大學(xué)物理競賽輔導(dǎo)振動(dòng)和波

2.有一半球形光滑的碗，小球Ⅰ在碗的球心處，小球Ⅱ

在碗壁離底部中心A點(diǎn)很近的地方，如圖所示。現(xiàn)同時(shí)從靜止釋放兩個(gè)小球，所有阻力均不計(jì)，則小球Ⅰ與Ⅱ到達(dá)碗底A點(diǎn)所需時(shí)間之比為

。例：在兩平行無限大平面內(nèi)是電荷體密度

>0的均勻帶電空間，如圖示有一質(zhì)量為m，電量為q(<0)的點(diǎn)電荷在帶電板的邊緣自由釋放，在只考慮電場力不考慮其它阻力的情況下，該點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)到中心對稱面oo的時(shí)間是多少？d>0ooq<0xq以oo為中心，在兩平面內(nèi)做簡諧振動(dòng)解：由高斯定理可求3.一波脈沖在弦上向x正方向傳播，t=0時(shí)刻的波形圖如下所示，畫出自t=0時(shí)刻起，P點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系曲線ty4。某時(shí)刻的弦波如圖示，此時(shí)圖中用實(shí)線示出的弦段中，振動(dòng)動(dòng)能最大的部位在

處，勢能最大的部位在

處。波的能量5。標(biāo)準(zhǔn)聲源能發(fā)出頻率為250Hz的聲波，一音叉與該標(biāo)準(zhǔn)聲源同時(shí)發(fā)聲，產(chǎn)生頻率為1.5Hz的拍音，若在音叉的臂上粘一小塊橡皮泥，則拍頻增加，音叉的固有頻率

。將上述音叉置于盛水的玻璃管口，調(diào)節(jié)管中水面的高度，當(dāng)管中空氣柱高度L從零連續(xù)增加時(shí)，發(fā)現(xiàn)在L=0.34m和1.03m時(shí)產(chǎn)生相繼的兩次共鳴，由以上數(shù)據(jù)算得聲波在空氣中的傳播速度為

。此時(shí)拍頻增加，由此可知共鳴時(shí)氣柱內(nèi)形成駐波，共鳴時(shí)的氣柱高度應(yīng)滿足故第一、二次共鳴時(shí)氣柱的高度差解：拍頻為1.5Hz時(shí)有兩種可能音叉粘上橡皮泥后質(zhì)量增加，頻率n應(yīng)減小，6.駐波可看作兩列行波疊加而成，下面的圖中圓點(diǎn)（·）代表一維駐波的波節(jié)位置，叉（×）代表其波腹位置。若已知一列行波在不同時(shí)刻的波形圖依時(shí)序圖（a）、（b）、（c）所示。試在各圖中畫出另一列行波在相應(yīng)時(shí)刻的波形圖（以虛線表示）。解：兩列行波疊加形成駐波時(shí)，它們在各波腹處引起的分振動(dòng)必同相，而在波節(jié)處的必反相，據(jù)此可繪出另一列行波相應(yīng)時(shí)刻的波形圖。7.兩個(gè)實(shí)驗(yàn)者A和B各自攜帶頻率同為1000Hz的聲源，聲波在空氣中的傳播速度為340m/s。設(shè)A靜止，B以速率20m/s朝著A運(yùn)動(dòng)，則A除了能收到頻率為1000Hz的聲波外，還能接收到頻率為

Hz的聲波；B除了能收到頻率為1000Hz的聲波外，還能接收到頻率為

Hz的聲波。多普勒效應(yīng)8.飛機(jī)在空中以速度u=200m/s作水平飛行，它發(fā)出頻率為的聲波，靜止在地面上的觀察者在飛機(jī)飛越過其上空時(shí)，測定飛機(jī)發(fā)出聲波的頻率，他在4s的時(shí)間內(nèi)測出聲波的頻率由降為，已知聲波在空氣中的速度v=330m/s，由此可求出飛機(jī)的飛行高度h=

