第13-相關(guān)數(shù)列分析

13.1相關(guān)分析13.1.1相關(guān)關(guān)系的概念現(xiàn)象間的關(guān)系有兩種類(lèi)型：函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。1．函數(shù)關(guān)系。指現(xiàn)象之間存在著嚴(yán)格的依存關(guān)系，即變量之間依一定的函數(shù)形式形成的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系稱(chēng)為函數(shù)關(guān)系。2．相關(guān)關(guān)系。是指兩個(gè)變量之間存在某種依存關(guān)系，但變量y并不是由自變量x唯一確定的，它們之間沒(méi)有嚴(yán)格的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。13.1.2相關(guān)關(guān)系的種類(lèi)1.按相關(guān)關(guān)系涉及的因素多少，可分為單相關(guān)與復(fù)相關(guān)。2.按相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式，分為直線(xiàn)相關(guān)和曲線(xiàn)相關(guān)。3.按相關(guān)關(guān)系的變動(dòng)方向，分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。4.按相關(guān)關(guān)系是否涉及有關(guān)影響因素，分為因相關(guān)和自相關(guān)。5.按相關(guān)關(guān)系的性質(zhì)不同，可分為數(shù)值相關(guān)和屬性(等級(jí))相關(guān)。13.1.3簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)當(dāng)變量y與變量x之間具有線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，可用簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)測(cè)定它們之間的密切程度。計(jì)算公式為：簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為:－1≤r≤1.相關(guān)程度的劃分標(biāo)準(zhǔn)：

r＜1時(shí)，則x與y之間為負(fù)相關(guān);r=－1完全負(fù)相關(guān)；

r＞1時(shí)，則x與y之間為正相關(guān);r=1完全正相關(guān);|r|＜0.3，無(wú)相關(guān)；

0.3≤|r|＜0.5，低度相關(guān)；

0.5≤|r|＜0.8，中度相關(guān)；

0.8≤|r|

＜1，高度相關(guān)。相關(guān)程度的顯著性檢驗(yàn)變量y與變量x之間是否具有顯著的線(xiàn)性相關(guān)，亦可根據(jù)給定的顯著水平a(通常a=0.05)和自由度n－2，查R分布表得到臨界值Ra，若|r|＞Ra，則相關(guān)系數(shù)具有顯著性；否則，不具有顯著性?！纠?3.1】

【例13.2】測(cè)定簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)應(yīng)注意：(1)x與y兩個(gè)變量是對(duì)等的關(guān)系；(2)兩個(gè)變量只能算出一個(gè)相關(guān)系數(shù)；(3)要求兩個(gè)變量都是隨機(jī)的。13.1.4斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)是把兩個(gè)變量排序變?yōu)榈燃?jí)排序，然后計(jì)算相關(guān)系數(shù)。等級(jí)相關(guān)又稱(chēng)順位相關(guān)。計(jì)算等級(jí)相關(guān)系數(shù)首先應(yīng)將數(shù)量水準(zhǔn)或順序水準(zhǔn)的具體表現(xiàn)按等級(jí)次序(1，2，…)排列，然后用下列公式計(jì)算等級(jí)相關(guān)系數(shù)：其中n為等級(jí)的項(xiàng)數(shù)；d=x等級(jí)－y等級(jí)的差值?！纠?3.3】11.1.5肯達(dá)爾一致性系數(shù)肯達(dá)爾一致性系數(shù)通常用來(lái)測(cè)定多個(gè)順序等級(jí)變量之間的一致性程度。計(jì)算時(shí)，要求先列出樣本中各個(gè)個(gè)體的不同順序等級(jí)測(cè)評(píng)排序，并算出等級(jí)之和∑Ti及平方和∑,然后計(jì)算肯達(dá)爾一致性系數(shù)，即其中：k為等級(jí)變量的個(gè)數(shù)，n為樣本容量?！纠?3.4】等級(jí)相關(guān)系數(shù)和一致性系數(shù)亦可作顯著性檢驗(yàn)

