和圓的方程8．3兩條直線的關(guān)系創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．3兩條直線的關(guān)系平面內(nèi)兩條既不重合又不平行的直線肯定相交．如何求交點的坐標(biāo)呢？

動腦思考探索新知8．3兩條直線的關(guān)系如圖所示，兩條相交直線的交點，既在上，又在上．所以的坐標(biāo)是兩條直線的方程的公共解．因此解兩條直線的方程所組成的方程組，就可以得到兩條直線交點的坐標(biāo)．

兩條直線的交點坐標(biāo)動腦思考探索新知8．3兩條直線的關(guān)系觀察圖，直線相交于點P，如果不研究終邊相同的角，共形成四，其中個正角，分別為，與與為對頂角，而且我們把兩條直線相交所成的最小正角叫做這兩條直線的夾角，記作兩條直線的夾角規(guī)定，當(dāng)兩條直線平行或重合時，兩條直線的夾角為零角，因此，兩條直線夾角的取值范圍為動腦思考探索新知8．3兩條直線的關(guān)系兩條直線的夾角當(dāng)直線與直線的夾角為直角時稱直線與直線垂直，記做．觀察圖，顯然，垂直，即斜率為零的直線與斜率不存在的直線軸的直線與平行于軸的直線平行于垂直．

創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．3兩條直線的關(guān)系如果兩條直線的斜率都存在且不為零，如何判斷這兩條直線垂直呢？

創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．3兩條直線的關(guān)系設(shè)直線與直線的斜率分別為和（如圖），若，則

即

上面的過程可以逆推，即若，則由此得到結(jié)論（兩條直線垂直的條件）：

兩條直線垂直的條件（1）如果直線與直線的斜率都存在且不等于0，那么

（2）斜率不存在的直線與斜率為0的直線垂直．

鞏固知識典型例題8．3兩條直線的關(guān)系例3

求直線與直線交點的坐標(biāo)．

解解方程組

得

所以兩條直線的交點坐標(biāo)為．

鞏固知識典型例題8．3兩條直線的關(guān)系例4

判斷直線與直線是否垂直．

解

設(shè)直線的斜率為，則

直線的斜率為．由有

故

由于,所以與垂直．

鞏固知識典型例題8．3兩條直線的關(guān)系例5

已知直線經(jīng)過點，且垂直于直線，求直線方程．

解

設(shè)直線的斜率為，則設(shè)直線l的斜率為．由于，故，即

由此得

又直線過點，故其方程為即x–2y–4=0．

運用知識強化練習(xí)判斷下列各對直線是否相交，若相交，求出交點坐標(biāo)：8．3兩條直線的關(guān)系創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．3兩條直線的關(guān)系觀察右圖，過點作直線的垂線，到直線的距離，記作d．如何求出的長度為點垂足為Q，稱線段一個已知點到一條已知直線的距離呢？動腦思考探索新知8．3兩條直線的關(guān)系點到直線的距離公式點到直線的距離公式為

應(yīng)用公式時，直線的方程必須是一般式方程．

鞏固知識典型例題8．3兩條直線的關(guān)系例6

求點到直線的距離．

解直線方程化成一般式方程為

由公式有

鞏固知識典型例題8．3兩條直線的關(guān)系例7

試求兩條平行直線與之間的距離．

由平面幾何的知識知道，平行線間的距離，是其中一條直線上的任意一個點到另一條直線的距離．為運算方便，盡量選擇坐標(biāo)的數(shù)值比較簡單的點．

解點直線上的點，的距離為

點O到直線故這兩條平行直線之間的距離為鞏固知識典型例題8．3兩條直線的關(guān)系例8

設(shè)△ABC的頂點坐標(biāo)為求三角形的面積S．解由點可得

直線AB的斜率為

直線AB的方程為

即又AB邊上的高為點C到直線AB的距離

故三角形面積為

運用知識強化練習(xí)8．3兩條直線的關(guān)系根據(jù)下列條件求點P0到直線l的距離：（1）如果直線與直線的斜率都存在且不等于0，那么

（2）斜率不存在的直線與斜率為0的直線垂直．

理論升華整體建構(gòu)兩條直線垂直的條件8．3兩條直線的關(guān)系自我反思目標(biāo)檢測學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法

8．3兩條直線的關(guān)系第八章

直線和圓的方程8．4圓創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．4圓如圖所示，將圓規(guī)的兩只腳張開一定的角度后，把其中一只腳放在固定點O，另一只腳緊貼點所在平面上，然后轉(zhuǎn)動圓規(guī)一周（圓規(guī)的兩只腳張開的角度不變），畫出的圖形就是圓．圓是平面內(nèi)到定點的距離為定長的點的軌跡，定點叫做圓心，定長叫做半徑．

動腦思考探索新知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程8．4圓下面我們在直角坐標(biāo)系中研究圓的方程．

設(shè)圓心的坐標(biāo)為C（a，b），半徑為r，點M（x，y）為圓上的任意一點（如圖），

則由公式得

將上式兩邊平方，得

這個方程叫做以C（a，b）為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．特別的，當(dāng)圓心為坐標(biāo)原點Ｏ（0，0），半徑為r，的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為鞏固知識典型例題8．4圓例1

