2021年廣東省春季高考數(shù)學模擬試卷（解析版）12

2021年廣東春季高考數(shù)學模擬試卷（12）

解析版

注：本卷共22小題，滿分150分。

一、單選題（本大題共15小題，每小題6分，滿分90分）

1.已知集合知=｛乂x是等邊三角形｝,N=｛Rx是等腰三角形｝,則下列判斷正確的是（）

A.M「NB,M=NC.MeND.M二N

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的基本運算和三角形的性質(zhì)可求得答案.

【詳解】

集合M=｛x|x是等邊三角形｝,N=｛x|x是等腰三角形｝,

所以MuN.

故選：A.

【點睛】

本題考查了集合的基本運算，屬于基礎題.

2.下列函數(shù)中，值域是R且是奇函數(shù)的是（）

A.y=x3+lB.y=sinxC.y=x-xiD.y=2x

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)基本函數(shù)的值域及其奇偶性一一分析選項中的函數(shù)即可.

【詳解】

A項中，y=1+1的值域是R,但不是奇函數(shù)；

B項中，y=sinx的值域是[-1,1],是奇函數(shù)；

C項中，y二%-1的值域是^,且是奇函數(shù)；

D項中，y=2*的值域是（0,+8）,不是奇函數(shù).

故選：C.

【點睛】

本題主要考查基本函數(shù)的值域和奇偶性，屬于簡單題.

3.已知cosa-sin（i+a）<0,那么角a是（）

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)誘導公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)符號確定角所在象限.

【詳解】

cosa-sin（萬+a）<0-cos。?sine<0cosa?sina>0

因此角a是第一或第三象限角，

故選：C

2

【點睛】

本題考查誘導公式以及三角函數(shù)符號，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.

4.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是b,c且J^asin3=/>sin(B+C)tanC,

則cosC=()

1

A.—

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意可知J§asin8=bsinAtanC，再根據(jù)正弦定理,可得、QsinAsin8=sinBsinAtanC，

可得tanC=6，由此即可求出角C，進而求出結果.

【詳解】

在△A8C中，sin(8+C)=sinA

所以6sin(B+C)tanC=0sinAtanC,

所以Qasin6=bsinAtanC，

由IE弦定理可知，布sinAsin8=sinBsintanC>

又A5e(O,1)，

所以tanC=JL

又C€(0,乃)，所以C=(,

所以cosC='.

2

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題.

5.在邊長為2的正方形ABCD,E為CD的中點，則4g.反=()

A.一立B.立C.-1D

22

【答案】D

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標運算，可以求得結果.

【詳解】

以A為坐標原點，建系如圖：

則4(0,0)］。,2),。(2,2),亞=(,2),或=(1,0),所以近.配=1，故選D.

【點睛】

平面向量運算有兩種方式：坐標運算和基底運算，坐標運算能極大減少運算量，是我們優(yōu)先選用的

方式.

6.已知。、匕，c,d均為實數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若

4

cd

B.若ab>0,he-ad>0,則-----<0

ab

C.若a>b,c〉d貝!la—d>b—c

D.若a>b,c>d>0則=>—

ac

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對各個選項逐一驗證，即可得到結果.

【詳解】

若OvavZ?,Ovevd,則；故選項A錯誤；

若ab>0,bc—ad>0,則絲0>0,即￡一4>0,故選項B錯誤;

abab

若,c>d,則一d>-c,所以Q-d>b-c,故選項C正確；

若c>l>0,則2>,>0；若a>6>0,則烏>2；故選項D錯誤；

dcdc

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎題.

7.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是（）

俯視圖

A.72B.48C.27D.36

【答案】D

【解析】

【分析】

由三視圖知幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是一個直角三角形，直角邊長分別是4,6cm,三棱

柱的側棱與底面垂直，且側棱長是3,利用體積公式得到結果

【詳解】

山題可得直觀圖為三棱柱，故體積為：V=S/z=4x6x1x3=36,故選D.

2

【點睛】

本題考查由三視圖還原幾何體并且求幾何體的體積，本題解題的關鍵是看出所給的幾何體的形狀和

長度，熟練應用體積公式，本題是一個基礎題.

8.下列命題正確的是（）

A.一直線與平面平行，則它與平面內(nèi)任一直線平行

B.一直線與平面平行，則平面內(nèi)有且只有一條直線與已知直線平行

C.一直線與平面平行，則平面內(nèi)有無數(shù)直線與已知直線平行，它們在平面內(nèi)彼此平行

D.一直線與平面平行，則平面內(nèi)任意直線都與已知直線異面

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】

一直線與平面平行，則它與平面內(nèi)任一直線平行或異面，故A不正確;

一直線與平面平行，則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與已知直線平行，故B不正確;

6

一直線與平面平行，則平面內(nèi)有無數(shù)直線與已知直線平行，它們在平面內(nèi)彼此平行，故CiE確:

一直線與平面平行，則平面內(nèi)任意直線都與己知直線平行或異面，故D不正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查空間中直線與平面的位置關系及其運用，是基礎題.解題時要認真審題，仔細解答.

