8基于正態(tài)分布和概率函數(shù)擬合的金融投資風(fēng)險(xiǎn)分析模型

第28章基于正態(tài)分布和概率函數(shù)擬合的金融投資風(fēng)險(xiǎn)分析模型——風(fēng)險(xiǎn)分析28.1案例背景風(fēng)險(xiǎn)度量與預(yù)測(cè)研究一直是金融投資的一大熱點(diǎn)問題，已知某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個(gè)問題：1）準(zhǔn)備用數(shù)額為1000萬元的資金投資某種金融資產(chǎn)（如股票，外匯等）。它必須根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計(jì)在下一個(gè)周期（如1天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過多少。2）如果要求在一個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為多少。下面表28.1是該公司在過去一年255個(gè)交易日的日收益額（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，假定每天結(jié)算一次，保持每天在市場(chǎng)上的投資額為1000萬元。表28.1公司過去一年255個(gè)交易日的日收益額統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：萬元）收益額33323130292827262524232221201918天數(shù)1111121214026347收益額171615141312111098765432天數(shù)58571014819911111410668收益額10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14天數(shù)9593741625532210收益額-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30天數(shù)1000000100100000要求：參考以上數(shù)據(jù)，建立兩種模型來解決前述的兩個(gè)問題，并對(duì)這兩個(gè)模型加以比較；討論二周期情形（如今后兩天內(nèi)）上述兩個(gè)問題的答案。陳述上述兩個(gè)問題的一般形式（即初始投資額為M，限定損失額為L，置信度為1-，T個(gè)周期）及其解決方案。28.2.模型建立28.2.1正態(tài)分布模型由于生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述，那么對(duì)于這個(gè)金融投資的實(shí)際問題，根據(jù)給定的該公司在過去一年255個(gè)交易日的日收益額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，容易想到該數(shù)據(jù)很有可能符合正態(tài)分布。為直觀判斷，用Matlab軟件做樣本的頻率直方圖，并對(duì)比與樣本同期望、同方差的正態(tài)分布圖，見圖28.1、28.2。圖28.1樣本頻率直方圖圖28.2與樣本同期望、同方差的正態(tài)分布圖由圖28.1及28.2可知，兩者很相近。故本章首先通過統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，根據(jù)樣本來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)關(guān)于分布的正態(tài)性假設(shè)。從而考慮建立正態(tài)分布模型進(jìn)行求解。用Matlab編程估計(jì)正態(tài)分布的參數(shù)，并作相應(yīng)的檢驗(yàn)，就可以近似的得到正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)。正態(tài)分布模型求解的關(guān)鍵是對(duì)所給數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗(yàn)，本章采用經(jīng)典的擬合檢驗(yàn)法和專用于檢驗(yàn)分布是否為正態(tài)的“偏峰、峰度檢驗(yàn)法”兩種方法分別進(jìn)行驗(yàn)證。28.2.2擬合檢驗(yàn)法（1）作原假設(shè)：過去一年255個(gè)交易日的日收益額的總體分布為正態(tài)分布，即X服從正態(tài)分布（2）作的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：由樣本值、、…作實(shí)軸的分割區(qū)間，（-∞，-12），[-12，-8)，[-8，-4)，[-4，-0)，[0，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12)，[12，16)，[16，20)，[20，24)，[24，27)，[27，+∞)，共計(jì)14個(gè)區(qū)間（即=14），定第i個(gè)區(qū)間的實(shí)際頻數(shù)，并計(jì)算，（），其中，確定理論頻數(shù)（）。用Matlab編程求解，程序及結(jié)果詳見28.3，本章中，且表28.2知，滿足要求。（3）取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)定理：若充分，,則當(dāng)為真時(shí)(不論中的分布屬什么分布)，統(tǒng)計(jì)量總是近似地服從自由度為的分布，其中r是被估計(jì)的參數(shù)的個(gè)數(shù)。即本章中=255，=14，=2，并給定顯著性水平，則，查分布表可得，即拒絕域。（4）檢驗(yàn)：由Matlab計(jì)算得到=10.6743<19.6751，即，則接受，認(rèn)為X服從正態(tài)分布。28.2.3偏峰、峰度檢驗(yàn)法偏度、峰度檢驗(yàn)法的理論依據(jù)是正態(tài)分布密度曲線是對(duì)稱的且陡緩適當(dāng)。因此被檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)若來自正態(tài)總體，其對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布密度曲線就不能偏斜太多，不能陡緩過分。為此考察兩個(gè)數(shù)字特征，一個(gè)是偏度，另一個(gè)是峰度。（1）原假設(shè)：X服從正態(tài)分布。（2）作數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：本章用Matlab編程計(jì)算樣本偏度與樣本峰度，詳見28.3求得結(jié)果分別為，。同時(shí)計(jì)算相關(guān)參數(shù)、、，如下：（3）給定顯著性水平，在，很大時(shí)由查正態(tài)分布表確定分為點(diǎn)，則拒絕域?yàn)椋?）