（新教材）【人教A版】必修一3.2.1.2（數(shù)學(xué)）

第2課時(shí)

函數(shù)的最大值、最小值函數(shù)的最大值和最小值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M(或m)滿足條件(1)?x∈I,都有f(x)≤M;(2)?x0∈I,使得f(x0)=M

(3)?x∈I,都有f(x)≥m;(4)?x0∈I,使得f(x0)=m結(jié)論M為函數(shù)y=f(x)的最大值m為函數(shù)y=f(x)的最小值【思考】如果函數(shù)f(x)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足f(x)≤M,那么M一定是函數(shù)f(x)的最大值嗎?提示:不一定.如函數(shù)f(x)=-x2≤1恒成立,但是1不是函數(shù)的最大值.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)任何函數(shù)都有最大值、最小值. (

)(2)如果一個(gè)函數(shù)有最大值,那么最大值是唯一的.(

)(3)如果一個(gè)函數(shù)f(x)是區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞減的,那么函數(shù)的最大值是f(b). (

)提示:(1)×.如函數(shù)y=既沒有最大值,也沒有最小值.(2)√.函數(shù)的最大值是唯一的.(3)×.最大值為f(a).2.函數(shù)f(x)在[-2,+∞)上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的最大、最小值分別為 (

)A.3,0

B.3,1C.3,無最小值 D.3,-2【解析】選C.觀察圖象可以知道,圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3),從而其最大值是3;另外從圖象看,無最低點(diǎn),即該函數(shù)不存在最小值.3.函數(shù)y=在區(qū)間[2,4]上的最大值、最小值分別是(

)

【解析】選A.因?yàn)閥=在[2,4]上是單調(diào)遞減的,所以當(dāng)x=2時(shí),取最大值y=1;當(dāng)x=4時(shí)取最小值y=.類型一利用函數(shù)的圖象求最值【典例】1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,5]上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的最小值、最大值分別是 (

)A.-2,f(2) B.2,f(2)C.-2,f(5) D.2,f(5)2.已知函數(shù)f(x)= 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)在如圖所示給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出f(x)的圖象.(2)由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)f(x)有最值.【思維·引】1.根據(jù)最值的幾何意義確定最值.2.(1)作一次函數(shù)圖象需找出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),作二次函數(shù)圖象則需找出頂點(diǎn)及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).(2)利用最值的幾何意義確定最值大小.【解析】1.選C.觀察圖象可知圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,-2),從而其最小值是-2;另外從圖象看圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(5,f(5)),從而其最大值為f(5).2.(1)由題意,當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),f(x)=-x2+3,為二次函數(shù)的一部分;當(dāng)x∈(2,5]時(shí)f(x)=x-3,為一次函數(shù)的一部分.所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:(2)由圖象可知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)有最大值,最大值為3;當(dāng)x=2時(shí),f(x)有最小值,最小值為-1.【內(nèi)化·悟】利用圖象求最值需要關(guān)注圖象的哪些點(diǎn)?提示:關(guān)注圖象的最高點(diǎn),最低點(diǎn).【類題·通】圖象法求最值的步驟【習(xí)練·破】已知函數(shù)f(x)=求函數(shù)f(x)的最大值、最小值.【解析】作出f(x)的圖象如圖:由圖象可知,當(dāng)x=2時(shí),f(x)取最大值為2;當(dāng)x=時(shí),f(x)取最小值為.所以f(x)的最大值為2,最小值為.【加練·固】已知函數(shù)f(x)=則f(x)的最大值、最小值分別為________,________.

【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖).由圖象可知,當(dāng)x=±1時(shí),f(x)取最大值,最大值為f(±1)=1;當(dāng)x=0時(shí),f(x)取最小值,最小值為f(0)=0,故f(x)的最大值為1,最小值為0.答案:1

0類型二利用單調(diào)性求函數(shù)的最值【典例】已知函數(shù)f(x)=世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明其結(jié)論.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上的最大值與最小值.【思維·引】(1)根據(jù)當(dāng)x變大時(shí),y值的變化判斷單調(diào)性,并用定義證明.(2)根據(jù)單調(diào)性確定在哪一點(diǎn)處取最大、最小值,再求最值.【解析】(1)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增.證明如下:?x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=因?yàn)閤1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上是單調(diào)遞增的,故函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上的最大值為f(9)=,最小值為f(2)=.【內(nèi)化·悟】利用單調(diào)性求最值的關(guān)鍵是什么?提示:準(zhǔn)確確定函數(shù)的單調(diào)性.【類題·通】1.利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性.(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值.2.函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減(增),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè).【習(xí)練·破】設(shè)函數(shù)f(x)=2-.(1)判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性并用定義加以證明.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上的最大值與最小值.【解析】(1)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,證明如下:?x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=因?yàn)?<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)由(1)可知函數(shù)f(x)在[2,5]上單調(diào)遞增,所以f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(2)=.【加練·固】已知函數(shù)f(x)=,x∈[3,7].(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義加以證明.(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上單調(diào)遞減,證明如下:?x1,x2∈[3,7],且x1>x2,因?yàn)閒(x1)=,f(x2)=,所以f(x1)-f(x2)=因?yàn)閤1,x2∈[3,7],x1>x2,所以x1-2>0,x2-2>0,x2-x1<0,所以f(x1)-f(x2)=<0.即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在[3,7]上單調(diào)遞減.(2)由單調(diào)函數(shù)的定義可得f(x)max=f(3)=4,f(x)min=f(7)=.類型三一元二次函數(shù)的最值問題角度1不含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值問題【典例】函數(shù)f(x)=的最大值是(

