2021年工程大學(xué)《高等數(shù)學(xué)BI》試卷及答案

2021年工程大學(xué)《高等數(shù)學(xué)Bl》試卷

班級(jí)姓名成績(jī)

——四五總分

【一、選擇題(共6道小題，每小題3分，滿分18分).

1.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)X.0時(shí),/(x)是g(x)的

高階無(wú)窮小，則當(dāng)x.0時(shí)，￡7(0sintdt是J；g0)疝的().

(A)低階無(wú)窮小(B)高階無(wú)窮小

(0同階但不是等價(jià)無(wú)窮小(D)等價(jià)無(wú)窮小

-1

“xasin—,x>0,

2.設(shè)函數(shù)/(尤)=彳%在x=0處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則().

0,x<0

(A)?>0(B)a>\(C)a>2(D)a>2

x2-1

3.曲線y=一7~7有().

x-2x-3

(A)一條水平漸近線，一條鉛直漸近線(B)一條水平漸近線，兩條鉛直漸近線

(0兩條水平漸近線，一條鉛直漸近線(D)沒(méi)有水平漸近線，兩條鉛直漸近線

4.設(shè)函數(shù)/(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)=/(0)(l-x)+/⑴x,則在區(qū)間［0,1］上().

(A)當(dāng)f'(x)N0時(shí),f(x)>g(x)

(B)當(dāng)f'(x)N0時(shí),f(x)<g(x)

(C)當(dāng)尸(x)NO時(shí),/(x)>g(x)

(D)當(dāng)/"(x)N0時(shí),f(x)<g(x)

5.如圖，連續(xù)函數(shù)丁=/（均在區(qū)間［-3,-2］、［2,3］上的圖形分別是直徑為1的上、

下半圓周，在區(qū)間［-2,0］、［0,2］上圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)

/。）=「/。）山，則下列結(jié)論正確的是（）.

*0

45

(A)R3)=—2F(_2)(B)F(3)=-尸(2)

44

45

(C)F(-3)--F(2)(D)F(-3)=--F(-2)

44

6.若反常積分-6”也收斂，則必有().

J-00

(A)k>0(B)k<0(0k>0(D)k<0

二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）.

1.若曲線y=V++陵+1有拐點(diǎn)（-1,0）,則/?=.

2

2.lim(l+3x)^=

xfO

7F

3.曲線tan（x+y+—）=e＞在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為

4

4.設(shè)/(x)=sin?x,則尸")(%)=

?11+sinxII),

5.-------+x\dx

\+x21U

丫2-J--v~-I-#=4

6.空間曲線C:4)一'在xoz平面上的投影曲線方程是.

y=z

三、解答題(共6道題，每小題8分，滿分48分)?

1+x1

1.求lini]

x

A->O!i-e-x

x=ln(l+r2),所確定的函數(shù),求嘉察.

2.已知y=y(x)是由參數(shù)方程＜

y=t-arctant

3.計(jì)算不定積分e"dr.

X+l,X<0,M

4.設(shè)/（?=《求尸"）=［/⑺由在［—1,1］上的表達(dá)式.

X,X>0.JT

5.求曲線丫=?（04》44）上的一條切線，使該切線與直線x=0,x=4以及

曲線y=4所圍成的平面圖形的面積最小.

6.求過(guò)直線乙：一二個(gè)二夸，且平行于直線右：等的平面方程.

建學(xué)四、(本題滿分10分).

______I[03-cosx共0

設(shè)/(x)=(x''其中奴x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，°(0)=1.

x=0,

(1)求〃的值，使/(九)在x=0點(diǎn)連續(xù)；

⑵已知f(x)在x=0點(diǎn)連續(xù),求f\x)并討論f(x)在x=0點(diǎn)的連續(xù)性.

五、(本題滿分6分)已知/'(%)連續(xù)，且當(dāng)xNO時(shí)，恒有/'(x)>0.

證明當(dāng)0<a<b時(shí)，J：,?辿>|時(shí):f(t)dt-4：/(r)dr].

《高等數(shù)學(xué)Bl》答案

一、選擇題(共6道小題，每小題3分，滿分18分).

設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)Xf0吐“X)是g(x)的

高階無(wú)窮小,則當(dāng)x-0時(shí)，(小in/dr是J：g(r)d的(B).

(A)低階無(wú)窮小(B)高階無(wú)窮小

(0同階但不等價(jià)無(wú)窮小(D)等價(jià)無(wú)窮小

1

xsin—,x>0,

2.設(shè)函數(shù)/(x)=Jx在x=0處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，貝U(D).

0,%<0

(A)?>0(B)a>1(C)a>2(D)a>2

x2-1

3.曲線y=___^有(A).

x-2x-3

(A)一條水平漸近線，一條鉛直漸近線

(B)一條水平漸近線,兩條鉛直漸近

(0兩條水平漸近線，一條鉛直漸近線

(D)沒(méi)有水平漸近線，兩條鉛直漸近線

4.設(shè)函數(shù)/(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，8")=/(0)(1-幻+八以，則在區(qū)間［0,1］上(D).