9.如圖，3是線段AC上一點，分別以為直徑作半圓，AC=6,AB=2,在整個

圖形中隨機取一點，則此點取自圖中陰影部分的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由題，先求出兩個白色小半圓的概率，再利用概率之和為1，求得陰影部分的概率即5

【詳解】

-

乃

XI萬

+一

24

--

可得概率為329

P=1萬X

故選C

【點睛】

本題主要考查了兒何概型中面積型，會求得面積是解題關鍵，屬于基礎題.

10.如圖是某學校舉行的運動會上七位評委為某體操項目打出的分數(shù)的莖葉圖,去掉一個最高分和一

個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）

79

844647

93

A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)所給的莖葉圖，看出七個數(shù)據(jù)，根據(jù)分數(shù)處理方法，去掉一個最高分93和一個最低分79后，

把剩下的五個數(shù)字求出平均數(shù)和方差.

【詳解】

由莖葉圖知，去掉一個最高分93和一個最低分79后，

弘Fl皿、/84+84+86+84+87

所剩數(shù)據(jù)84,84,86,84,87的平均數(shù)為-------------------=85；

方差為1[（84—85『+（84—85）2+（86—857+（84-85）2+（87-85）2].

故答案為C

【點睛】

莖葉圖、平均數(shù)和方差屬于統(tǒng)計部分的基礎知識，也是高考的新增內(nèi)容，考生應引起足夠的重視，

確保穩(wěn)拿這部分的分數(shù).

11.已知圓C:/+y2-2x—3=0,直線/：y=Ax+l與圓C交于A,8兩點，當弦長最短時

k的值為（）

A.1B.72C.-1D.-72

【答案】A

【解析】

8

【分析】

根據(jù)直線的方程，判定直線過定點后(0,1),根據(jù)圓的方程求得圓心坐標C(LO),利用圓的弦的性質(zhì)

判定直線/與CE垂直時弦長最短，利用兩點間距離公式求得CE的斜率，進而利用兩直線垂直

的條件求得k的值.

【詳解】

據(jù)題意直線/：y=—+1恒過定點￡(0,1),圓心C(l,0),

當直線/與CE垂直時，弦長最短，

此時心"=-1,?,.左=1.

故選A.

“Nj/y^kx+l

A

X

【點睛】

本題考查圓的弦長最值問題，涉及直線過定點，兩直線的垂直關系，屬基礎題.

2

12.若圓G+>2=1與圓。2：爐+y-6x—8y+m=0外切，則/"=().

A.21C.-21D.-9

【答案】B

【解析】

【分析】

化為圓的一般式方程為標準方程，求出圓心和半徑，由兩圓心間的距離等于半徑和列式，即可求解

答案.

【詳解】

由圓G：_?+y2=i,得到圓心坐標G(0,0),半徑為4=1,

由圓。2：/+/2一6%一8曠+加=(),得到圓心坐標。2(3,4),半徑為弓=，25-根，

圓心G與圓G外切，所以斤方=在二荷+1，

解得加=9,故選B.

【點睛】

本題主要考查了兩圓的位置關系的應用，其中解答中熟記兩圓的位置關系的合理應用，列出相應的

方程求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

13.已知函數(shù)/(x)=c；c，若—1=5,貝此=()

2x+log3a,x>0

A.3B.9C.27D.81

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出/(—1)=怖，在代入/(x)=2x+log3。，解方程求出

【詳解】

3

解：由已知/(-1)=2-1+1=5，

"(/(-1))=/(5)=3+1嗎。=5，

解得：a=9f

故選：B.

10

【點睛】

本題考查己知分段函數(shù)的函數(shù)值求參數(shù)的值，是基礎題.

14.已知“X)是A上的奇函數(shù)，且滿足〃x+4)=/(x),當x?(),2)時，/(力=2*,則

〃7)=()

A.-2B.2C.4D.-4

【答案】A

【解析】試題分析：由/(x)滿足〃x+4)=〃x),所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且函數(shù)

/(x)在R上是奇函數(shù)，當x€(0,2)時，“X)=2f,則“7)=〃7—8)=〃—1)=—/⑴=—2.

考點：函數(shù)的性質(zhì)的應用.

15.公元前四世紀，畢達哥拉斯學派對數(shù)和形的關系進行了研究.他們借助幾何圖形(或格點)來表

示數(shù)，稱為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶.圖為五角形數(shù)的前4個，則第10個五角形數(shù)為()

A.120B.145C.270D.285

【答案】B

【解析】

【分析】

記第〃個五角形數(shù)為例，由題意知：4=1,%-%=4,%-%=7,2一%=1°…可得

可一=3(〃-D+1,根據(jù)累加法，即可求得答案.

【詳解】

記第〃個五角形數(shù)為%,

由題意知：4=1,。2-4=4,%-。2=7,%-%=1?！?/p>

可得=3(〃-1)+1,

由累加法得a”=《“；)〃,

/.40=145.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)累加法其數(shù)列通項公式，解題關鍵是掌握數(shù)列基礎知識，考查了分析能力和計

算能力，屬于中檔題.

