倒立擺控制系統(tǒng)的研究

朱德政030810230朱德政030810230倒立擺控制系統(tǒng)研究【關鍵詞】狀態(tài)空間、可控可觀、狀態(tài)反饋、降維觀測器、Simulink非線性系統(tǒng)仿真一、研究背景基于自動控制原理課程設計《倒立擺控制系統(tǒng)研究》以及3號樓實驗室具有硬件實驗平臺，我們在已知系統(tǒng)的非線性模型、簡化線性模型的條件下對系統(tǒng)進行設計控制，有利于我們將控制理論真正地應用到實際中去解決問題。同時也能有利于我們對Matlab軟件具有較好的應用。二、研究目的1、學會使用Simulink軟件分析復雜的控制系統(tǒng)。2、學會狀態(tài)反饋進行控制系統(tǒng)設計。3、了解狀態(tài)觀測器的實現(xiàn)。4、加深對現(xiàn)代控制理論的理解。三、實驗平臺裝有Matalab的計算機以及打印機一臺實際倒立擺系統(tǒng)一套四、倒立擺的數(shù)學模型1、實際的非線性模型..A+BU=00—0.0061-O.OO144cos2(0-9)129=61.2sin9-9-1.2cos(9-9)9一1.2sin(9-9)99221211212其中：A=0.0236u+0.2979sin9+[0.00144sin(9-9)cos(9-9)9-0.0168]901121211B=-B=-0.0734cos(9-9)sin9+0.0012[cos(9-9)-sin(9-9)9]9012212122202、簡化的線性模型1X2AX2+BU121222狀態(tài)空間表達式為5Y=CX+DU其中：「91-「00101「0192「91100010x=，y=，A二，B=9'19265.8751-16.8751-3.70620.27605.21849'2-82212282.21224.6254-1.3444-6.5125「10001「01C二，D二010003、系統(tǒng)研究方法由現(xiàn)代控制理論知識知，原系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為丈二AX+BU，若系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控的，則引入狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器U=R-KX。f乂二（A-BK）X+BR這時，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為＜Y二CX設計任務是要計算反饋K使A-BK的特征值和期望的極點P相同。反饋增益K和期望極點向量P應與狀態(tài)變量X具有相同的維數(shù)。五、倒立擺系統(tǒng)的研究內(nèi)容1、原系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、可觀性研究1.1在Matlab中的M文件里輸入下列程序判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性以及可觀性。A=[0010;0001;65.8751A=[0010;0001;65.8751-16.8751-3.70620.2760;-82.212282.21224.6254-1.3444];B=[0;0;5.2184;-6.5125];C=[1000;0100];D=[0;0];G=ss（A,B,C,D）;disp（'原二階倒立擺系統(tǒng)的極點為：’）T=pole（G）disp（'由此得到結(jié)論為：’）1.2（執(zhí)行＜0上&述程序后T結(jié)論如&T4）＜0）disp（'系統(tǒng)穩(wěn)定'）elsedisp（'系統(tǒng)不穩(wěn)定'）end;Ct=ctrb（A,B）;Ov=obsv（A,C）;disp（'系統(tǒng)可控性矩陣的秩為：’）m=rank（Ct）ifm==4disp（'所以系統(tǒng)完全可控'）elsedisp（'所以系統(tǒng)不完全可控'）enddisp（'系統(tǒng)可觀性矩陣的秩為：’）n=rank（Ov）ifn==4disp（'所以系統(tǒng)完全可觀'）elsedisp（'所以系統(tǒng)不完全可觀'）end原二階倒立擺系統(tǒng)的極點為：T=Simulink仿真論原二階倒立擺系統(tǒng)的極點為：T=Simulink仿真論建立的模！定構(gòu)2?、由S1系2.系統(tǒng)可用性矩程序命令m=4；系統(tǒng)可觀性矩陣的秩為：n=4；-12.6466-6.70279.04425.2546所以系統(tǒng)完全可控所以系統(tǒng)完全可觀首先運行該非線性模型的Simulink程序，同時調(diào)用該文件下的畫圖命令程序，畫出該非線性系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線。根據(jù)給出的倒立擺的非線性數(shù)學模型用Simulink圖形庫實現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖（見附件1），并給出初始角度e］為0.1左右（弧度）時系統(tǒng)的狀態(tài)響應（給出4個響應曲線，此時令控制u=0）。其中，狀態(tài)量X1代表91，狀態(tài)量X2代表02，狀態(tài)量X3代表以1，狀態(tài)量X4代表92。