2023學年完整公開課版正態(tài)分布

2.4正態(tài)分布高二數(shù)學選修2-3引入

正態(tài)分布在統(tǒng)計學中是很重要的分布。我們知道，離散型隨機變量最多取可列個不同值，它等于某一特定實數(shù)的概率可能大于0，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機變量可能取某個區(qū)間上的任何值，它等于任何一個實數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的是它落在某個區(qū)間的概率。離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。復習100個產品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535

產品尺寸（mm)頻率組距復習200個產品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535

產品尺寸（mm)頻率組距復習樣本容量增大時頻率分布直方圖頻率組距產品尺寸(mm)總體密度曲線復習產品尺寸(mm)總體密度曲線高爾頓板11總體密度曲線0YX導入產品尺寸的總體密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象：1、正態(tài)曲線的定義：函數(shù)式中的實數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標準差，稱f(x)的圖象稱為正態(tài)曲線cdab平均數(shù)XY

若用X表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標,則X是一個隨機變量.X落在區(qū)間(a,b]的概率為:2.正態(tài)分布的定義:如果對于任何實數(shù)a<b,隨機變量X滿足:

則稱為X的正態(tài)分布.正態(tài)分布由參數(shù)μ、σ唯一確定.正態(tài)分布記作N（μ，σ2）.其圖象稱為正態(tài)曲線.如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記作X~N（μ，σ2）

在實際遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布：在生產中，在正常生產條件下各種產品的質量指標；

在測量中，測量結果；

在生物學中，同一群體的某一特征；……；

在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位；

總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產及科學技術的許多領域中。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位。

m的意義產品尺寸(mm)x1x2總體平均數(shù)反映總體隨機變量的平均水平x3x4平均數(shù)x=μ產品尺寸(mm)總體平均數(shù)反映總體隨機變量的平均水平總體標準差反映總體隨機變量的集中與分散的程度平均數(shù)

s的意義正態(tài)總體的函數(shù)表示式當μ=0，σ=1時標準正態(tài)總體的函數(shù)表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1標準正態(tài)曲線μ（－∞，μ]（μ，+∞）（1）當=時,函數(shù)值為最大.(3)的圖象關于對稱.（2）的值域為

（4）當∈時為增函數(shù).當∈時為減函數(shù).012-1-2xy-33μ=0σ=1標準正態(tài)曲線正態(tài)總體的函數(shù)表示式

=μ例1、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（）

A.B.C.

D.B

例2、標準正態(tài)總體的函數(shù)為（1）證明f(x)是偶函數(shù)；（2）求f(x)的最大值；（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質說明f(x)的增減性。練習：1、若一個正態(tài)分布的概率函數(shù)是一個偶函數(shù)且該函數(shù)的最大值等于，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式。2025301510xy5352、如圖，是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差。3、正態(tài)曲線的性質012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱.

3、正態(tài)曲線的性質（4）曲線與x軸之間的面積為1（3）曲線在x=μ處達到峰值(最高點)方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示

3

1

2σ=0.5μ=

-1μ=0

μ=

1若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)；均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示

=0.5=1=2μ=0

若固定,大時,曲線矮而胖；小時,曲線瘦而高,故稱為形狀參數(shù)。σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.（5）當x<μ時,曲線上升;當x>μ時,曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線,向它無限靠近.

3、正態(tài)曲線的性質動畫例3、把一個正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。C正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1。對稱區(qū)域面積相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

正態(tài)曲線下的面積規(guī)律對稱區(qū)域面積相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

4、特殊區(qū)間的概率:m-am+ax=μ若X~N,則對于任何實數(shù)a>0,概率

為如圖中的陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減少而變大。這說明越小,落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別地有

我們從上圖看到，正態(tài)總體在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。

由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^5％），通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件。例4、在某次數(shù)學考試中，考生的成績服從一個正態(tài)分布，即~N(90,100).（1）試求考試成績位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人？練習：1、已知一次考試共有60名同學參加，考生的成績X~，據(jù)此估計，大約應有57人的分數(shù)在下列哪個區(qū)間內？（）(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]C2、已知X~N(0,1)，則X在區(qū)間內取值的概率等于（）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.02283、設離散型隨機變量X~N(0,1),則=

,=

.4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).D0.50.95442.4正態(tài)分布(二)高二數(shù)學選修2-3舊知回顧函數(shù)稱f(x)的圖象稱為正態(tài)曲線。式中的實數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標準差。1、正態(tài)曲線的定義：xy2、標準正態(tài)總體的函數(shù)表示式012-1-2xy-33μ=0σ=13.正態(tài)分布的定義:如果對于任何實數(shù)a<b,隨機變量X滿足:

則稱為X為正態(tài)分布.正態(tài)分布由參數(shù)μ、σ唯一確定.正態(tài)分布記作X~N（μ，σ2）.其圖象稱為正態(tài)曲線.如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記作

X~N（μ，σ2）abXY012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2

4、正態(tài)曲線的性質（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱.（4）曲線與x軸之間的面積為1.（3）曲線在x=μ處達到峰值(最高點)（5）若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.練習：

一臺機床生產一種尺寸為10mm的零件，現(xiàn)從中抽測10個，它們的尺寸分別如下（單位：mm）：10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果機床生產零件的尺寸服從正態(tài)分布，求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式。頻率組距產品尺寸（mm）ab

若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率分布直方圖的頂邊縮小乃至形成一條光滑的曲線，我們稱此曲線為概率密度曲線．總體在區(qū)間內取值的概率概率密度曲線概率密度曲線的形狀特征．

“中間高，兩頭低，左右對稱”

正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1。對稱區(qū)域面積相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

正態(tài)曲線下的面積規(guī)律對稱區(qū)域面積相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

5、特殊區(qū)間的概率:m-am+ax=μ若X~N,則對于任何實數(shù)a>0,概率

為如圖中的陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減少而變大。這說明越小,落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別地有

我們從上圖看到，正態(tài)總體在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。

由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^5％），通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件。區(qū)間取值概率（μ－σ，μ＋σ]68.3%（μ－2σ，μ＋2σ]95.4%（μ－3σ，μ＋3σ]99.7%例1、在某次數(shù)學考試中，考生的成績服從一個正態(tài)分布，即~N(90,100).（1）試求考試成績位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人？練習：1、已知一次考試共有60名同學參加，考生的成績X~，據(jù)此估計，大約應有57人的分數(shù)在下列哪個區(qū)間內？（）(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]C2、已知X~N(0,1)，則X在區(qū)間內取值的概率等于（）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.02283、設離散型隨機變量X~N(0,1),則