信號(hào)的時(shí)域分析3

3.1.1系統(tǒng)的微分方程3.1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)1、描述線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)（LTI）輸入——輸出特性的是常系數(shù)線性微分方程。2、時(shí)域分析法——從系統(tǒng)的模型（微分方程）出發(fā)，在時(shí)域中研究輸入信號(hào)通過系統(tǒng)后響應(yīng)的變化規(guī)律。(1)對(duì)于電系統(tǒng)，建立其微分方程的基本依據(jù)是：

KCL：

i(t)＝0

KVL：

u(t)＝0

VCR：uR(t)=Ri(t)3、LTI系統(tǒng)微分方程的建立3.1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)(2)一階電路系統(tǒng)的微分方程

(a)RC電路

一階微分方程的一般形式：(b)RL電路圖2(3)二階電路系統(tǒng)的微分方程

以電流源is(t)為激勵(lì)，以電感電流i(t)為響應(yīng)以電流源is(t)為激勵(lì)，以電容電壓uc(t)為響應(yīng)

一般的，n階LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程形式：y(t)——系統(tǒng)的響應(yīng)變量（電壓或電流等）f(t)——系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)（電壓源或電流源等）an，bm均為常數(shù)2、零輸入響應(yīng)（儲(chǔ)能響應(yīng)）：3.1.2零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

從觀察的初始時(shí)刻起不再施加輸入信號(hào)，僅由該時(shí)刻系統(tǒng)本身的起始儲(chǔ)能狀態(tài)引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)（ZIR）。

1、線性動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)①定義(1)對(duì)一階系統(tǒng)，輸入信號(hào)f(t)=0，系統(tǒng)方程特征方程：特征方程的根：則零輸入響應(yīng)：②經(jīng)典法求解系統(tǒng)零輸入響應(yīng)(ZIR)(2)對(duì)二階系統(tǒng)，輸入信號(hào)f(t)=0，系統(tǒng)方程特征方程：

特征方程的根：則零輸入響應(yīng)：②經(jīng)典法求解系統(tǒng)零輸入響應(yīng)(ZIR)3.1.2零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)3、零狀態(tài)響應(yīng)（受激響應(yīng)）：

當(dāng)系統(tǒng)的儲(chǔ)能狀態(tài)為零時(shí)，由外加激勵(lì)信號(hào)（輸入）產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)（ZSR）

。

①定義(1)一階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式：x(t)：強(qiáng)迫函數(shù)（與輸入信號(hào)有關(guān)）特征方程：特征方程的根：則零狀態(tài)響應(yīng)：

若x(t)中無δ(t)，則

若x(t)中有δ(t)，則②經(jīng)典法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)(ZSR)例3-1

R=1歐姆，C=0.5F，求在下列情況下的響應(yīng)uc(t)。解：該RC電路所對(duì)應(yīng)的微分方程為代入?yún)?shù)得特征根強(qiáng)迫函數(shù)特征函數(shù)(5)當(dāng)uC(0

)=4V，uS(t)=1+e3t

時(shí)，則完全響應(yīng)為：完全響應(yīng)：響應(yīng)的分類方法：按響應(yīng)的不同起因：分為儲(chǔ)能響應(yīng)和受激響應(yīng)；自由響應(yīng)：取決于系統(tǒng)性質(zhì)，即特征根；強(qiáng)迫響應(yīng)：取決于輸入信號(hào)的形式；瞬態(tài)響應(yīng)：當(dāng)t無限增長(zhǎng)，響應(yīng)最終趨于零；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：響應(yīng)恒定或?yàn)槟硞€(gè)穩(wěn)態(tài)函數(shù)。閱讀與思考：如何理解和應(yīng)用式二階系統(tǒng)ZSR為(2)二階系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法齊次解的函數(shù)形式僅依賴于系統(tǒng)本身的特性，與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為自由響應(yīng)或固有響應(yīng)。

特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。單位階躍信號(hào)3.2階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)時(shí)延t0發(fā)生躍變的階躍函數(shù)表示為圖13.2.1階躍響應(yīng)(stepresponse)LTI系統(tǒng)在零狀態(tài)下，由單位階躍信號(hào)引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，記為s(t)。圖21、定義一般的，若一階系統(tǒng)在ε(t)作用下其方程為

則階躍響應(yīng)：2、一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的求解方法4、階躍響應(yīng)的測(cè)量——用一個(gè)周期性方波信號(hào)的上升前沿代替階躍信號(hào)，前提：方波的高電平持續(xù)時(shí)間遠(yuǎn)大于階躍響應(yīng)的瞬態(tài)過程所經(jīng)歷的時(shí)間。圖33、二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的求解方法(略)3.2.2沖激響應(yīng)

儲(chǔ)能狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在單位沖激信號(hào)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為沖激響應(yīng)，記為h(t)。

則沖激響應(yīng)：1、定義2、一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的求解方法注意：沖激響應(yīng)并不是專指某一個(gè)輸出量，只要輸入信號(hào)為δ(t)，系統(tǒng)中任意處的電流或電壓輸出都稱為沖激響應(yīng)h(t)。例3-4

求圖6示系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)=uC(t)解:

