ch常系數(shù)線性微分方程組

2013年6月1一階常系數(shù)非齊次線性微分方程組一階常系數(shù)非齊次

線性微分方程組為先討論(1)的求解即(1)的基解矩陣的求法.方法：代數(shù)的方法2013年6月22013年6月3將(2)代入(1)得1基解矩陣與其特征值和特征向量的關(guān)系解法

找n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解（構(gòu)成基解矩陣）3.1常系數(shù)齊次線性微分方程組2013年6月4方程組(3)有非零解的充要條件是:結(jié)論即2013年6月52基解矩陣的計(jì)算方法---常系數(shù)線性微分方程組的解法(1)矩陣A具有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量時(shí)定理3.1是常系數(shù)線性微分方程組的一個(gè)基解矩陣.2013年6月6證明:由上面討論知,每一個(gè)向量函數(shù)都是(1)的解,因此矩陣是(1)的解矩陣,所以2013年6月7注1：A的特征方程的n個(gè)特征根都是單根由線性代數(shù)的知識(shí)有：

屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的．是常系數(shù)線性微分方程組的一個(gè)基解矩陣.2013年6月8解例1

2013年6月92013年6月10其通解為2013年6月11例3.1

求方程組的通解.解因此特征根為它們相的特征向量為2013年6月12故基解矩陣為故通解為2013年6月13注2：A的特征方程有重根時(shí)，但有n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量。且屬于不同特征值共有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量:是常系數(shù)線性微分方程組(1)的一個(gè)基解矩陣.2013年6月14解例2

設(shè)求A的特征值與特征向量．由此2013年6月152013年6月16得基礎(chǔ)解系為：由2013年6月17故基解矩陣為故通解為2013年6月18

若屬于li的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)<ni如何確定常系數(shù)線性微分方程組(1)的ni個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解？(2)矩陣A的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)<n時(shí)2013年6月19定理3.22013年6月20說(shuō)明1:其中2013年6月21說(shuō)明2:對(duì)應(yīng)于矩陣A的每個(gè)特征值按定理3.1或定理3.2確定的那些線性無(wú)關(guān)的特解合起來(lái)仍然線性無(wú)關(guān)，它們就是方程組（1）的一個(gè)基本解組。見SeeP301定理3.32013年6月22例3解特征方程為為求其對(duì)應(yīng)的特征向量考慮方程組解得2013年6月23由2013年6月24其通解為2013年6月25其通解為代入初始條件2013年6月26例4

求方程組滿足初始條件解這里系數(shù)矩陣特征根為2013年6月27我們需要考慮下面方程和首先討論這個(gè)方程組的一個(gè)基解為其次2013年6月28其通解為2013年6月29其通解為2013年6月30其特解為2013年6月31(3)矩陣A有復(fù)特征值，它的特征值中可能有共軛復(fù)數(shù)，，特征向量可能是復(fù)向量。SeeP304可將線性無(wú)關(guān)的復(fù)向量值函數(shù)線性無(wú)關(guān)的實(shí)向量值函數(shù)。2013年6月32例5解的根,2013年6月33解得解得2013年6月342013年6月35其中2013年6月36重要性質(zhì)：若X(t)是常系數(shù)線性微分方程組的一個(gè)基解矩陣且滿足條件X(0)=E，則有SeeP.307定理3.4的證明過(guò)程2013年6月373.2常系數(shù)非齊次線性微分方程組復(fù)習(xí)由第7.2節(jié)的一個(gè)滿足的特解(2.1)(2.6)其通解為(2.10)滿足的特解(2.11)2013年6月383.2常系數(shù)非齊次線性微分方程組的一個(gè)滿足的特解(3.7)①其通解為②滿足的特解③常數(shù)矩陣2013年6月39下面研究常系數(shù)非齊線性微分方程組定理3.4常系數(shù)非齊線性微分方程組(5)的通解為滿足的特解（6）（7）見P3072013年6月40解由例5知故初值問(wèn)題的解為例6

設(shè)的解.2013年6月41故初值問(wèn)題的解為2013年6月42注意：若基解矩陣不滿足定理3.4中條件seeP308的例3.62013年6月431.常系數(shù)齊次線性微分方程組的求解步驟小結(jié)(1)寫出矩陣A的特征方程求出特征值l.(2)代入特征值li,作矩陣A-liE的初等行變換，求出A的屬于特征值li的特征向量2013年6月44(3)代入特征值li,作矩陣A-liE的初等行變換，求出A的屬于特征值li的特征向量(i)(ii)2013年6月45(iii)應(yīng)用公式計(jì)算

若屬于li的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)<ni2013年6月