)

【思維·引】轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題解答.【解析】選D.令t=1-x(1-x)=則0<f(x)≤,所以f(x)的最大值為.角度2含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值問題【典例】設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2-|x-a|+1,x∈R.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.(2)求函數(shù)f(x)的最小值.【思維·引】(1)代入a值,化簡后求最值;(2)討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求最值.【解析】(1)當(dāng)a=0,x∈[0,2]時(shí),函數(shù)f(x)=x2-x+1,因?yàn)閒(x)的圖象開口向上,對(duì)稱軸為x=,所以當(dāng)x=時(shí),f(x)值最小,最小值為,當(dāng)x=2時(shí),f(x)值最大,最大值為3.(2)①當(dāng)x≤a時(shí),函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(i)若a≤,則f(x)在(-∞,a]上單調(diào)遞減,在(-∞,a]上的最小值為f(a)=a2+1;(ii)若a>,則函數(shù)f(x)在(-∞,a]上的最小值為

=-a;②當(dāng)x>a時(shí),f(x)=x2-x+a+1=(i)若a<,則f(x)在[a,+∞)上的最小值為=+a;(ii)若a≥,則f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)的最小值為f(a)=a2+1.所以當(dāng)a≤時(shí),a2+1-≥0,f(x)的最小值為+a.當(dāng)a≥時(shí),a2+1-≥0,f(x)的最小值為

-a.當(dāng)<a<時(shí),f(x)的最小值為+a與-a中較小者.所以當(dāng)<a<0時(shí),f(x)的最小值為+a;當(dāng)0≤a<時(shí),f(x)的最小值為-a.綜上,當(dāng)a<0時(shí),f(x)的最小值為+a;當(dāng)a≥0時(shí),f(x)的最小值為-a.【素養(yǎng)·探】在解決含參數(shù)的最值問題時(shí),常常用到核心素養(yǎng)中的邏輯推理,利用分類與整合法,分別表示不同情況下的最值.將本例的函數(shù)改為f(x)=x2-2ax+1,試求函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最值.【解析】方法一:函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a,當(dāng)a<0時(shí),f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(0)=1;當(dāng)0≤a≤2時(shí),f(x)min=f(a)=-a2+1;當(dāng)a>2時(shí)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(2)=5-4a,所以f(x)min=當(dāng)a≤1時(shí),f(x)max=f(2)=5-4a;當(dāng)a>1時(shí),f(x)max=f(0)=1,所以f(x)max=方法二:由f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2,x∈[0,2],當(dāng)a<0時(shí),如圖所示,

則f(x)max=f(2)=5-4a,f(x)min=f(0)=1,當(dāng)0≤a<1時(shí),如圖所示,

則f(x)max=f(2)=5-4a,f(x)min=f(a)=1-a2,當(dāng)1≤a<2時(shí),如圖所示,

則f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(a)=1-a2,當(dāng)a≥2時(shí),如圖所示,

則f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)=5-4a.綜上,f(x)min=f(x)max=角度3實(shí)際應(yīng)用性問題【典例】某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖①;B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖②.(注:利潤和投資單位:萬元) 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式.(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),怎樣分配這18萬元資金,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?【思維·引】(1)根據(jù)正比例函數(shù)設(shè)解析式,再求系數(shù);(2)利用換元法求最值.【解析】(1)根據(jù)題意可設(shè)f(x)=k1x,g(x)=k2,由題干圖數(shù)據(jù)可知,f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0).(2)設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元,則A產(chǎn)品投入(18-x)萬元,該企業(yè)可獲總利潤為y萬元.則y=(18-x)+,0≤x≤18,令

=t,t∈[0,],則y=(-t2+8t+18)=(t-4)2+,所以當(dāng)t=4時(shí),ymax==8.5,此時(shí)x=16,18-x=2,所以當(dāng)A,B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時(shí),可使該企業(yè)獲得最大利潤,約為8.5萬元.【類題·通】1.含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值.以一元二次函數(shù)圖象開口向上、對(duì)稱軸為x=m為例,區(qū)間為[a,b](1)最小值:f(x)min=(2)最大值:f(x)max=

當(dāng)開口向下、區(qū)間不是閉區(qū)間時(shí),類似方法進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系.2.對(duì)于應(yīng)用性問題,首先將問題利用一元二次函數(shù)表示,再利用配方法求最值.

【習(xí)練·破】某公司生產(chǎn)某種皮包成本為40元/個(gè),出廠價(jià)為60元/個(gè),日銷售量為1000個(gè).為適應(yīng)市場(chǎng)需求,公司決定提高該款皮包檔次,適度增加成本.若每個(gè)皮包成本增加的百分率為x(0<x<1),則每個(gè)皮包的出廠價(jià)相應(yīng)提高的百分率為0.5x,同時(shí)預(yù)計(jì)日銷售量可增加的百分率為0.6x.(1)若假設(shè)增加成本后的日利潤為y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系及定義域.(2)求日利潤的最大值.【解析】(1)增加成本后的日利潤為:y=[60(1+0.5x)-40(1+x)]×1000(1+0.6x)=-6000x2+2000x+20000,定義域?yàn)閧x|0<x<1}.(2)因?yàn)閥=-6000x2+2000x+20000=-2000(3x2-x-10),對(duì)稱