優(yōu)等生·高考數(shù)學(xué)專題13：以解析幾何與橢圓相關(guān)的綜合問題

優(yōu)等生·高考數(shù)學(xué)專題13：以解析幾何與橢圓相關(guān)的綜合問題優(yōu)等生高考數(shù)學(xué)專題13：解析幾何與橢圓相關(guān)的綜合問題1.已知點原點，直線斜率為k，經(jīng)過橢圓上弦的中點。求橢圓的方程和直線的方程，以及面積的最大值。2.已知橢圓右焦點是拋物線的焦點，頂點在第一象限內(nèi)，與菱形的頂點在橢圓上，求橢圓和直線的方程。3.設(shè)橢圓圓心為O，左焦點為F1，離心率為e，為圓C2：(x-2)^2+(y-2)^2=2的圓心Q在橢圓C2上，點P（x,y）到橢圓C的右焦點的距離為d。求橢圓C的方程和△MAB的面積的取值范圍。4.設(shè)橢圓離心率為e，右焦點為F，右頂點為A，動點P在橢圓上，動直線過點F，與橢圓交于兩點，求面積的最大值。5.設(shè)橢圓中心為原點，離心率為e，動直線過點右焦點F，右頂點為A，與橢圓交于兩點，求的值和面積的最大值。6.已知橢圓的左焦點為F1，短軸長為2a，離心率為e，點P在軸的右側(cè)，以為底邊的等腰梯形的頂點在軸上，求四邊形面積的最小值。7.已知拋物線的焦點為F，離心率為e，點P為拋物線與橢圓的一個公共點，且過點P的直線的斜率為k，與橢圓交于兩點，求橢圓的方程和實數(shù)的取值范圍。8.已知橢圓離心率為e，短軸端點到焦點的距離為c，求橢圓的方程和定值c，以及任意兩點的距離為定值的解析式。9.證明：原點到直線的距離等于折疊紙片后原點到圓心的距離。求軌跡的方程和面積的取值范圍。10.已知橢圓方程，求過點A（a,0）和B（0,b）的直線的斜率范圍，使得直線與橢圓交于4個不同的點。距離之和為常數(shù)，且與橢圓的短軸長相等，求橢圓的方程。20．已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓上一點，過點的直線與橢圓交于兩點，且這兩點到點的距離之和為定值，求橢圓的方程。21．已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓上一點，過點的直線與橢圓交于兩點，且這兩點到點的距離之差為定值，求橢圓的方程。22．已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓上一點，過點的直線與橢圓交于兩點，且這兩點到點的連線與橢圓的長軸垂直，求橢圓的方程。23．已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓上一點，過點的直線與橢圓交于兩點，且這兩點到點的連線與橢圓的短軸垂直，求橢圓的方程。24．已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓上一點，過點的直線與橢圓交于兩點，且這兩點到點的連線的長度之和為定值，求橢圓的方程。25．已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓上一點，過點的直線與橢圓交于兩點，且這兩點到點的連線的長度之差為定值，求橢圓的方程。1.求橢圓的方程，使其以原點為圓心，以橢圓距離之和為4，當點運動到橢圓的上頂點時，直線的離心率為半徑的圓相切。解：設(shè)橢圓的長軸為2a，短軸為2b，則有$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$由題意可得$$2a+2b=4\Rightarrowa+b=2$$當點運動到橢圓的上頂點時，直線的離心率為半徑的圓相切，即橢圓的焦距為$a-b$。由橢圓的定義可得$$\sqrt{a^2-b^2}=a-b$$解得$a=\frac{5}{3},b=\frac{1}{3}$，因此橢圓的方程為$$\frac{x^2}{\frac{25}{9}}+\frac{y^2}{\frac{1}{9}}=1$$2.已知橢圓的中心在原點，離心率等于$\frac{4}{5}$，它的一個短軸端點恰好是拋物線的焦點。（1）求橢圓的方程；（2）已知$A,B$是橢圓上的兩點，$P,Q$是橢圓上位于直線$y=kx$兩側(cè)的動點。①若直線$y=kx$交橢圓于兩點$M,N$，求四邊形$ABMN$面積的最大值；②當$k=\frac{3}{4}$時，若$PQ$過定點$(1,0)$，求該定點坐標。解：（1）設(shè)橢圓的長軸為2a，短軸為2b，則有$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$由離心率的定義可得$$\frac{a}=\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}=\frac{5}{4}$$又因為一個短軸端點恰好是拋物線的焦點，所以拋物線的焦點為$(0,b)$，即$$\frac{y^2}{2b}=x$$將$x$代入橢圓方程中，得到$$\frac{y^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$解得$b=\frac{2}{\sqrt{5}},a=\frac{4}{\sqrt{5}}$，因此橢圓的方程為$$\frac{x^2}{\frac{16}{5}}+\frac{y^2}{\frac{8}{5}}=1$$（2）設(shè)直線$y=kx$的斜率為$k$，則直線的方程為$y=kx$。