判別：，即，則接受，認(rèn)為總體X服從正態(tài)分布。28.2.4利用正態(tài)分布模型求解問題由上述兩種檢驗(yàn)方式知，255個(gè)交易日的日投資效益分布近似服從正態(tài)分布。其中正態(tài)分布的參數(shù)分別用樣本的均值與標(biāo)準(zhǔn)差來進(jìn)行估計(jì)，可以得到正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)：概率密度函數(shù)（）概率分布函數(shù)（）對(duì)于所給問題，分三種情況（一周期情形、兩周期情形和一般情形）依次求解。（1）一周期情形：第一問中估計(jì)在下一個(gè)周期（如1天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性，即為，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，所以一個(gè)周期內(nèi)損失超過10萬元的概率為3.84%。求解以95%的置信度保證損失的數(shù)額的最大值，設(shè)為X萬元（），則得，化為，，，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，，故8.72。第二問可由概率論相關(guān)知識(shí)得到，。即在一個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為1146.8萬元。（2）兩周期情形：當(dāng)為兩周期情形時(shí)，收益額、為獨(dú)立同分布，即、，則服從，故相應(yīng)的計(jì)算方法同一周期情形，不再累述，結(jié)果為：兩個(gè)周期內(nèi)損失超過10萬元的概率為3.67%，以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過7.95萬元，兩個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多為1258.4萬元。（3）一般情形：設(shè)T個(gè)周期的收益額分別為，則它們也滿足獨(dú)立同分布，即，故服從，計(jì)算方法也同上，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來求解。推導(dǎo)過程如下：第一問第一小題：第一問第二小題：（設(shè)能以的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過X）（查表得）第二問：(設(shè)T個(gè)周期內(nèi)的損失超過L萬元的可能性不大于的初始投資額最多為)28.3MATLAB實(shí)現(xiàn)根據(jù)擬合檢驗(yàn)法和偏峰、峰度檢驗(yàn)法的相關(guān)理論，用MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)對(duì)所給樣本數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗(yàn)。2.3.1擬合檢驗(yàn)法擬合檢驗(yàn)法的MATLAB求解代碼及運(yùn)行結(jié)果如下：x=[333231302928282726262524242424222221212121212120202019191919181818181818181717171717161616161616161615151515151414141414141413131313131313131313121212121212121212121212121211111111111111111010101010101010101010101010101010101099999999988888888888777777777776666666666666655555555554444443333332222222211111111100000-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-3-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-5-6-6-6-6-6-6-7-7-8-8-8-8-8-9-9-9-9-9-10-10-10-11-11-12-12-13-15-22-25];mm=minmax(x)%求數(shù)據(jù)中的最小數(shù)和最大數(shù)hist(x,14)%畫直方圖fi=[length(find(x<-12)),...length(find(x>=-12&x<-8)),...length(find(x>=-8&x<-4)),...length(find(x>=-4&x<0)),...length(find(x>=0&x<4)),...length(find(x>=4&x<6)),...length(find(x>=6&x<8)),...length(find(x>=8&x<10)),...length(find(x>=10&x<12)),...length(find(x>=12&x<16)),...length(find(x>=16&x<20)),...length(find(x>=20&x<24)),...length(find(x>=24&x<27)),...length(find(x>=27))]%各區(qū)間上出現(xiàn)的頻數(shù)mu=mean(x),sigma=std(x)%均值和標(biāo)準(zhǔn)差fendian=[-12,-8,-4,0,4,6,8,10,12,16,20,24,27]%區(qū)間的分點(diǎn)p0=normcdf(fendian,mu,sigma)%分點(diǎn)處分布函數(shù)的值p1=diff(p0)%中間各區(qū)間的概率p=[p0(1),p1,1-p0(13)]%所有區(qū)間的概率p2=255*p%n*chi=(fi-255*p).^2./(255*p)chisum=sum(chi)%皮爾遜統(tǒng)計(jì)量的值x_a=chi2inv(0.95,11)%chi2分布的0.95分位數(shù)程序運(yùn)行結(jié)果：mm=-2533fi=4121423281625202736241178mu=7.4863sigma=9.8520fendian=-12-8-40468101216202427p0=Columns1through110.02400.05800.12180.22370.36170.44000.52080.60070.67660.80630.8980Columns12through130.95310.9762p1=Columns1through110.03400.06380.10180.13810.07830.08080.07990.07590.12970.09170.0552Column120.0230p=Columns1through110.02400.03400.06380.10180.13810.07830.08080.07990.07590.12970.0917Columns12through140.05520.02300.0238p2=Columns1through116.11238.674616.280025.967735.204119.972320.591320.375219.350233.066323.3931Columns12through1414.06595.87486.0724chi=Columns1through110.73001.27480.31930.33921.47420.79010.94390.00693.02430.26030.0157Columns12through140.66830.21550.6119chisum=10.6744x_a=19.6751根據(jù)以上Matlab程序求解后，將計(jì)算結(jié)果列于表28.2。