2021年湖南省湘西州中考數學試卷（附答案詳解）

2021年湖南省湘西州中考數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）

1.2021的相反數是（）

A.1202B.-2021

2.計算一1+3的結果是（）

B.-2D.-4

3.據悉，在2021年湘西州“三獨”比賽中，某校11名參賽同學的成績各不相同，按

照成績，取前5名進入決賽.如果小紅知道了自己的比賽成績，要判斷自己能否進入

決賽，小紅還需知道這11名同學成績的（）

A.平均數B.中位數C.眾數D.方差

下列計算結果正確的是（

A.(a3)2=aB.(-be)4+(-be)2=-b2c2

5.工廠某零件如圖所示，以下哪個圖形是它的俯視圖（）

6.如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF//CD，交A。于點凡

如果EF=5.5,那么菱形ABC。的周長是（）

D.44

7.如圖，在△ECC中,NC=90。,AB1EC于點B,AB=1.2,

EB=1.6,BC=12.4,則CD的長是()

B

A.14

B.12.4

C.10.5

D.9.3

8.如圖，面積為18的正方形內接于。。，則筋的長度

為（）

A.97r

B.京

「3

C.-71

D."

4

9.如圖所示，小英同學根據學習函數的經驗，自主嘗試在平面直角坐標系中畫出了一

個解析式為丫=三的函數圖象根據這個函數的圖象，下列說法正確的是（）

C.圖象與），軸的交點是（0,-》D.y隨X的增大而減小

10.已知點M(x,y)在第一象限，且x+y=12,點4(10,0)在x軸上，當△0M4為直角

三角形時，點M的坐標為()

A.(10,2),(8,4)或(6,6)B.(8,4),(9,3)或(5,7)

C.(8,4),(9,3)或(10,2)D.(10,2),(9,3)或(7,5)

二、填空題（本大題共8小題，共32.0分）

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11.計算：（-}2=.

12.北京時間2021年2月10日19時52分，中國首次火星探測任務“天問一號”探測

器實施近火捕獲制動，順利進入近火點，高度約400000〃?，成為我國第一顆人造火

星衛(wèi)星.其中，400000用科學記數法可以表示為.

13.因式分解：a2—2a=.

14.若二次根式7^7=1在實數范圍內有意義，則X的取值范圍是.

15.實數"?，〃是一元二次方程/-3x+2=0的兩個根，則多項式mn-m-n的值為

2

16.若式上+1的值為零，則'='

17.如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊,折痕分別為AB、CD,若CD〃BE,

Z1=20°,貝此2的度數是.

CD

18.古希臘數學家把1,3,6,10,15,21,...這樣的數叫做三角形數，因為它的規(guī)律

性可以用如圖表示.根據圖形，若把第一個圖形表示的三角形數記為%=1.第二個

圖形表示的三角形數記為a2=3,則第〃個圖形表示的三角形數冊=.（

用含〃的式子表達）

(1)

三、解答題（本大題共8小題，共78.0分）

19.計算:(-2)°-V8-|-5|+4sin45°.

20-解不等式組："3(x公-1)>(x①②,并在數軸上表示它的解集?

IIIIIII1III

-5-4-3-2-1012345

21.如圖，在△ABC中，點。在AB邊上，CB=CD,

將邊CA繞點C旋轉到CE的位置，使得4EC4=

NCCB,連接。E與AC交于點F,且NB=70°,AA=

10°.

(1)求證：AB=ED-,

(2)求NAFE的度數.

22.為慶祝中國共產黨成立100周年，光明中學籌劃舉行朗誦、合唱等一系列校園主題

慶祝活動(活動代號如下表)，要求每位學生自主選擇參加其中一個活動項目.為此,

學校從全體學生中隨機抽取了部分學生進行問卷調查.根據統(tǒng)計的數據，繪制了如

圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(部分信息未給出).

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(1)該校此次調查共抽取了名學生；

(2)請補全條形統(tǒng)計圖(畫圖后標注相應的數據);

(3)若該校共有2000名學生，請根據此次調查結果，估計該校有多少名學生參加舞

蹈活動.

