平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算人教A版必修

平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算復(fù)習(xí)1,平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2

使a=λ1e1+λ2e22.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)λ，使____________．b＝λa(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時，分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1、e2唯一確定的數(shù)量。a=λ1e1+λ2e2復(fù)習(xí)G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解類似地，由平面向量的基本定理，對平面上的任意向量a，均可以分解為不共線的兩個向量λ1a1和λ2

a2,使a=λ1a1+λ2

a2新課引入G與F1,F2有什么關(guān)系?把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若兩個不共線向量互相垂直時aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解思考：我們知道，在平面直角坐標(biāo)系，每一個點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量，如何表示？在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便。yxAa如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a，則點(diǎn)A的位置由a唯一確定。yxOji設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標(biāo)（x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；a(x,y)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示。反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)。向量的坐標(biāo)表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐標(biāo)相同向量a、b有什么關(guān)系?a＝b能說出向量b的坐標(biāo)嗎?b=(x,y)2.3.2（3）平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算學(xué)習(xí)導(dǎo)航預(yù)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示．難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則．新知初探思維啟動1.平面向量的正交分解把一個向量分解成兩個__________的向量，叫做把向量正交分解．2.平面向量的坐標(biāo)表示(1)向量的直角坐標(biāo)互相垂直在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個___________________i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y使得a＝__________，則把有序數(shù)對_________叫做向量a的坐標(biāo)．單位向量xi＋yj(x，y)(2)向量的坐標(biāo)表示在向量a的直角坐標(biāo)中，___叫做a在x軸上的坐標(biāo)，____叫做a在y軸上的坐標(biāo),__________

叫做向量的坐標(biāo)表示．(3)在向量的直角坐標(biāo)中，i＝(1，0)，j＝______________，0＝(0，0)．xya＝(x，y)(0，1)想一想3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的加、減法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝______________________，a－b＝________________________．即兩個向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差)．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)實(shí)數(shù)與向量的積若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝____________，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)(λx，λy)做一做已知a＝(1，2)，b＝(－1，3)，則a＋2b＝________．解析：∵2b＝(－2，6)，∴a＋2b＝(1，2)＋(－2，6)＝(1－2，2＋6)＝(－1，8)．答案：(－1，8)已知，求的坐標(biāo).OxyB(x2,y2)A(x1,y1)結(jié)論:一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。想一想典題例證技法歸納題型探究例1

在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b，c的方向如圖所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分別計算出它們的坐標(biāo)．向量的坐標(biāo)表示【名師點(diǎn)評】向量的坐標(biāo)表示是向量的另一種表示方法，當(dāng)向量的始點(diǎn)在原點(diǎn)時，終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練

設(shè)向量a、b的坐標(biāo)分別是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐標(biāo)．【解】a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－1－3，2＋5)＝(－4，7)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例23a＝3(－1，2)＝(－3，6)；2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(－2＋9，4－15)＝(7，－11)．向量坐標(biāo)的應(yīng)用例3【名師點(diǎn)評】(1)如果兩個向量是相等向量，那么它們的坐標(biāo)一定對應(yīng)相等．當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時，平面向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)相同．(2)證明一個四邊形為平行四邊形，可證明該四邊形的一組對邊所對應(yīng)的向量相等．變式訓(xùn)練2.已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y，2y－x)的對應(yīng)關(guān)系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1，1)，b＝(1，0)，試求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)；(2)求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐標(biāo)．備選例題2.若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5，2)，則向量a＝________，向量b＝________．解析：a＋b＝(－3，－4)，①a－b＝(5，2)．②答案：(1，－1)

(－4，－3)方法感悟方法技巧1.向量的正交分解是平面向量分解中常見的一種情形，即基底i，j垂直的情況．單位正交基底坐標(biāo)：i＝(1，0)，j＝(0，1),零向量坐標(biāo)0＝(0，0).2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．失誤防范1.點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的聯(lián)系與區(qū)別(1)表示形式不同，向量a＝(x，y)中間用等號連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒有等號.(2)意義不同,點(diǎn)A(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a＝(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x，y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點(diǎn)(