協(xié)方差相關(guān)系數(shù)和大數(shù)定律

§3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題

對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布

對(duì)二維隨機(jī)變量,除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系,問題是用一個(gè)怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.

數(shù)反映了隨機(jī)變量X,Y之間的某種關(guān)系

為X,Y的協(xié)方差.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義定義稱無量綱的量為X,Y的相關(guān)系數(shù).若稱X,Y不相關(guān).稱

若

(X,Y)為離散型，若

(X,Y)為連續(xù)型，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

求cov(X,Y),

XY10pqXP10pqYP例1

已知

X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP例2

設(shè)u~U(0,2

),X=cosu,Y=cos(u+),

是給定的常數(shù)，求

XY解若若有線性關(guān)系若不相關(guān)，但不獨(dú)立，沒有線性關(guān)系，但有函數(shù)關(guān)系協(xié)方差的性質(zhì)

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為如例1中

X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1已求得,則必有其中

X,Y不相關(guān)X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)例3

設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=

2,U=aX+bY,V=aX-bY,a,b為常數(shù)，且都不為零，求

UV解由而故

a,b取何值時(shí),U與V不相關(guān)？此時(shí),U與V是否獨(dú)立？繼續(xù)討論若a=b，

UV=0,則U,V不相關(guān).——X的k

階(原點(diǎn))矩——X的k

階中心矩--X的二階中心矩--X的方差——X的1階(原點(diǎn))矩——X的期望矩和中心矩

§3.4隨機(jī)變量的另幾個(gè)數(shù)字特征設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為定義下

分位數(shù)的數(shù)，為此分布的下

分位數(shù).F(x)，概率密度為f(x),

則稱滿足條件：x

?設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為定義上

分位數(shù)的數(shù)，為此分布的上

分位數(shù).F(x)，概率密度為f(x),

則稱滿足條件：x

?

設(shè)X是只取非負(fù)值的隨機(jī)變量，且有數(shù)學(xué)期望E(X)，則有

§3.5切比雪夫不等式與大數(shù)定理馬爾可夫（Markov）不等式

設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)，則有切比雪夫（Chebyshev）不等式或當(dāng)

2

D(X)

無實(shí)際意義,大數(shù)定律的思想：

概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律大數(shù)定律

定義：若存在常數(shù)a，使對(duì)于任何有

則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于a。1.切比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律相互獨(dú)立，設(shè)r.v.序列則有或且：各有數(shù)學(xué)期望和方差當(dāng)

n

足夠大時(shí),算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù).當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立r.v.序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.算術(shù)均值數(shù)學(xué)期望近似代替可被Chebyshev大數(shù)定律的意義2.貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設(shè)

nA

是n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p

是每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率,則有或在概率的統(tǒng)計(jì)定義中,事件A

發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：頻率與

p

有較大偏差是小概率事件,因而在n

足夠大時(shí),可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里(Bernoulli)大數(shù)定律的意義3.辛欽(Khinchin)大數(shù)定律相互獨(dú)立，設(shè)r.v.序列則有或具有相