由橢圓方程和直線方程可得$$x^2\left(\frac{k^2}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+2kxy\frac{1}{a^2}+y^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}\right)=1$$設(shè)$M,N$的坐標分別為$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，則$ABMN$的面積為$$S_{ABMN}=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$$根據(jù)上式可得$$x_1y_2-x_2y_1=\frac{a^2b^2}{k}$$因此，$S_{ABMN}$的最大值為$\frac{a^2b^2}{2}$，即$\frac{16}{25}$。當$k=\frac{3}{4}$時，直線$y=kx$的方程為$y=\frac{3}{4}x$。設(shè)點$P$的坐標為$(x_p,y_p)$，則點$Q$的坐標為$(x_p,-y_p)$。由題意可得$$\frac{x_p^2}{a^2}+\frac{y_p^2}{b^2}=1,\frac{x_p^2}{a^2}+\frac{(-y_p)^2}{b^2}=1$$聯(lián)立上述兩式，解得$x_p^2=\frac{16}{25},y_p^2=\frac{4}{25}$，因此點$P$的坐標為$(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$，點$Q$的坐標為$(\frac{4}{5},-\frac{2}{5})$。由于點$(1,0)$在直線$PQ$上，所以直線$PQ$的斜率$k$滿足$$\frac{0-\frac{2}{5}}{1-\frac{4}{5}}=k=\frac{-\frac{2}{5}}{1-\frac{4}{5}}$$解得$k=\frac{2}{3}$。此時，直線$PQ$的方程為$y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{15}$。設(shè)直線$PQ$與圓的交點為$(x_0,y_0)$，則有$$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1,y_0=\frac{2}{3}x_0-\frac{10}{15}$$聯(lián)立上述兩式，解得$x_0=\frac{7}{25},y_0=\frac{8}{25}$，因此定點的坐標為$(\frac{7}{25},0)$。本題考查待定系數(shù)法求解橢圓方程和圓錐曲線求最值的方法。解決圓錐曲線最值問題的方法有幾何意義和函數(shù)問題兩種，本題采用了函數(shù)問題的方法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來求解三角形面積最大值。2.（1）根據(jù)拋物線和橢圓的定義，可以求得點M的坐標、a和b的值。（2）根據(jù)菱形性質(zhì)，可以得到AC的斜率和AC中點與BD中點重合的方程，代入橢圓方程得到直線的方程。3.（1）根據(jù)題意求出橢圓的標準方程，然后求出左焦點和右焦點的坐標。（2）分類討論直線與x軸的關(guān)系，根據(jù)韋達定理和弦長公式求出四邊形的面積，再利用不等式的性質(zhì)得到所求范圍。4.（1）（題目中缺少內(nèi)容，無法進行解析）（2）本題應(yīng)該是缺少內(nèi)容的，無法進行解析。求解橢圓的標準方程，可以使用待定系數(shù)法，列出兩個獨立條件，解方程組即可。第一個條件是圓心在橢圓上，即可以得到橢圓中心的坐標。第二個條件是根據(jù)兩點間距離公式得到橢圓的離心率，進而可以得到橢圓的標準方程。對于直線與橢圓的位置關(guān)系問題，可以先設(shè)直線的方程，然后利用幾何條件得到直線的斜率和中點的坐標。聯(lián)立直線方程和橢圓方程，可以利用韋達定理和弦長公式求得三角形底邊邊長和高，從而得到三角形的面積。最后可以使用基本不等式求解最大或最小值。在涉及弦長問題的計算中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求法計算弦長。在涉及垂直關(guān)系時，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系和設(shè)而不求法簡化運算。對于過焦點的弦的問題，可以利用圓錐曲線的定義求解。而在中點弦問題中，可以使用點差法簡化運算。(Ⅰ)根據(jù)題意得到橢圓的方程為：$$\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{9}=1$$(Ⅱ)設(shè)$A(2,-1)$，則由題意可得線段$AB$的長度為$4$，中點$M(1,-1)$，直線$AB$的斜率為$\frac{3}{4}$。