活動代號

23.有詩云：東山雨霽畫屏開，風卷松聲入耳來.一座樓閣鎮(zhèn)四方，團結一心建家鄉(xiāng).1987

年為慶祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公園內修建了一座三層樓

高的“一心閣”民族團結樓閣.芙蓉學校數學實踐活動小組為測量“一心閣”C”

的高度，在樓前的平地上A處，觀測到樓頂C處的仰角為30。，在平地上8處觀測

到樓頂C處的仰角為45。，并測得A、8兩處相距20”求“一心閣”CH的高度.(結

果保留小數點后一位，參考數據：夜=1.41，V3=1.73)

24.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，AO和過

點C的切線互相垂直，垂足為D

⑴求證：AC平分血B；

O

(2)若4。=8,tan^CAB=求：邊AC及AB的長.

25.2020年以來，新冠肺炎的蔓延促使世界各國在線教育用戶規(guī)模不斷增大.網絡教師

小李抓住時機，開始組建團隊，制作面向48兩個不同需求學生群體的微課視頻.

已知制作3個A類微課和5個B類微課需要4600元成本，制作5個A類微課和10

個8類微課需要8500元成本.李老師又把做好的微課出售給某視頻播放網站，每個

A類微課售價1500元，每個8類微課售價1000元.該團隊每天可以制作1個A類微

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課或者1.5個B類微課，且團隊每月制作的B類微課數不少于A類微課數的2倍(注：

每月制作的A、B兩類微課的個數均為整數).假設團隊每月有22天制作微課，其中

制作A類微課。天，制作A、B兩類微課的月利潤為w元.

(1)求團隊制作一個4類微課和一個B類微課的成本分別是多少元？

(2)求卬與a之間的函數關系式，并寫出。的取值范圍；

(3)每月制作4類微課多少個時，該團隊月利潤卬最大，最大利潤是多少元？

26.如圖，已知拋物線丫=。/+.+4經過4(一1,0),B(4,0)兩點，交y軸于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接8C,求直線8c的解析式；

(3)請在拋物線的對稱軸上找一點P,使AP+PC的值最小，求點P的坐標，并求出

此時AP+PC的最小值；

(4)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A、C、M、N四點

為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：絕對值相等，符號相反的兩個數互為相反數.

根據相反數的定義，則2021的相反數為-2021.

故選：B.

絕對值相等，符號相反的兩個數互為相反數.根據相反數的定義，則2021的相反數為

-2021.

本題屬于基礎簡單題，考查相反數的定義，即絕對值相等，符號相反的兩個數叫作互為

相反數.

2.【答案】A

【解析】解：-1+3=+(3-1)=2,

故選：A.

絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對

值.根據有理數的加法運算法則進行計算即可.

本題考查有理數的加法運算，理解有理數加法的運算法則是解題基礎.

3.【答案】B

【解析】解：11個不同的成績按從小到大排序后，中位數及中位數之后的共有6個數,

故只要知道自己的成績和中位數就可以知道是否進入決賽了.

故選：B.

由于比賽取前5名參加決賽，共有11名選手參加，根據中位數的意義分析即可.

本題考查了中位數意義.解題的關鍵是正確的求出這組數據的中位數.

4.【答案】C

【解析】解：A、(a3)2=a6,故此選項不符合題意；

B、(-be)4+(-he)2=(-6c)2=b2c2,故此選項不符合題意;

C、a+b-：=aTT=芻正確，故此選項符合題意；

bbbb2

D、1+-=—,故此選項不符合題意；

aa

故選：c.

根據哥的乘方，厚的混合運算，分式的混合運算法則進行計算，然后作出判斷.

本題考查基的乘方，哥的混合運算，分式的混合運算，掌握運算法則是解題基礎.

5.【答案】B

【解析】解：從上面看該幾何體，是兩個同心圓.

故選：B.

根據視圖的意義，從上面看該幾何體，所得到的圖形進行判斷即可.

本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義，掌握俯視圖的畫法是正確判斷的前提.