二、填空題

16.某單位對員工編號為1到60的60名員工進行常規(guī)檢查，每次采取系統(tǒng)抽樣方法從中抽取5名

員工.若某次抽取的編號分別為X,17,y,Z,53,則x+y+z=.

【答案】75

【解析】

【分析】

由X,17,y,Z,53成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求解.

【詳解】

由系統(tǒng)抽樣可得公差為更￡值=12,得x=5,y=29,z=41，所以x+y+z=75.

【點睛】

本題考查系統(tǒng)抽樣，解題關鍵是掌握系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)：系統(tǒng)抽樣中樣本數(shù)據(jù)成等差數(shù)列.

17.已知高為8的圓柱內(nèi)接于一個直徑為10的球內(nèi)，則該圓柱的體積為?

12

【答案】72乃

【解析】

?.?圓柱的高為8,它的兩個底面的圓周在直徑為10的同一個球的球面上,

該圓柱底面圓周半徑廠反不=3，

2

，該圓柱的體積：V=S/7=KX3X8=72^.

18.若不等式駐2一面一1<0對一切實數(shù)X都成立，則實數(shù)%的取值范圍是.

【答案】-4〈限0

【解析】

【分析】

對不等式的最高次項的系數(shù)進行分類討論進行求解即可.

【詳解】

當左=0時，原不等式變?yōu)椤?<0,顯然對一切實數(shù)大都成立；

當左。0時，要想不等式上妙_._1<0對一切實數(shù)》都成立，則滿足：

k<0且A=(—Q2+4A<0,解得-4<攵<0,綜上所述：實數(shù)攵的取值范圍是-4〈左V0.

【點睛】

本題考查了已知不等式恒成立求參數(shù)問題.考查了分類討論思想.

19.設偶函數(shù)7"(%)對任意x6R,都有/(x+3)=-六，且當尤6[-3,-2]時，/-(X)=4%,則

/(2018)=.

【答案】-8

【解析】

由條件可得f(x+6)=/(x),函數(shù)的周期為6,f(2018)=/(6X336+2)=f(2)"(2)=f(-2)=

-8,故填：-8.

【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，注意涉及周期性，屬于基礎題型，在函數(shù)中會有一些比較抽象的

式子，有關于周期的，對稱的，很多同學不太理解，重點說說這些抽象的式子，周期的有f(x+7)=

/(X),函數(shù)的周期為7,f(x—a)="x-b),周期為佃一句,或是有關半周期的式子7)=

—f(x)=六=—看，這些都說明半周期為7,或是已知/(乃=/(%+l)-/(x+2),我們可以再得到

/(x+1)=f(x4-2)-/(x+3),兩式相結合，也可以得到f(x)=-f(x+3),函數(shù)的半周期為3等式

子，學習時不要弄混.

三、解答題

20.如圖，學校規(guī)劃建一個面積為300m2的矩形場地，里面分成兩個部分，分別作為鉛球和實心球

的投擲區(qū)，并且在場地的左側，右側，中間和前側各設計一條寬2m的通道，問：這個場地的長，

寬各為多少時，投擲區(qū)面積最大，最大面積是多少？

鉛球實心球

【答案】長為3(加，寬為案加時,投擲區(qū)面積最大為192m2.

【解析】

【分析】

設場地的長為工,寬為V,投擲區(qū)域面積為S,則孫=300(x>0,y>0),S=(x-6)(y-2)展

開后利用基本不等式即可求最值.

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【詳解】

設場地的長為4,寬為y,投擲區(qū)域面積為s,

則移=300(x>0,y>0),

S=(x_6)(y_2)=盯+12_2(x+3y)=312-2(x+3y)

W312-2x2jx-3y=312-4j3x300=312-4x30=192,

xy=300x=30

當且僅當《

x=3y，即'S時等號成立,

7=10

所以這個場地的長為30利，寬為10帆時，投擲區(qū)面積最大，最大面積是192m2.

【點睛】

本題主要考查了基本不等式的應用，利用基本不等式求最值解決實際問題.

21.已知正三棱柱ABC-的邊長均為26，E,F分別是線段AC和的中點.

（1）求證：￡F//￥ffiABC；

（2）求三棱錐C-A3E的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】

【分析】

（I）取AC的中點為G,證明EFBG為平行四邊形，得EF//GB,從而得證線面平行;

（2）由E為AG的中點，得E到底面ABC的距離是G到底面ABC的距離的一半，這樣換底計算

體積匕-AB￡=%.ABC即可得.

【詳解】

證明：（1）取AC的中點為G,連結GE,GB，

在△ACG中，EG為中位線，所以EG//CG，EG=gcj,

又因為CCJ/BA，CC,=BB,,F為8片的中點，

所以EG//BF,EG=BF,

所以及8G為平行四邊形，

所以EF//GB,又EF仁平面ABC，G5u平面ABC，

所以E尸〃平面ABC.

（2）因為VC-ABE=匕「A8C，因為E為A6的中點，

所以E到底面ABC的距離是G到底面A3C的距離的一半，

即三棱錐E—A5C的高/z=4