圖63、階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系由系統(tǒng)的微、積分特性，則3.2.3利用轉(zhuǎn)移算子求h(t)1、定義算子微分方程算子表示所以2、微分方程的算子表示定義轉(zhuǎn)移算子(傳輸算子)3、轉(zhuǎn)移算子的一般定義4、算子的運(yùn)算規(guī)則(1)算子多項(xiàng)式可因式分解。(2)算子方程中左右兩端的算子p不能隨意消去。(3)算子p和1/p位置不能互換。(1)對(duì)一階方程有轉(zhuǎn)移算子對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)5、從轉(zhuǎn)移算子H(p)求取h(t)(2)對(duì)二階系統(tǒng)有轉(zhuǎn)移算子對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)5、從轉(zhuǎn)移算子H(p)求取h(t)有轉(zhuǎn)移算子對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)(3)對(duì)n階系統(tǒng)(4)一般有轉(zhuǎn)移算子對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)5、從轉(zhuǎn)移算子H(p)求取h(t)例3-5

設(shè)有二階方程則有算子方程即H(p)稱為轉(zhuǎn)移算子。對(duì)本例所以最后3.3.1卷積的概念與性質(zhì)3.3卷積及其應(yīng)用定義為f1(t)和f2(t)的卷積。1、卷積的定義

設(shè)有定義在(-∞,∞)區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和f2(t)，則積分若信號(hào)f1(t)和f2(t)均為因果信號(hào)，則例3-7求解設(shè)

1=1，

2=3，則2、卷積的重要性質(zhì)：交換律：f1(t)

f2(t)=f2(t)

f1(t)結(jié)合律：f1(t)

[f2(t)

f3(t)]=[f1(t)

f2(t)]

f3(t)分配律：[f1(t)+f2(t)]

f3(t)=f1(t)

f3(t)+f2(t)

f3(t)微分特性：若y(t)=f1(t)

f2(t)則y

(t)=f1(t)

f

2(t)=f

1(t)

f2(t)積分特性：應(yīng)用：

f(t)

(t)=f(t)

(1)(t)若y(t)=f1(t)

f2(t)則即信號(hào)f(t)與階躍信號(hào)卷積，就等于信號(hào)f(t)的積分。

卷積的延時(shí)特性：圖2例3-8

利用微、積分特性計(jì)算卷積圖13.3.2系統(tǒng)的卷積分析法

零狀態(tài)響應(yīng)=輸入信號(hào)沖激響應(yīng)

y(t)=f(t)

h(t)過程：LTI

(t)h(t)

（定義）

(t)

h(t)

（時(shí)不變性）

f(t)

(t)

f(t)h(t)

f(t)y(t)

f()

(t)

f()h(t)

（齊次性）

（可加性）圖3-16求零狀態(tài)響應(yīng)的圖示例信號(hào)與沖激函數(shù)的卷積圖3-19三角波與沖激信號(hào)卷積3.3.3圖解機(jī)理：圖形掃描法

(1)t換為

(2)h(

)

換為h(

)(3)h(

)平移(4)相乘積分1、卷積的圖示計(jì)算f(t)與h(t)的卷積在任意時(shí)刻的值，步驟如下：圖5圖60

t2時(shí)，t2時(shí)，2、卷積的圖形掃描法舉例圖7(1)當(dāng)-1+t<0時(shí)即t<1時(shí)，f(t)=0(2)當(dāng)0

-1+t<1時(shí)即

1

t<2時(shí)，圖8(3)當(dāng)1

-1+t<2時(shí)即

2

t<3時(shí)，圖9(4)當(dāng)0

-3+t<1時(shí)即

3

t<4時(shí)，(5)當(dāng)1

-3+t時(shí)即

4

t

時(shí)，練習(xí):1、問題的提出——已知系統(tǒng)的微分方程，如何直接利用卷積方法求取系統(tǒng)的ZSR和沖激響應(yīng)？3.4特征函數(shù)及其應(yīng)用2、一階系統(tǒng)應(yīng)用卷積法求解yzs(t)

若有方程

y

(t)+ay(t)=x(t)一階系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

算子方程即一階系統(tǒng)特征函數(shù)強(qiáng)迫函數(shù)

3、二階系統(tǒng)應(yīng)用卷積法求解yzs(t)若有二階系統(tǒng)微分方程算子方程即二階系統(tǒng)的ZSR

二階系統(tǒng)特征函數(shù)強(qiáng)迫函數(shù)

3、二階系統(tǒng)應(yīng)用卷積法求解yzs(t)若有二階系統(tǒng)微分方程n階系統(tǒng)的ZSR

n階系統(tǒng)特征函數(shù)4、推廣，若n階LTI系統(tǒng)的微分方程為5、直接利用卷積法求解沖激響應(yīng)h(t)例如，對(duì)于方程則y(t)=h(t)=b

(t)g2(t)

沖激響應(yīng)：對(duì)于方程則階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)：6、直接利用卷積法求解階躍響應(yīng)s(t)例如方程對(duì)于上述四種情況,其沖激響應(yīng)波形如下。過阻尼欠阻尼臨界阻尼無阻尼圖1圖2階躍響應(yīng)的四種狀態(tài)激勵(lì)f(t)

特解yp(t)E(常數(shù))BtmPmtm+Pm-1tm-1+……+P1t+P0——所有的特