m。ABMvvu解：由多普勒效應(yīng)可知：ABMvvu9.一維諧振子沿x軸作振幅為A的簡諧振動(dòng)。求證：在振動(dòng)區(qū)間內(nèi)任一x處出現(xiàn)的概率密度（即x處附近無限小區(qū)間內(nèi)單位距離上振子出現(xiàn)的概率）解：因振子在x→x+dx區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率正比于振子在上述區(qū)間的時(shí)間間隔dt與振動(dòng)周期T的比值，設(shè)比例常量為C，則有pdx=Cdt/T由歸一化條件：10.一房屋坐落在一條東西向公路的南面距公路100m的地方，屋內(nèi)的電視機(jī)正接收遠(yuǎn)處電視臺(tái)的訊號(hào)，訊號(hào)頻率為60MHz，方向如圖所示。一汽車沿公路自東向西勻速行駛，使屋內(nèi)電視機(jī)訊號(hào)的強(qiáng)度發(fā)生起伏變化。當(dāng)汽車行經(jīng)房屋正北面O點(diǎn)的瞬時(shí)，屋內(nèi)電視訊號(hào)的強(qiáng)度起伏為每秒兩次，求：汽車的行駛速率。解：設(shè)t時(shí)刻，汽車在位置C處，坐標(biāo)如圖所示，電視機(jī)接收到訊號(hào)的波程差為δ：11.由兩根相距為d豎直放置的棒狀天線O1和O2組成的天線陣列，可在水平平面內(nèi)各向同性地發(fā)射波長為λ、強(qiáng)度相同，但有一定相位差的無線電波。O1O2中點(diǎn)O與遠(yuǎn)方A、B兩鎮(zhèn)連線間的夾角為φ（φ<π），如圖所示?，F(xiàn)想通過調(diào)整兩天線間的相差，使A鎮(zhèn)收到的信號(hào)最強(qiáng)，B鎮(zhèn)卻收不到信號(hào)；當(dāng)改變用另一相位差時(shí)，使A鎮(zhèn)收不到信號(hào)，而B鎮(zhèn)收到信號(hào)最強(qiáng)。求：（1）天線陣列O1和O2連線的最小長度dmin（2）O1O2與OA間的夾角θ？這兩種情況中兩天線所發(fā)射的無線電波間的相位差各為何值。解：設(shè)兩信號(hào)的相位差為α，則：A極大B極小干涉相反：12.如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎起懸掛著，它的下端連結(jié)質(zhì)量為M的平板，平板上方h處有質(zhì)量也為M的小物塊。今使系統(tǒng)從彈簧處于自由長度狀態(tài)，平板和小物塊靜止開始釋放，當(dāng)平板降落到受力平衡位置時(shí)，小物塊恰好追上平板并與其粘連。試求：（1）h;（2）小物塊與平板粘連后的瞬間向下運(yùn)動(dòng)的速度u;（3）小物塊與平板粘連后形成的振動(dòng)的振幅A。解：設(shè)△l

為粘連前平板下降的高度，則：小球下落的高度：（2）粘連前平板和小球的速度分別為v1和v2粘連（完全非彈性碰撞）后兩者下落的速度為（3）粘連后系統(tǒng)的平衡位置下移以2△l為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向下的方向?yàn)閤軸的下向建立坐標(biāo)系（計(jì)時(shí)起點(diǎn)為粘連時(shí)）：新振動(dòng)的角頻率為新振動(dòng)的振幅為：13.兩彈性系數(shù)都是的彈簧它們與質(zhì)量為兩固定端之間的距離為，等于兩彈簧原長的和，微微波動(dòng)一下滑塊，使其作微小的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)圓頻率。的絕緣滑塊連接，滑塊內(nèi)植入一電量為的正點(diǎn)電荷兩固定端處各放一電量為的正點(diǎn)電荷解：當(dāng)位移為時(shí)，滑塊受力滑塊運(yùn)動(dòng)方程由于，對力作近似處理利用得到滑塊振動(dòng)方程變?yōu)檎駝?dòng)圓頻率為28屆（一）3.水平靜止的車廂中，用一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧水平靜止地連接質(zhì)量為m的小滑塊，滑塊與車廂底板間無摩擦。今如圖所示使車廂以恒定的加速度a0水平向右運(yùn)動(dòng)，小滑塊將在車廂內(nèi)左右振動(dòng)，振動(dòng)角頻率ω=