6.【答案】D

【解析】解：?.?點E是AC的中點，

AE=EC=

2

???EF//CD,

??.△AEF^/s.ACDf

.AE__EF

"~AC~^D9

:.CD=2EF=119

??,四邊形A3CD是菱形，

:.AB=BC=CD=ADf

二菱形ABCD的周長=4x11=44,

故選：D.

通過證明△4EF△AC。，可求CD=11,即可求解.

本題考查了菱形的性質，相似三角形的判定和性質，求出的長是解題的關鍵.

7.【答案】C

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【解析】解：vEB=1.6,BC=12.4,

:.EC=EB+BC=14,

vAB1EC,

???/,ABE=90°,

???乙C=90°,

???Z.ABE=ZC,

又???乙E=,

???△ABE^ts.DCE,

BA__EB

CD-'EC9

解得：CD=10.5,

故選：C.

由乙4BE=",NE=4E,證明△ABE-AOCE,得老=,，即可求解.

本題考查了相似三角形的判定與性質，證明△ABEsADCE是解題的關鍵.

8.【答案】C

【解析】解：如圖

連接04,OB,

???四邊形488是正方形，

0A=OB,Z.AOB=90°,

0aB是等腰直角三角形，

??,正方形A8C。的面積是18,

AB=718=3V2,

???0A=0B=3,

???弧A8的長L=黑90-3-TT37r

loU1802

故選：c.

連接OA、OB,則AOAB為等腰直角三角形，由正方形面積為18,可求邊長為3VL進

而可得半徑為3,根據弧長公式可求弧AB的長.

本題考查了正多邊形和圓、正方形的性質、弧長公式等知識，構造等腰直角三角形是解

題的關鍵.

9.【答案】A

【解析】解：4由圖象可知，圖象與x軸沒有交點，故說法正確；

B.由圖象可知，當0cx<1時，y<0,當x>l時，y>0,故說法錯誤：

C.當x=0時，函數值為-2,故圖象與y軸的交點是(0,-2),故說法錯誤；

。.當久>1時，y隨x的增大而減小，當x<l時，y隨x的增大而減小，故說法錯誤.

故選：4.

根據函數的圖象以及函數的解析式逐一判斷即可.

本題考查了反比例函數的圖象和性質，解題關鍵是根據函數解析式得出函數值和自變量

的取值范圍.

10.【答案】C

①若。為直角頂點，則點M在y軸上，不合題意舍去;

②若A為直角頂點，則軸，

二點M的橫坐標為10,

把x=10代入y=-x+12中，得y=2,

二點例坐標(10,2)；

③若M為直角頂點，可得AOMBsAMaB.

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OB_MB

"MB-AB'

:.MB2=OBAB.

(―X+12)2=x(10—x).

解得x=8或9,

.??點M坐標(8,4)或(9,3).

當△OAM為直角三角形時，點M的坐標為(10,2)、(8,4)、(9,3),

故選：C.

分情況討論：①若O為直角頂點，則點M在y軸上，不合題意舍去；

②若4為直角頂點，則AM軸,所以點M的橫坐標為10,代入y=-x+12中，得y=2,

求出點M坐標為(10,2)；

③若“為直角頂點，可得根據相似三角形的性質求出M點橫坐標，

進而得到〃點坐標.

本題考查了勾股定理，圖形與坐標性質，熟悉一次函數的性質以及三角形的面積公式以

及懂得直角三角形的性質是解題的關鍵.

11.【答案】i

4

【解析】解：(一乎=￡

故答案為：

4

本題考查有理數的乘方運算，(-}2表示2個(-》的乘積.

乘方是乘法的特例，乘方的運算可以利用乘法的運算來進行.負數的奇數次基是負數，

負數的偶數次幕是正數.

12.【答案】4x10s

【解析】解:400000=4x105.

故答案為:4x105.

科學記數法的表示形式為aXl()n的形式，其中1<|a|<10,〃為整數.確定n的值時，

要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當

原數絕對值210時，〃是正數；當原數的絕對值<1時，〃是負數.