13.2一元線(xiàn)性回歸一元線(xiàn)性回歸是用數(shù)學(xué)模型描述具有簡(jiǎn)單相關(guān)的因變量與自變量的數(shù)量關(guān)系,利用樣本數(shù)據(jù)求解模型參數(shù)，并對(duì)模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，然后利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。13.2.1一元線(xiàn)性回歸模型如果兩個(gè)變量之間存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，并且自變量的變化會(huì)引起因變量按線(xiàn)性關(guān)系變化，則兩個(gè)變量間關(guān)系可用一元線(xiàn)性回歸模型描述：式中：a、b為回歸系數(shù)，a為回歸直線(xiàn)的截距，b為回歸直線(xiàn)的斜率，e是誤差項(xiàng)。一元線(xiàn)性回歸模型具有以下特點(diǎn)：(1)兩個(gè)變量y、x之間必須存在著真實(shí)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系；(2)兩個(gè)變量y、x之間不是對(duì)等的關(guān)系，分別為因變量和自變量。(3)因變量y是隨機(jī)變量，自變量x是非隨機(jī)變量，是給定的數(shù)值。(4)系數(shù)b有正負(fù)之分，b為正值x與y正相關(guān)；b為負(fù)值x與負(fù)相關(guān)。13.2.2一元線(xiàn)性回歸模型的參數(shù)估計(jì)通常采用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，求解a、b參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程組為：13.2.3回歸模型的評(píng)價(jià)與檢驗(yàn)1.擬合程度的測(cè)定?；貧w直線(xiàn)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合程度用可決系數(shù)r2表示:可決系數(shù)r2的取值區(qū)間為[0，1],可決系數(shù)r2是線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)r的平方.r的正負(fù)號(hào)與回歸系數(shù)b的正負(fù)號(hào)相同.2.估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差.說(shuō)明變量y的實(shí)際值與估計(jì)值的誤差程度:

3.回歸系數(shù)b的顯著性檢驗(yàn)?；貧w系數(shù)b是一個(gè)估計(jì)值，若y與x之間不存在線(xiàn)性關(guān)系，則回歸系數(shù)b不具有顯著性，所建立的回歸方程是不能利用的?；貧w系數(shù)b的顯著性檢驗(yàn)采用t檢驗(yàn)。其統(tǒng)計(jì)量為：根據(jù)給定的顯著水平a(通常a=0.05)和自由度n－2，查t分布表得到臨界值ta/2，若|tb|＞ta/2，則回歸系數(shù)b具有顯著性，若|tb|<ta/2

，則回歸系數(shù)b不具有顯著性。4.回歸方程的顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)整個(gè)回歸方程是否具有顯著性，判斷y與x之間是否存在真實(shí)的線(xiàn)性相關(guān)，亦即對(duì)相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行F檢驗(yàn)。首先計(jì)算回歸方程的F統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)顯著水平a(通常a=0.01或0.05)及自由度(k=1，n—2)查F分布表得到臨界值F，若F＞Fa，回歸方程具有顯著性;F＜Fa，回歸效果不顯著。

（5）誤差序列自相關(guān)檢驗(yàn)根據(jù)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)建立一元線(xiàn)性回歸模型時(shí)，則誤差項(xiàng)e也是一個(gè)時(shí)間序列，若誤差序列之間存在密切的相關(guān)關(guān)系，則建立的回歸模型就不能表述自變量與因變量之間的真實(shí)變動(dòng)關(guān)系。DW檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)誤差序列是否存在嚴(yán)重的自相關(guān)。首先計(jì)算誤差序列統(tǒng)計(jì)量DW：誤差自相關(guān)檢驗(yàn)不能通過(guò)時(shí),應(yīng)對(duì)模型進(jìn)行改建或重建.【例13.5】13.2.4一元線(xiàn)性回歸模型的應(yīng)用

1。因素分析?？勺髌骄呺Hb、平均彈性系數(shù)和貢獻(xiàn)率分析2。當(dāng)一元線(xiàn)性回歸模型中的x、y是一種收支關(guān)系時(shí)，并且是根據(jù)橫截面數(shù)據(jù)建立的回歸模型，則可用來(lái)測(cè)定收支相等的臨界點(diǎn)。令y=a+bx