(A)當(dāng)/'(x)20時(shí)，f(x)>g(x)

(B)當(dāng)/'(x)20時(shí)，f(x)<g(x)

(C)當(dāng)/"(X)"時(shí)，/(x)>g(x)

(D)當(dāng)/〃(x)N0時(shí),/(%)<??(%)

5.如圖，連續(xù)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-3,-2］、［2,3］上的圖形分別是直徑為1的上、

下半圓周，在區(qū)間［-2,0］、［0,2］上圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)

F(x)=「/(t)dt,則下列結(jié)論正確的是(C).

J()

供6頁(yè)第1頁(yè))

y

35

(A)F(3)---F(-2)(B)尸(3)=-F(2)

44

35

(C)F(-3)=士F(2)(D)F(-3)=—F(-2)

44

6.若反常積分廠收斂，則必有(B).

J-00

(A)Z>0(B)Z<0(C)k>0(D)k<Q

二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）.

1.若曲線￥=/+公2+加（：+1有拐點(diǎn)（一1,0）,則8=_3.

2.lim(l+3x)si"=e6.

XTO

TT

3.曲線tan(x+y+2)=ev在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=-2x.

4

IJ_1

4.設(shè)/(x)=sin2x，則f(n\x)=_2"」sin(2x+T?).

vflTl+sinxI,兀

5-+一萬(wàn)一,

+2=4x=0

6.空間曲線C:<7'在xoz平面上的投影曲線.

y=zy=z

四、解答題（共6道題，每小題8分，滿分48分）.

供6頁(yè)第2頁(yè)）

1+xr

2.求lim

11一e

rx+x2-l+e~x

-lim

X）x->0（1-"，）x

x+x~-1+eil+2x-二

=lim-）lim

.r->0XA->02x

3

2

x=ln（l+尸），足必+”一料d2y

2.已知y=y（x）是由參數(shù)方程＜所確定的函數(shù)，求上，一7.

y=t-arctantdrdr

dy

一

蟲

=dt

dxd_x2t2t2

dr\+t2

d（dy\1

d2y一山（￡）.2」+產(chǎn)

dx2dx2t4f

dtl+r

3.計(jì)算不定積分Je4dx.

解yfx=t,x=t\dx=3t2dt

Je*dx=Je，?3t2dt=3J產(chǎn)de'=3e72-6jez-tdt

=3e72-6jrde/

=3e72-6tel+6jeMr

=3e72-6rez+6ez+C

=3e衣汴-6芯產(chǎn)+6升+C

供6頁(yè)第3頁(yè)）

X+l,X<0,f.r

4.設(shè)/(幻"求尸(X)=f/⑺由在[—1,1]上的表達(dá)式.

x,x>0.

,ext2X

-l<x<OHt,/(%)=J?+l)d/=5]+(x+l)

_x2+2x+l_(x+l)2

2~-~2

0Wx41時(shí)，F(xiàn)(x)=J；“+1辿+J；d=g+5

5.求曲線y=4(04%W4)上的一條切線，使該切線與直線x=0,x=4以及

曲線y=4所圍成的平面圖形的面積最小.

解設(shè)(公,九)為曲線y=4(O?xW4)上任一點(diǎn)，易得曲線于該點(diǎn)處的切線方程

為：J,->?o=T7=(x--ro)即丫=勺+#=

得其與x=0,x=4的交點(diǎn)分別為((),&],(4,業(yè)+2]

\2J(2y0)

于是由此切線與直線x=0,x=4以及曲線丁=五所圍的平面圖形面積為：

5=(—H---7=-4xdx=2yo+416

J。122A73

=2禽+-^=一？

Vxo3

問(wèn)題即求S=2?+j—?(0<xK4)的最小值

13

令S=+lx1=0得唯一駐點(diǎn)X=2且為唯一極小值

所以當(dāng)x=2時(shí)，S最小

即所求切線即為：y=-^+—

-2V22

供6頁(yè)第4頁(yè))

6.求過(guò)直線4:^=2」=交工，且平行于直線￡,：￡2=匕1=三的平面方程.

10-2-2-1-2

平面法向量

ijk

n=10-1=(-l,0,-l)=-d,0,l)

2-1-2

平面方程為

lx(x-2)+0x(y-l)+lx(z+2)=0

即x+z=0.

四、(本題滿分10分).

(p(x)-cosX

■'X*°，其中以X)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，0(0)=1.

設(shè)/(%)=

a,x=0,

⑶求a的值，使/(%)在x=0連續(xù);

⑷已知/(%)在x=0連續(xù),求廣(幻并討論/'(X)在x=0的連續(xù)性.

解⑴lim/(x)=lim―竺=lim(°'(x)+sinx)=。(0)

x->0A->0%x—>0

故當(dāng)。=0'(0)時(shí)/(%)在x=0處連續(xù).

⑵.0時(shí)/⑴=—M+sm+mx)-cosxl

x

x=0時(shí)

"cosx,,(0)

/'(())=lim二八°)

'Q)lim----------------

3X3X

(p{x}-cosx-x(p*(0)e'(x)+sinx-e'(0)

iimz-iiiTi