本題考查了用科學記數法表示較大的數.掌握用科學記數法表示較大數的方法是解決本

題的關鍵.科學記數法的表示形式為axion的形式，其中1式同<10,〃為整數，表

示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

13.【答案】a(a-2)

【解析】

【分析】

本題考查提公因式法-因式分解，較為簡單，找準公因式即可.

先確定公因式是“，然后提取公因式即可.

【解答】

解：a?-2a=a(a-2).

故答案為：a(a-2).

14.【答案】xN：

【解析】解：根據題意得：2久一1之0,

、1

???X=

故答案為：X>p

根據二次根式的被開方數不小于0,列出不等式，解不等式即可.

本題考查了二次根式有意義的條件，注意整式的取值范圍可以是全體實數，二次根式的

被開方數不小于0,分式的分母不等于0.

15.【答案】-1

【解析】解：?.?實數相，〃是一元二次方程——3x+2=0的兩個根，a=l,b=-3,

c=2,

■■■m+n=—=3,mn=-=2,

aCL

:.mn—m—n=mn—(m+n)=2—3=—1.

故答案為：-1.

由實數機，〃是一元二次方程/—3%+2=0的兩個根,利用根與系數的關系可得出(機+

九)，膽〃的值，再將其代入nm—m—九=nm—(m+n)中即可求出結論.

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本題考查了根與系數的關系，牢記“兩根之和等于-2,兩根之積等于”是解題的關鍵.

a

16.【答案】0

【解析】解：由題意得：A+i=0.

y—2=-2.

???y=0.

根據題意，得*+1=0.再根據等式的基本性質，化簡為之=-1,故求出y=0.

本題屬于基礎簡單題，主要考查等式的基本性質以及分式的運算.

17.【答案】40°

由于紙帶對邊平行，

AZ.1=44=20°,

???紙帶翻折，

43="=20°,

4DBF=Z3+Z4=40°,

???CD//BE,

Z2=lDBF=40°.

故答案為：40°.

利用平行線的性質以及翻折不變性即可得到Nl=43=N4=20。，進而得出42=40°.

本題考查平行線的判定和性質和折疊的性質，解題的關鍵是熟練掌握：兩直線平行，同

位角相等；兩直線平行；內錯角相等.

18.【答案】也尸

【解析】解：第1個圖形表示的三角形數為1,

第2個圖形表示的三角形數為1+2=3,

第3個圖形表示的三角形數為1+2+3=6,

第4個圖形表示的三角形數為1+2+3+4=10,

第"個圖形表示的三角形數為1+2+3+4+……+(n—1)+n=吟2

由所給的圖形可得：第1個圖形表示的三角形數為I；第2個圖形表示的三角形數為1+

2=3；第3個圖形表示的三角形數為1+2+3=6；……據此即可得出第n個圖形的三

角形數.

本題考查了規(guī)律型中的數字的變化類，找到圖形的序號與三角形數之間的關系是解答的

關鍵.

19.【答案】解：原式=l-2V2-5+4Xy=l-2V2-5+2V2=-4.

【解析】利用絕對值的性質，特殊角的三角函數值，零指數塞法則、二次根式化簡方法

計算即可求出值.

此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

20.【答案】解：解不等式①，得x>|,

解不等式②，得xWl,

在數軸上表示不等式的解集為：

—I——IIIII_11JLL——

-5-4-3-2-10132345，

2

所以不等式組無解.

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【解析】先求出不等式的解集，在數軸上表示出不等式的解集，最后求出不等式組的解

集即可.

本題考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式組的解集，能根據不等式的解集

求出不等式組的解集是解此題的關鍵.

21.【答案】（1）證明：Z.ECA=Z.DCB,

Z.ECA+Z.ACD=乙DCB+Z.ACD,

即NEC。=^BCA,

由旋轉可得C4=CE,

在ABS和△DCE中，

CB=CD

乙BCA=乙DCE,

.AC=EC

BCA^^DCELSAS'）.

AB=ED.

（2）由（1）中結論可得NCDE=48=70。，

又CB=CD,

乙B=4CDB=70°,

???AEDA=180°-乙BDE=180°-70°x2=40°,

Z.AFE=Z.EDA+乙4=40。+10。=50°.