得到Simulink模擬仿真圖（如上述2.1的圖）所示，得到的響應曲線如下圖所示:A=[0010;0001;65.8751-16.8751disp（'系統(tǒng)可觀性矩陣的秩為：'）-3.70620.2760;-82.212282.21224.6254n=rank(Ov)-1.3444];B=[0;0;5.2184;-6.5125];ifn==4disp（'所以系統(tǒng)完全可觀'）C=[1000;0100];D=[0;0];elsedisp（'所以系統(tǒng)不完全可觀'）G=ss(A,B,C,D);enddisp（'原二階倒立擺系統(tǒng)的極點為：’）ifm==4&&n==4T=pole（G）disp（'由此得到結(jié)論為：’）disp（'采用狀態(tài)反饋來配置系統(tǒng)的極點if(T(1)〈0&&T(2)<0&&T(3)<0&&T(4)<0)方法'）disp（'系統(tǒng)穩(wěn)定'）elsedisp('ERROR')elsedisp（'系統(tǒng)不穩(wěn)定'）endenddisp（'配置的系統(tǒng)極點如下：'）Ct=ctrb(A,B);Ov=obsv(A,C);disp('exceptpole=[-8+5i;-8-5i;-7+4idisp（'系統(tǒng)可控性矩陣的秩為：'）;-7-4i]')m=rank(Ct)exceptpole=[-8+5i;-8-5i;-7+4i;-7-4i];ifm==4disp（'所以系統(tǒng)完全可控'）K=place(A,B,exceptpole)elsedisp（'所以系統(tǒng)不完全可'）endA1=A-B*K;sy2=ss(A1,B,C,D);3.2程序執(zhí)行結(jié)果：采用狀態(tài)反饋來配置系統(tǒng)的極點方法配置的系統(tǒng)極點如下：exceptpole二[-8+5i;-8-5i;-7+4i;-7-4i]K=-5.5033-91.1691—8.1701-10.37774、引入狀態(tài)反饋的非線性系統(tǒng)的Simulink仿真終得終得在上述2的基礎上，加入狀態(tài)反饋矩陣K=[-5.5033-91.1691-8.1701-10.3777],其封裝的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與2完全相同，得到新的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（見附件2）.在上述非線性的仿真模擬圖上，用Simulink實現(xiàn)狀態(tài)反饋，仍給出初始角度81為0.1左右（弧度）時系統(tǒng)的狀態(tài)響應（4個響應曲線，此時令控制u=0）,并確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大初始角度8]。同樣有狀態(tài)量X1代表01，狀態(tài)量X2代表02，狀態(tài)量X3代表9*1，狀態(tài)量X4代表02。得到的響應曲線如下圖所示:由上述的矩陣K是度81嘗到8=0.61。1max5、降維觀測器的設計5.1降為觀測器的設計原理思想當狀態(tài)觀測器估計狀態(tài)向量的維數(shù)小于被控對象狀態(tài)向量的維數(shù)時，稱為降維觀測器。對于q維輸出系統(tǒng)，有q個輸出變量可以直接有傳感器測得。只需要估計（n-q）個狀態(tài)變量,稱為（n-q）維狀態(tài)觀測器。5.2降為觀測器的設計5.2.1在Matlab中的M文件里輸入下列程序，求出降維觀測器有待設計的矩陣H、T、F、L。A=[O010;0001;65.8751-16.8751-3.7062A11=[-3.70620.2760;4.6254-1.3444];0.2760;-82.212282.21224.6254-1.3444];A12=[65.8751-16.8751;-82.212282.2122];B=[0;0;5.2184;-6.5125];A21=[10;01];A22=[00;00];C=[1000;0100];D=[0;0];B1=[5.2184;-6.5125];B2=[0;0];T=[0010;0001;1000;0100];C1=[00;00];C2=[10;01];P=inv(T);A1=T*A*Pspole=[-8+6i;-8-6i];B1=T*B;C1=C*T;H=place(A11,A21,spole);T=A11-H*A21;F=B1-H*B2;L=(A11-H*A21)*H+A12-H*A225.2.2運行結(jié)果H=4.2938H=4.29386.2760-1.37466.6556T=-8-66-8F=5.2184-6.5125L=39.7723-107.0167-45.452666.6235.3在4中的反饋系統(tǒng)中引入降維觀測器后的模擬圖在完成4的狀態(tài)反饋的基礎上，考慮到狀態(tài)量01、0*2在實際中不便于直接測量，故采AA用降為觀測器的方法來設計觀測量0*1、0*2來代替01、0*2進行狀態(tài)反饋。5.4引入降為觀測器后狀態(tài)響應曲線在上述非線性的仿真模擬圖上，用Simulink實現(xiàn)狀態(tài)反饋，仍給出初始角度8】為0.1左右（弧度）時系統(tǒng)的狀態(tài)響應（4個響應曲線，此時令控制u=0）,并確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大初始角度8］。