表28.2擬合檢驗(yàn)法計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)表序號(hào)分組區(qū)間-1（-∞，-12）46.1123-2.11230.73002[-12，-8)128.67463.32541.27483[-8，-4)1416.28-2.28000.31934[-4，-0)2325.9677-2.96770.33925[0，4)2835.041-7.20411.47426[4，6)1619.9723-3.97230.79017[6，8)2520.59134.40870.94398[8，10)2020.3752-0.37520.00699[10，12)2719.35027.64983.024210[12，16)3633.06632.93370.260311[16，20)2423.39310.60690.015712[20，24)1114.0659-3.06590.668313[24，27)75.87481.12520.215514[27，+∞)86.07241.92760.6119255255=10.6743在使用擬合檢驗(yàn)法時(shí)，要求樣本容量必須足夠大，一般，同時(shí)理論頻數(shù)不能太小，一般，在本章中，且由上表知，滿足要求。2.3.2偏峰、峰度檢驗(yàn)法樣本歷史數(shù)據(jù)的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量（偏峰、峰度檢驗(yàn)法）的MATLAB求解代碼及運(yùn)行結(jié)果如下：x=[333231302928282726262524242424222221212121212120202019191919181818181818181717171717161616161616161615151515151414141414141413131313131313131313121212121212121212121212121211111111111111111010101010101010101010101010101010101099999999988888888888777777777776666666666666655555555554444443333332222222211111111100000-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-3-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-5-6-6-6-6-6-6-7-7-8-8-8-8-8-9-9-9-9-9-10-10-10-11-11-12-12-13-15-22-25];t1=mean(x)%均值(期望）t2=std(x)%標(biāo)準(zhǔn)差t3=skewness(x)%偏度t4=var(x)%方差t5=kurtosis(x)%峰度hist(x,15)%畫直方圖normplot(x)%分布的正態(tài)性檢驗(yàn)圖程序運(yùn)行結(jié)果：t1=7.4863t2=9.8520t3=-0.1307t4=97.0618t5=3.2195根據(jù)以上Matlab程序求解得到樣本偏度與樣本峰度，分別為，。28.4案例擴(kuò)展本章案例也可以考慮采用概率函數(shù)擬合模型計(jì)算。該模型思考的關(guān)鍵在于，不具體考慮歷史樣本的分布，如何通過直接分析數(shù)據(jù)來擬合概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)進(jìn)行求解。2.4.1概率密度函數(shù)擬合模型對(duì)于255天歷史數(shù)據(jù)的隨機(jī)變量（日收益額），根據(jù)計(jì)算其樣本值為萬元時(shí)的概率，采用擬合方式可以獲得隨機(jī)變量的一個(gè)概率密度函數(shù)估計(jì)。運(yùn)用MatlabToolboxes中的CurveFittingTool對(duì)收益額發(fā)生的概率進(jìn)行模擬，通過多種函數(shù)的模擬，去除不符合條件的，得到如下結(jié)果：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)a1=0b1=9.635c1=0.0002259a2=0.03106(0.02071,0.04141)b2=6.976(4.905,9.047)c2=15.54(12.07,19.02)a3=0.02068(0.008923,0.03243)b3=9.736(8.273,11.2)c3=4.243(1.437,7.049).收益額近似服從以為概率密度的函數(shù)關(guān)系。因此，.問題一、運(yùn)用Mathematica軟件求解得，，即一個(gè)周期內(nèi)損失超過10萬元的概率為5.23%。以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過10.25萬元。問題二、有。即在一個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為975.61萬元。28.4.2概率分布函數(shù)擬合模型對(duì)于255天歷史數(shù)據(jù)的日收益額隨機(jī)變量，根據(jù)計(jì)算其樣本值為萬元時(shí)的概率，并累加時(shí)的概率，采用擬合方式可以獲得隨機(jī)變量的一個(gè)概率分布函數(shù)估計(jì)。運(yùn)用MatlabToolboxes中的CurveFittingTool工具，模擬出日收益額的概率分布函數(shù)，函數(shù)如下：其中：；；；；；；；由此根據(jù)概率分布函數(shù)上述問題可以直接求解。問題一、一個(gè)周期內(nèi)損失超過10萬元的概率為：，95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過9.20萬元。問題二、有，即在一個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為1086.96萬元。28.4.3兩種模型比較第一種正態(tài)分布模型通過為歷史數(shù)據(jù)的正態(tài)分布驗(yàn)證，再用Matlab工具箱得到正態(tài)分布函數(shù)及相關(guān)參數(shù)，方法較為普遍