以$AB$為底邊的等腰三角形$ABC$的頂點為$(2,3)$，則$BC$的斜率為$-\frac{4}{3}$，垂直平分線的斜率為$\frac{3}{4}$，過點$M$，斜率為$\frac{3}{4}$的直線的方程為$y+1=\frac{3}{4}(x-2)$，即$3x-4y-11=0$。令$d=AM$，則由$AB$的長度可得$d=2$，由直線與橢圓相切的充要條件可得：$$\frac{|3(2)-4(-1)-11|}{5}=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{16}+\frac{1}{9}}}$$化簡得：$$\frac{1}{\sqrt{2}}d=\frac{4\sqrt{2}}{3}$$即$d=\frac{8}{3}$，代入$d=AM$可得$AM=\frac{2}{3}$。由四邊形面積公式得：$$S_{ABCD}=2S_{\triangleABC}+S_{\triangleACD}=2\times\frac{1}{2}\times4\times\frac{4}{3}+\frac{1}{2}\times4\times\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$$當且僅當$AC\parallelBD$時取等，四邊形面積的最小值為$\frac{16}{3}$。(7)(1)在拋物線上，設(shè)焦點為$F(0,\frac{1}{2})$，則拋物線的方程為$y=x^2+\frac{1}{2}$。設(shè)點$P(x,y)$，則由題意可得：$$\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}-y\right)^2+x^2}$$化簡得：$$x^2+y^2=2y-1$$又因為點$P$在橢圓上，所以：$$\frac{x^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{9}=1$$聯(lián)立解得：$$x=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3},y=\frac{5}{3}$$所以點$P(\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{5}{3})$或$P(-\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{5}{3})$，取其中任意一個即可。(2)設(shè)直線的方程為$y=kx$，聯(lián)立消元可得：$$x^2+(y-kx)^2=1$$化簡得：$$(1+k^2)x^2-2k^2x+(k^2-1)=0$$當$k=0$時，直線過原點，此時與橢圓相切，解得$x=\pm\frac{4}{5}$，$y=0$，即點$P(\pm\frac{4}{5},0)$。當$k\neq0$時，設(shè)$\Delta=4k^4-4(k^2-1)(k^2+1)=0$，解得$k=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$。代入直線方程可得：$$y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}x$$聯(lián)立橢圓方程可得：$$x=\pm\frac{4}{\sqrt{17}},y=\pm\frac{3}{\sqrt{17}}$$所以點$P(\frac{4}{\sqrt{17}},\frac{3}{\sqrt{17}})$或$P(-\frac{4}{\sqrt{17}},-\frac{3}{\sqrt{17}})$或$P(-\frac{4}{\sqrt{17}},\frac{3}{\sqrt{17}})$或$P(\frac{4}{\sqrt{17}},-\frac{3}{\sqrt{17}})$，取其中任意一個即可。線段AB斜率，再根據(jù)AB與CD平行得到CD的斜率，從而得到CD的方程，進而求出交點E的坐標。解析：（1）由中垂線性質(zhì)可知，點E在線段AB的中垂線上，且距離為AC的一半，即∴E的坐標為代入直線方程得到軌跡方程為（2）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則線段AB的斜率為由于AB與CD平行，故CD的斜率也為CD的方程為將AB的端點代入CD的方程，解得交點E的坐標為∴E的坐標為代入直線方程得到交點E所在的直線方程為答案第14頁，總31頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。點睛：本題主要考查幾何圖形的性質(zhì)和解析幾何的基本知識，利用中垂線性質(zhì)和斜率公式求解，需要注意計算過程中的細節(jié)問題，如坐標的符號、計算的精度等。(1)將原文中的逗號改為句號，使每個句子更加清晰明了。根據(jù)題意可得點的軌跡是以$F_1$，$F_2$為焦點，長軸長為$2a$，短軸長為$2b$的橢圓。聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化簡可得為定值$2$。(2)刪除明顯有問題的段落。(1)根據(jù)題意得點的軌跡為以$F_1$，$F_2$為焦點，長軸長為$2a$，短軸長為$2b$的橢圓。聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化簡可得為定值$2$。(2)設(shè)點$P$的坐標為$(x,y)$，則有$PF_1+PF_2=2a$，$PF_1-PF_2=2\sqrt{b^2-x^2}$。解得$PF_1=a+\sqrt{a^2-b^2}$，$PF_2=a-\sqrt{a^2-b^2}$，從而得到橢圓的方程為$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$，其中$x_0$，$y_0$分別為橢圓中心的橫縱坐標。(3)設(shè)點$P$的坐標為$(x,y)$，則有$y=kx+m$，代入橢圓方程得到關(guān)于$x$的一元二次方程。令判別式為$0$，可求出$x$的值，從而得到點$P$的坐標。再求出橢圓在點$P$處的切線方程，得到判別式為$0$的方程，聯(lián)立兩式解得$k$和$m$，即可得到直線的方程。易知，設(shè)以點A為直徑的圓經(jīng)過點B，設(shè)點C為圓與橢圓的交點，則有AC=BC，而由勾股定理可得AB2=AC2+BC2。由此可知，要使上式成立，只有當AB為橢圓的長軸時，才能滿足條件，故以橢圓的長軸的中點為定點，AB的長度為定值，圓經(jīng)過該定點且以AB為直徑。點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的。定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn)。在橢圓上，且△ABC的面積為S，結(jié)合性質(zhì)可得方程：（Ⅰ）設(shè)點P(x,y)，列出關(guān)于x,y的方程組，求出x,y，即可得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點P(x,y)，則點A(x,0)，點B(0,y)，由AB的斜率不存在可得直線AB的方程為x/a+y/b=1，設(shè)點C(c,d)，聯(lián)立可得橢圓的方程。又點A為橢圓的一個焦點，解得AE=ED=c/a，BE=BD=d/b，所以點E為直線AB的中點，且以AE為短軸、BE為長軸的橢圓恰好與原橢圓外切。設(shè)該橢圓的長軸長為2c，則有c2=a2-b2，進而可得S=c2π。方法一：當直線AB的兩個端點不在橢圓的短軸上時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+n，則點A和點B的坐標分別為（a,ka+n）和（-a,-ka+n），聯(lián)立可得k=(d/b)/(c/a)和n=(b2-a2d/b)/(2c)，直線AB的方程為y=(d/b)/(c/a)x+(b2-a2d/b)/(2c)。當直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x=c/a，則點A和點B的坐標分別為（a,0）和（-a,0），聯(lián)立可得直線AB的方程為x=c/a。由此可得，以點E為中心，以AE為短軸、BE為長軸的橢圓與原橢圓外切，且以AE為直徑的圓恒過焦點。方法二：當直線AB的兩個端點不在橢圓的短軸上時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+n，則點A和點B的坐標分別為（a,ka+n）和（-a,-ka+n），聯(lián)立可得k=(d/b)/(c/a)和n=(b2-a2d/b)/(2c)。當直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x=c/a，則點A和點B的坐標分別為（a,0）和（-a,0），聯(lián)立可得直線AB的方程為x=c/a。設(shè)點P(x,y)在橢圓上，則有(x/a)2+(y/b)2=1，代入直線AB的方程中，化簡可得y=(d/b)/(c/a)x+(b2-a2d/b)/(2c)，聯(lián)立可得x2/(c2-a2)+(y2/b2)=1，即以點E為中心，以AE為短軸、BE為長軸的橢圓的方程。代入橢圓的面積公式S=c2π，化簡可得S=πab/4，故△ABC的面積的取值范圍是πab/4≤S≤c2π。根據(jù)韋達定理，可得MN中點坐標為，斜率為根據(jù)點斜式得MN方程為設(shè)垂直平分線方程為則有代入橢圓方程得化簡得因此，軸截距關(guān)于斜率k的函數(shù)關(guān)系式為求導(dǎo)得當時，函數(shù)取得最小值，最小值為因此，函數(shù)的取值范圍為(1)給定橢圓的中點和軸上的截距，求垂直平分線的方程和在軸上的截距范圍。設(shè)橢圓的中點為$(h,k)$，軸上的截距為$a$和$b$，則橢圓的標準方程為$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$。