同樣有狀態(tài)量XI代表01，狀態(tài)量X2代表02，狀態(tài)量X3代表°1，狀態(tài)量X4代表02。得到的響應曲線如下圖所示：圖3加入降維觀測器的狀態(tài)量響應曲線6、狀態(tài)反饋與降維觀測器的對比實線降維觀測，虛線狀態(tài)反憒0.3|::實線降維觀測，虛線狀態(tài)反憒0.3|:::血沁^廉獎.21OOOnunu--0.1'1100.51nunu--0.1'1100.511.52時間t實線降維觀測，虛線狀態(tài)反憒1:::-0.1研究采用狀態(tài)反饋的方法使系統(tǒng)的閉環(huán)極點在S平面的左半平面內(nèi)，同時兼顧到了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間與超調(diào)量等動態(tài)指標。2、將系統(tǒng)的極點配置在［-8+5i;-8-5i;-7+4i;-7-4i］研究采用狀態(tài)反饋的方法使系統(tǒng)的閉環(huán)極點在S平面的左半平面內(nèi)，同時兼顧到了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間與超調(diào)量等動態(tài)指標。2、將系統(tǒng)的極點配置在［-8+5i;-8-5i;-7+4i;-7-4i］；得到系統(tǒng)的反饋矩陣為K=-5.5033-91.1691-8.1701-10.3777；該反饋矩陣加入到實際的倒立擺系統(tǒng)中能較好的使擺桿保持在平衡位置處左右小幅度擺動，很好的完成了控制目標。3、在加入狀態(tài)反饋的基礎給予擺桿一個擾動9］，觀察設計的控制系統(tǒng)的抗擾動能力。通過不斷反復的實驗，逐漸加大8］利用Simulink非線性仿真后發(fā)現(xiàn)最大的9】值約為0.614、考慮在實際應用中某些狀態(tài)量不便于測量，故采用降維觀測器，通過狀態(tài)觀測器來重構(gòu)這些不便直接測量的狀態(tài)量。但是通過這兩種方法的對比發(fā)現(xiàn)降維觀測器的控制效果不如狀態(tài)反饋的效果。但是降維觀測器在實際應用中便于實現(xiàn)，因此應用比較廣泛。七、研究小結(jié)對一個實際系統(tǒng)的研究首要建立該系統(tǒng)的數(shù)學模型，通常情況下該模型是非線性的模型，為了便于研究問題方便常常將非線性系統(tǒng)在其平衡位置處線性化處理，得到系統(tǒng)的線性模型。在控制系統(tǒng)中無論采用何種控制理論方法，均要圍繞控制系統(tǒng)的穩(wěn)、準、快三個目標設計。對于多輸入、多輸出的高階系統(tǒng)，現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)空間分析法是有力解決手段。因此在本文中采用狀態(tài)反饋與降維觀測器的設計方法。在處理實際非線性問題時，常常采用其簡化的線性模型進行設計，設計出來的控制律，需要通過加入到非線性的模擬圖中試驗。在處理復雜高階系統(tǒng)時，作為系統(tǒng)而言設計要有條理，布局盡量規(guī)范這樣便于檢查和設計。00.511.52時間tnu5do.-Ex*播獎nu5do.-Ex*播獎j呂丨圖4狀態(tài)反饋與降維觀測器的對比曲線||六、研究結(jié)果分析1、實際的原倒立擺系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，通過對系統(tǒng)的空間狀態(tài)的可控性、八、實驗研究感想本次課程設計的過程我感覺應該是最重要的，從對倒立擺系統(tǒng)的認識、數(shù)學模型的建立、分析原系統(tǒng)的性能、引入控制律提出改進方法、進行不同控制律的對比、研究結(jié)果得分析等一系列的過程。在原系統(tǒng)性能分析階段時，由于已知系統(tǒng)的線性數(shù)學模型，因此在判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、可觀性時就較為容易。但是在建立原系統(tǒng)的非線性模型的Simulink仿真時，由實驗教材書上的非線性數(shù)學模型給出有誤，導致仿真結(jié)果出錯。在建立原非線性系統(tǒng)的模型時，由于系統(tǒng)設計的方法不合理，使得整體布局不是很好，導致在引入狀態(tài)反饋時混淆了狀態(tài)量，出現(xiàn)輸出發(fā)散的情況。做實驗就是一個研究問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程，是加深對知識掌握的最好途徑。這次的課程設計讓我們對經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論兩門專業(yè)課內(nèi)容有的更深的理解和更熟練的使用。對MATLAB的使用也越加嫻熟，也讓我們清楚的認識到MATLAB是一個功能和實用性都很強大的軟件，我們專業(yè)的同學應該要努力的去掌握這一軟件的使用，這會給我們找工作、走上社會增加很強的競爭力。在實驗中和同組成員的配合也加強了我們的團隊意識，遇到困難時可以相互討論，遇到實在無法解決的問題時還可以向老師尋求