中的x=y，則3．利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。將自變量的預(yù)測(cè)值x0代人回歸模型可求得因變量的預(yù)測(cè)值。亦可用利余標(biāo)準(zhǔn)差sy和一定的置信概率進(jìn)行區(qū)間預(yù)測(cè)。4．利用回歸模型進(jìn)行控制。所謂控制，是指預(yù)測(cè)的反問(wèn)題，就是說(shuō)，如果我們要求y在確定范圍內(nèi)取值，那么應(yīng)該把自變量x控制在什么數(shù)值上或取值范圍內(nèi)。

13.3多元線(xiàn)性回歸13.3.1多元線(xiàn)性回歸模型其中，b0為常數(shù)項(xiàng)，b1，b2…bK為回歸系數(shù)，又稱(chēng)偏回歸系數(shù)二元線(xiàn)性回歸模型為建立多元線(xiàn)性回歸模型應(yīng)注意自變量的選擇，其準(zhǔn)則是：

(1)自變量對(duì)因變量必須有顯著的影響，并呈密切的線(xiàn)性相關(guān)；

(2)自變量與因變量之間的線(xiàn)性相關(guān)必須是真實(shí)的；

(3)自變量之間應(yīng)具有一定的互斥性，即Rxx<Rxy。

(4)自變量應(yīng)具有完整的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，其預(yù)測(cè)值容易確定

13.3.2多元線(xiàn)性回歸模型的參數(shù)估計(jì)用最小二乘法求解參數(shù)。如二元線(xiàn)性回歸求參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程組為：如果多元線(xiàn)性回歸分析依據(jù)的是分組數(shù)據(jù),則應(yīng)采用加權(quán)最小二乘法估計(jì)。為了判別各個(gè)自變量對(duì)因變量影響程度的大小,亦可去掉多元線(xiàn)性回歸模型中的常數(shù)項(xiàng)b0,再用最小二乘法求解參數(shù)。13.3.3多元線(xiàn)性回歸模型的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)1．?dāng)M合程度的測(cè)定。用多重可決系數(shù)R2評(píng)價(jià)，計(jì)算公式為：多重可決系數(shù)R2的平方根稱(chēng)為復(fù)相關(guān)系數(shù),它能說(shuō)明多元線(xiàn)性回歸中的因變量與所有自變量的相關(guān)程度的高低。在多元線(xiàn)性回歸中,亦可計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)來(lái)說(shuō)明當(dāng)其他變量不變時(shí),任意兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度的高低,反映變量之間的真實(shí)聯(lián)系。計(jì)算公式見(jiàn)教材.2.估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是因變量y的實(shí)際值與回歸方程求出的估計(jì)值之間的標(biāo)準(zhǔn)誤差，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，回歸方程擬合程度越強(qiáng)。

3.回歸方程顯著性檢驗(yàn)。采用F檢驗(yàn)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量為：根據(jù)顯著水平a，自由度(k，n-k-1)查F分布表，得臨界值Fa，若F＞Fa，則回歸方程的回歸效果顯著；F＜Fa，則回歸方程的回歸效果不顯著.4.回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。采用t檢驗(yàn)。

先計(jì)算統(tǒng)計(jì)量ti，然后根據(jù)給定的顯著水平a，自由度n-k-1查t分布表，得臨界值ta或ta/2，t＞ta或ta/2，則回歸系數(shù)具有顯著性，反之，回歸系數(shù)不具有顯著性。統(tǒng)計(jì)量t的計(jì)算公式為：其中Cij是多元線(xiàn)性回歸方程中求解回歸系數(shù)矩陣的逆矩陣的主對(duì)角線(xiàn)上的第j個(gè)元素。

5.多重共線(xiàn)性判別。在多元線(xiàn)性回歸方程中，若自變量之間有很強(qiáng)的線(xiàn)性關(guān)系，超過(guò)了因變量與自變量的線(xiàn)性關(guān)系，則回歸模型的穩(wěn)定性受到破壞，回歸系數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確。在多元回歸中多重共線(xiàn)性是難避免的，只要不太嚴(yán)重就行了。判別方法主要有：通常認(rèn)為0<k<10,自變量之間不存在多重共線(xiàn)性;自變量之間存在較強(qiáng)的多重共線(xiàn)性;自變量之間存在嚴(yán)重的多重共線(xiàn)性。降低多重共線(xiàn)性可轉(zhuǎn)換自變量的取值，如變絕對(duì)數(shù)為相對(duì)數(shù)或平均數(shù)，或更換其他的自變量,或增大數(shù)據(jù)樣本量,或剔除不重要的自變量。6．D.W檢驗(yàn)。誤差序列若存在嚴(yán)重的的自相關(guān)則建立的回歸模型就不能表述自變量與因變量之間的真實(shí)變動(dòng)關(guān)系。D.W檢驗(yàn)先計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量d:

（0≤d≤4）然后根據(jù)顯著水平a，自變量個(gè)數(shù)k和樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n，查D.W分布表，得到下限值dL和上限值du，判別原則與一元線(xiàn)性回歸模型所述相同.

若DW檢驗(yàn)誤差序列存在自相關(guān),則應(yīng)檢查是否遺漏了關(guān)鍵變量未引入模型中,檢查因變量或自變量是否存在滯后性影響,檢查回歸模型的函數(shù)形式是否正確,從而找出問(wèn)題加以解決?；蛘邔?duì)因變量和自變量進(jìn)行一階差分或求環(huán)比增長(zhǎng)率,用增量數(shù)據(jù)或環(huán)比增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)建立多元回歸模型.7.經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷幕貧w系數(shù)的正負(fù)號(hào)是否合理,能否得到合理的經(jīng)濟(jì)解釋。經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)通不過(guò),建立的回歸模型就無(wú)應(yīng)用意義。13.3.4多元線(xiàn)性回歸模型的應(yīng)用1．因素分析?？衫没貧w系數(shù)、平均彈性系數(shù)、貢獻(xiàn)率揭示各個(gè)自變量的變動(dòng)對(duì)因變量的影響程度和主次因素。2．預(yù)測(cè)。利用多元回歸模型可求因變量的點(diǎn)預(yù)測(cè)值或預(yù)測(cè)區(qū)間。3．控制。通過(guò)給定的因變量的目標(biāo)值來(lái)控制自變量的取值。

【例13.6】

13.3.5多元線(xiàn)性回歸自變量的篩選1．向前回歸法:自變量不斷進(jìn)入回歸模型的過(guò)程。2．向后回歸法:自變量不斷剔除回歸模型的過(guò)程。3．逐步回歸法:是向前回歸法和向后回歸法的綜合，最后所得的回歸方程為最優(yōu)回歸方程。逐步回歸法、向前回歸法和向后回歸法參數(shù)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)計(jì)算量大，可利用統(tǒng)計(jì)分析軟件進(jìn)行估計(jì)和檢驗(yàn)?！纠?3.7】根據(jù)表13-5的數(shù)據(jù)，構(gòu)建的城鎮(zhèn)居民人均可支配收入U(xiǎn)I和農(nóng)民人均純收入RI為因變量的回歸模型分別為比較城鄉(xiāng)居民人均收入形成的回歸模型可發(fā)現(xiàn)，農(nóng)民人均純收入形成的機(jī)理和影響因素與是不同的。13.3.6含定性自變量的回歸模型在實(shí)際問(wèn)題研究中,有時(shí)會(huì)遇到一些非數(shù)量型變量,如性別、職業(yè)、文化程度、正常年份與非正常年份等品質(zhì)變量。建立回歸模型時(shí),經(jīng)常需要考慮某些定性變量對(duì)因變量的影響。1．定性變量數(shù)量化處理處理的方法是引入虛擬變量(0-1型變量),即定性變量只取兩類(lèi)(k=2)時(shí)，某一屬性出現(xiàn)時(shí)取值定為1，不出現(xiàn)時(shí)虛擬變量取值為0。虛擬變量又稱(chēng)0-1型變量或啞變量.2.含定性自變量的回歸模型估計(jì):最小二乘法

（1）聯(lián)合回歸模型估計(jì):只有1個(gè)模型.【例13.8】虛擬變量取值為1和取值為0的兩個(gè)回歸方程有相同的斜率和相同的誤差項(xiàng)方差,則可采用聯(lián)合回歸模型參數(shù)估計(jì),并作模型檢驗(yàn)。