垂直平分線必經(jīng)過橢圓的中點，因此它的方程可以表示為$y-k=k_0(x-h)$，其中$k_0$為垂直平分線的斜率。將這個方程代入橢圓的標準方程中，可以得到一個關(guān)于$x$的二次方程，解出它的兩個根$x_1$和$x_2$，則在軸上的截距的范圍為$[x_1,x_2]$。(2)給定橢圓上的兩點，求它們之間的距離。設(shè)橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，兩點分別為$P(x_1,y_1)$和$Q(x_2,y_2)$。根據(jù)兩點間距離公式，它們之間的距離為$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。將橢圓的標準方程代入其中，可以得到一個關(guān)于$x_2$和$y_2$的二次方程，解出它的兩個根$x_{21}$和$x_{22}$，則它們之間的距離為$\sqrt{(x_{21}-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$或$\sqrt{(x_{22}-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。(3)給定橢圓上的兩點，求它們所在的弦與橢圓的垂直平分線的交點的坐標。設(shè)橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，兩點分別為$P(x_1,y_1)$和$Q(x_2,y_2)$，它們所在的弦的方程為$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。將這個方程和橢圓的標準方程聯(lián)立，解出它們的交點坐標$(x_0,y_0)$。垂直平分線必經(jīng)過$P$和$Q$的中點，因此它的方程可以表示為$y-y_0=k_0(x-x_0)$，其中$k_0$為垂直平分線的斜率。將這個方程代入橢圓的標準方程中，可以得到一個關(guān)于$x$的二次方程，解出它的兩個根$x_{01}$和$x_{02}$，則它們的交點坐標為$(x_{01},k_0(x_{01}-x_0)+y_0)$或$(x_{02},k_0(x_{02}-x_0)+y_0)$。(4)給定橢圓上的兩點，求它們所在的弦與橢圓的垂直平分線的交點到弦的距離的最大值，并確定垂直平分線的方程。設(shè)橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，兩點分別為$P(x_1,y_1)$和$Q(x_2,y_2)$，它們所在的弦的方程為$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。設(shè)垂直平分線的方程為$y-y_0=k_0(x-x_0)$，其中$(x_0,y_0)$為弦的中點。將這個方程代入弦的方程中，可以得到一個關(guān)于$x$的二次方程，解出它的兩個根$x_{01}$和$x_{02}$，則垂直平分線與弦的交點到弦的距離為$\frac{|k_0x_{01}-y_1-k_0x_{02}+y_2|}{\sqrt{k_0^2+1}}$。根據(jù)基本不等式，可得到這個距離的最大值為$\frac{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}{2}$，當且僅當$k_0=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$時取到。因此垂直平分線的方程為$y-\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}(x-\frac{x_1+x_2}{2})$。(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為，根據(jù)題意易得a>b>0，代入橢圓的標準方程中，整理得到。(Ⅱ)設(shè)直線AB的兩個端點為A(x1,y1)和B(x2,y2)，則直線AB的方程為，代入橢圓的方程中，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，即：再利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得四邊形APBQ的面積，從而可求四邊形APBQ面積的最大值。另外，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，即：再利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得AB的斜率為定值。(Ⅲ)由(Ⅰ)的結(jié)果易得橢圓的焦點坐標為，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，頂點坐標為(0,b)，則拋物線的方程為。設(shè)直線的方程為，聯(lián)立解得，同理，根據(jù)，可得，將，代入得。由(Ⅱ)的結(jié)果易得直線的斜率為定值。答案：21.(Ⅰ)方程為，解得，