【解析】（1）利用4ECA=乙DCB,可證得NECD=ABCA,結合CA=CE、CB=CD,用

“SAS"可證△fiC/l=ADCE；

（2）由CB=CD可得NB=NCDB=70。，從而/EDA=40。，再利用三角形外角關系可得

Z.AFE=/.EDA+NA=40°+10°=50°.

本題考查了全等三角形的判定與性質，圖形旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形的

外角定理，證明ABCA三AOCE是解題的關鍵.

22.【答案】50

【解析】解：（1）該校此次調查共抽取的學生數為：10+20%=50（名），

故答案為：50；

（2）C舞蹈人數為：50-8-10-12-14=6（名），

補全條形統(tǒng)計圖如下:

活動代號

(3)2000x^=240(名)，

答：估計該校有240名學生參加舞蹈活動.

(1)根據選擇8的人數和所占的百分比，可以計算出本次調查共抽取的學生數；

(2)根據(1)的結果及圖中的數據可以計算出選擇C的人數，從而可以將條形統(tǒng)計圖補充

完整；

(3)根據統(tǒng)計圖中的數據，可以計算出該校參加舞蹈活動的學生有多少名.

本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得

到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統(tǒng)

計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

23.【答案】解：設為xm,

由題意得：/-AHC=90°,乙CBH=45°,Z.A=30°,

???BH=CH=xm,AH=V3CW=岳m(xù),

AH-BH=AB,

■■V3x—x=20>

解得：x=10(73+1)*27.3(m),

答：“一心閣”CH的高度約為27.3m.

【解析】設CH為Km,證出BH-CH=xm,AH=>/3CH=V3xm,再由力H—BH-AB

得出方程，解方程即可.

本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題、等腰直角三角形的與性質、含30。角

的直角三角形的性質等知識；證出BH=CH,AH=V5CH是解答此題的關鍵.

第18頁，共22頁

D

24.【答案】（1）證明：連接。C,如圖,

???CD為。。的切線，

???0C1CD,

vAD1CD,

???OC//AD,

???Z.DAC=Z.OCA,

???OA=OC,

???Z-OAC=Z-OCA,

???Z,DAC=乙OCA,

???4C平分2048；

(2)解：連接3G如圖，

vZ-DAC=4OCA,

3

Atanz.DAC=tanZ-CAB=

4

在Rt△/MC中，???tan^DAC=-=

AD4

3

ACD=-x8=6,

4

AC=VCD2+AD2=V62+82=10.

???AB為直徑，

Z.ACB=90°,

tanz.Ci4B=—=—,

AC4

3is

???BC=-xl0=-

42f

.?.4B=J《)2+102號.

【解析】（1）連接OC,如圖，根據切線的性質得。C_LCD,然后證明4DAC=NOC4

從而得到結論；

（2）連接BC,如圖，利用正切的定義可求出CO=6,再利用勾股定理計算出4c=10,

接著根據圓周角定理得到乙4cB=90。，則利用正切的定義求出8C,然后利用勾股定理

計算出AB.

本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.也考查了圓周角定理和解直

角三角形.

25.【答案】解：(1)設團隊制作一個A類微課的成本為x元，制作一個8類微課的成本

為y元，根據題意得：

(3x+5y=4600

(5%4-10y=8500,

解喉罌

答：團隊制作一個A類微課的成本為700元，制作一個B類微課的成本為500元；

(2)由題意，得w=(1500-700)a+(1000-500)X1.5(22-a)=50a+16500；

1.5(22-a)>2a,

解得aS吟

又?.?每月制作的A、8兩類微課的個數均為整數，

???0WaW9(且。為整數)；

(3)由(2)得ir=50a+16500,

v5>0,

w隨a的增大而增大，

二當a=9時，w有最大值，w度大=50x9+16500=16950(元).

答：每月制作A類微課9個時，該團隊月利潤w最大，最大利潤是16950元.

【解析】(1)設團隊制作一個A類微課的成本為x