，振幅A=

。固有頻率公式：27屆（一）3.多普勒效應(yīng)示意圖見右，波源S的振動(dòng)頻率為，S朝著接收者B的運(yùn)動(dòng)速度為。機(jī)械波在介質(zhì)中的傳播速度為，B朝著S運(yùn)動(dòng)的速度為。則當(dāng)時(shí)，B的接受頻率

；當(dāng)時(shí)，B的接收頻率

。多普勒效應(yīng)公式：26屆（一）3.在x軸上傳播的三列縱波，合成的駐波可表述成＝

，x＝

處均為駐波的波腹點(diǎn)。振動(dòng)的合成合成的駐波解:（1）合成駐波的表達(dá)式為（2）駐波的振幅波腹處坐標(biāo)25屆（一）5.振動(dòng)頻率為ν0的聲波波源S靜止于水平地面某處，騎車者B與S相距L。t＝0開始，B沿著垂直于此時(shí)B、S連線方向以水平勻速度v運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知聲波在空氣中的傳播速度u>v，則而后t時(shí)刻B的接收頻率ν(t)＝

，從t＝0到t時(shí)刻期間，B接收到的振動(dòng)次數(shù)N（t）＝

。多普勒效應(yīng)振動(dòng)次數(shù)SBv×L解：（1）設(shè)B在t時(shí)間內(nèi)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)B在C與S的連線方向的速度為SACvv1θB根據(jù)多普勒效應(yīng),騎車者B遠(yuǎn)離波源S,因此B接收的頻率為

代入v1得,（2）

B在t時(shí)間內(nèi)接收到的振動(dòng)次數(shù)為24屆（一）6.在均勻介質(zhì)中沿x軸傳播的平面簡諧波，因介質(zhì)對波的能量吸收，波的平均能流密度大小I（x）隨x衰減的規(guī)律為I（x）＝I0e－μx，其中I0為x＝0處的I（x）值，μ為正常量。將x＝0處波的振幅記為A0

，則x>0處的振幅A（x）

。保留介質(zhì)和波的種類，改取球面簡諧波，考慮到介質(zhì)對波的能量吸收，將r0處的振幅記為A0，則r>r0處的振幅A（r）＝

。平均能流密度球面簡諧波方程24屆（一）12.微波探測器P位于湖岸水面上方h處，發(fā)射波長為λ

電磁波的射電星位于地平線上方Φ角時(shí)，圖中所示的直射波線1與反射波線2之間的波程差Δ＝

。已知h＝0.5m,λ=21cm,在Φ從接近零度開始增大的過程中，P接受到的信號(hào)第一次達(dá)到極大值時(shí)，Φ＝

。求波程差，從2向1作垂線，注意角度值。有半波損失。信號(hào)第一次達(dá)到極大值時(shí)，相干加強(qiáng)，波程差等于波長的整數(shù)倍，k＝1

12Ph湖面ΦΦ分析：波程差：第一次達(dá)到極大值：22屆（一）2.由t＝0時(shí)振子的位置x0和速度v0，可確定臨界阻尼振動(dòng)x＝（A1＋A2t）e－βt，（其中β為已知量）中的待定常量A1、A2分別為

。t＝0時(shí)振子加速度為a0＝

。t＝0時(shí)振子加速度為22屆（一）3.在介質(zhì)中傳播速度u＝200cm/s，波長λ＝100cm的一列平面簡諧波，某時(shí)刻的一部分曲線如圖所示。已知圖中P點(diǎn)坐標(biāo)xP＝20cm，振動(dòng)量ξP＝4cm，振動(dòng)速度vP＝12πcm/s，則可解得波動(dòng)振幅A＝

。x＝0點(diǎn)振動(dòng)初相位Φ0＝

。設(shè)P點(diǎn)振動(dòng)方程：oPuxξξP由P點(diǎn)振動(dòng)方程：ξoA由旋轉(zhuǎn)矢量法：oPuxξξPP點(diǎn)振動(dòng)方程：簡諧波方程：22屆（二）13.勻質(zhì)柱形木塊浮在水面上，水中部分深度為h，如圖所示。今使木塊