（2）分段回歸模型估計(jì):分建2個(gè)模型【例13.9】虛擬變量取值為1和取值為0的兩個(gè)回歸方程有不相同的斜率和不同的誤差項(xiàng)方差,可采用分段回歸模型估計(jì)參數(shù),并作模型檢驗(yàn)。13.4非線(xiàn)性回歸模型在實(shí)際問(wèn)題研究中，變量之間的關(guān)系不一定都是線(xiàn)性關(guān)系，而是表現(xiàn)為某種曲線(xiàn)關(guān)系。這種非線(xiàn)性關(guān)系稱(chēng)為曲線(xiàn)相關(guān)，據(jù)此配合的曲線(xiàn)模型稱(chēng)為曲線(xiàn)回歸模型或非線(xiàn)性回歸模型。許多非線(xiàn)性回歸模型經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換，可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸模型的形式，采用最小二乘法求其回歸曲線(xiàn)。1.常見(jiàn)的非線(xiàn)性回歸模型有：2.非線(xiàn)性回歸模型的評(píng)價(jià)非線(xiàn)性回歸模型一般不能進(jìn)行有關(guān)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，因?yàn)樵S多統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)都是建立在線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)模型基礎(chǔ)之上的。但是為了評(píng)價(jià)非線(xiàn)性回歸模型的擬合程度及其估計(jì)誤差的大小，可計(jì)算下列評(píng)價(jià)指標(biāo)：13.4.3柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)其中:y代表產(chǎn)出增長(zhǎng)率,a代表科技進(jìn)步率,K代表資本投入量,α

代表資本產(chǎn)出彈性系數(shù),L代表勞動(dòng)投入量,β代表勞動(dòng)產(chǎn)出彈性系數(shù)。若用y,l,k分別表示總產(chǎn)出、勞動(dòng)力和資本的增長(zhǎng)率或平均增長(zhǎng)率,a表示技術(shù)進(jìn)步增長(zhǎng)率,則總量生產(chǎn)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為索洛提出的具有規(guī)模報(bào)酬不變特性的增長(zhǎng)方程,即當(dāng)參數(shù)和確定之后，則技術(shù)進(jìn)步率增長(zhǎng)率為:科技進(jìn)步、勞動(dòng)增長(zhǎng)和資本增長(zhǎng)對(duì)產(chǎn)出增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)率的關(guān)系式為估計(jì)α和β參數(shù)法有經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法、比值估計(jì)法、增長(zhǎng)率估計(jì)法、回歸估計(jì)法等?！纠?3.10】

13.4.4邏輯斯蒂線(xiàn)性回歸1.邏輯斯蒂線(xiàn)性回歸模型簡(jiǎn)介logistic線(xiàn)性回歸模型通常用于分析和描述在特定條件下事件發(fā)生的概率與事件不發(fā)生的概率及其比值,研究有關(guān)因素對(duì)因變量y的影響。因變量y為0-1型變量,取0和1兩個(gè)值;自變量x可以是數(shù)量型變量,也可以是0-1型變量。設(shè)研究對(duì)象y僅取0和1兩個(gè)值,事件發(fā)生的條件概率為p=P(Y=1),有i個(gè)因素x1，x2，……，xi

影響y的取值。則有下列l(wèi)ogistic回歸模型:

將等式兩邊取對(duì)數(shù)則有下列l(wèi)ogistic線(xiàn)性回歸模型應(yīng)用logistic線(xiàn)性回歸模型應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)pi值可取樣本頻率,即樣本中分組觀(guān)察單位數(shù)ni中具有”是”(y=1)的單位數(shù)mi所占的比率pi=mi/ni,但要求pi≠0或1,亦即mi≠0,mi≠ni。當(dāng)mi≠0,mi≠ni時(shí),可用下列修正公式計(jì)算樣本頻率:(2)分組數(shù)據(jù)應(yīng)采用加權(quán)最小二乘法估計(jì)參數(shù),以避免異方差性,其權(quán)數(shù)為wi=nipi(1-pi)。2.一元線(xiàn)性logistic回歸模型當(dāng)因變量y為0-1型變量,只有一個(gè)主