求以點C(?2，0)為圓心，r=3為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解因為,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

例2

寫出圓的圓心的坐標(biāo)及半徑．

解

方程可化為

所以

故，圓心的坐標(biāo)為，半徑為

使用公式求圓心的坐標(biāo)時，要注意公式中兩個括號內(nèi)都是“－”號．

運用知識強化練習(xí)8．4圓1．

求以點C(?1，3)為圓心，r=3為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．

寫出圓的圓心的坐標(biāo)及半徑．

動腦思考探索新知8．4圓將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理，可得

令則這是一個二元二次方程．觀察發(fā)現(xiàn)具有下列特點：

⑴含項的系數(shù)與含項的系數(shù)都是1；

⑵方程不含xy項．

具有這兩個特點的二元二次方程一定是圓的方程嗎?

動腦思考探索新知8．4圓將方程配方整理得

當(dāng)時，方程為是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其圓心在，半徑為方程

（其中）

叫做圓的一般方程．其中均為常數(shù)．

圓的一般方程鞏固知識典型例題8．4圓例3

判斷方程是否為圓的方程，如果是，求出圓心的坐標(biāo)和半徑．

解1

將原方程左邊配方，有所以方程表示圓心為(?2，3)，半徑為4的一個圓．解2

與圓的一般方程相比較，知D=4,E=?6,F=?3,故所以方程為圓的一般方程，由

知圓心坐標(biāo)為(?2，3)，半徑為4．運用知識強化練習(xí)8．4圓已知圓的方程為，求圓心的坐標(biāo)和半徑．

動腦思考探索新知8．4圓觀察圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程，可以發(fā)現(xiàn)：這兩個方程中各分別或．確定了這三個字母系含有三個字母系數(shù)數(shù)，圓的方程也就確定了．因此，求圓的方程時，關(guān)鍵是確（或）的值．

定字母系數(shù)鞏固知識典型例題8．4圓例4根據(jù)下面所給的條件，分別求出圓的方程：

⑴以點(?2，5)為圓心，并且過點(3，?7)；(2)設(shè)點A(4，3)、B

(6，?1)，以線段AB為直徑；(3)應(yīng)該點P(－2，4)、Q(0，2)，并且圓心在x+y=0上；解

⑴由于點（?2，5）與點（3，?）間的距離就是半徑，所以半徑為故所求方程為分析根據(jù)已知條件求出圓心的坐標(biāo)和半徑，從而確定字母系數(shù)a、b、r，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．這是求圓的方程的常用方法．

鞏固知識典型例題8．4圓例4根據(jù)下面所給的條件，分別求出圓的方程：

⑴以點(?2，5)為圓心，并且過點(3，?7)；(2)設(shè)點A(4，3)、B

(6，?1)，以線段AB為直徑；(3)應(yīng)該點P(?2，4)、Q(0，2)，并且圓心在x+y=0上；⑵設(shè)所求圓的圓心為C，則C為線段AB的中點，半徑為線段AB的長度的一半，即

即故所求圓的方程為

鞏固知識典型例題8．4圓例4根據(jù)下面所給的條件，分別求出圓的方程：

⑴以點(?2，5)為圓心，并且過點(3，?7)；(2)設(shè)點A(4，3)、B

(6，?1)，以線段AB為直徑；(3)應(yīng)該點P(?2，4)、Q(0，2)，并且圓心在x+y=0上；⑶由于圓心在直線上，故設(shè)圓心為，于是有

解得

因此，圓心為(－2，2)．半徑為

故所求方程為

鞏固知識典型例題8．4圓例5

求經(jīng)過三點的圓的方程．解設(shè)所求圓的一般方程為將點Ｏ（0，0），A（1，1），B（4，2）的坐標(biāo)分別代入方程，得

解得D=?8，E=6，F(xiàn)=0．故所求圓的一般方程為

運用知識強化練習(xí)8．4圓求經(jīng)過直線與的交點，圓心為的圓的方程．理論升華整體建構(gòu)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1

圓的一般方程28．4圓自我反思目標(biāo)檢測學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)方法

8．4圓自我反思目標(biāo)檢測8．4圓判斷方程是圓的方程嗎？為什么？

第八章

直線和圓的方程8．4圓創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．4圓我們知道，平面內(nèi)直線與圓的位置關(guān)系有三種（如圖）：（1）相離：無交點；（2）相切：僅有一個交點；（3）相交：有兩個交點．創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入8．4圓直線與圓的位置關(guān)系，可以由圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系來判別（如圖）：

（1）：直線與圓相離；

（2）：直線與圓相切；

（3）：直線與圓相交．

動腦思考探索新知8．4圓設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

則圓心C(a，b)到直線的距離為

比較d與r的大小，就可以判斷直線與圓的位置關(guān)系．

鞏固知識典型例題8．4圓例6

判斷下列各直線與圓的位置關(guān)系：

⑴直線,圓⑵直線,圓解⑴由方程知，，圓心為圓C的半徑圓心C到直線的距離為

由于，故直線ｌ與圓相交．

鞏固知識典型例題8．4圓例6

判斷下列各直線與圓的位置關(guān)系：

⑴直線,圓⑵直線,圓⑵將方程化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得

圓心C到直線的距離為

因此，圓心